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第五单元 函数
初中数学《函数》知识点大全详细解析。包括定理、法则、推论、性质等详细列表、易错点及注意提示，一起来看吧！
编辑于2023-08-05 23:04:43 山东省- 相似推荐
- 大纲
函数
一、 函数的基础知识
01平面直角坐标系
（1） 相关概念
1. 有序实数对
有顺序的两个数a与b组成的实数对，叫做有序实数对，记作(a，b)
注意
a.有序实数对的作用是确定平面上某点的位置 b.当a≠b时，(a,b)与(b,a)是两个不同的有序实数对.
2. 平面直角坐标系
①定义：在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系；
②坐标轴：水平的数轴叫横轴或x轴，习惯上取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫纵轴或)轴，习惯上取向上的方向为正方向；
③原点：两坐标轴的交点叫做坐标原点；
④坐标平面：建立了直角坐标系的平面叫坐标平面，
3. 象限
x轴和y轴把坐标平面分成I、Ⅱ、Ⅲ、IV四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限
注意
a.两条坐标轴不属于任何一个象限。 b.如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴、纵轴的字母后附上单位 
（2） 点的坐标
1. 点的坐标的概念
对于平面内任意一点P，过点P向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标，有序数对(a，b)叫做点P的坐标，记作P(a，b)，书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号
注意
坐标平面内的点与有序实数对之间是一一对应的，即平面内任意一点，都有一个有序实数对与之对应；反过来，对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一确定的点与之对应 
2. 坐标的几何意义
点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是lal，到原点的距离是√(a²+b²)
3. 不同位置的点的坐标特征

（3） 用坐标表示地理位置
1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
2、根据具体问题确定单位长度；
3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称
（4） 用坐标表示平移
(1)点的平移
点在坐标系中的平移方式有两种： 一种是沿x 轴左右平移； 一种是沿y轴上下平移
沿x轴平移 P(x，y)平移(其中a，b>0) 向右平移a个单位→(x+a，y) 向左平移a个单位→(x-a，y)
沿y轴平移 P(x，y)平移(其中a，b>0) 向上平移b个单位→(x，y+b) 向下平移b个单位→(x，y-b)
注意
点的平移可看成上、下平移和左、右平移的合成
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内： 如果将一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度； 如果将它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。 以上平移可简记作：右加左减横坐标，上加下减纵坐标
注意：和函数图像平移的区别
坐标表示平移和函数表达式表示平移的区别
（5） 拓展：平面内任意两点间的距离
P1(x1，Y1)，P2(x2，y2)为平面直角坐标系内任意两点，P1，P2.两点间的距离为： 特别地，当直线P，P2平行x轴时， P1P2=Ix2-x1l; 当直线P1P2平行于y轴时，P1P2=|y2-y1|
02函数
（1） 相关概念
1. 常量与变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终保持不变的量为常量
2. 函数与函数值
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
3. 函数解析式(函数关系式)
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数解析式或函数关系式
4. 函数自变量的取值范围
I. 概念
函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值的全体.求自变量的取值范围通常从两个方面考虑
1||| 要使函数的解析式有意义
2||| 符合客观实际
II. 自变量范围的确定方法
①当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数(即全体实数).
②当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不为零的任意实数.
③当函数的解析式是开平方的无理式时，自变量取值是使被开方的式子为非负的实数
④当函数解析式中自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中时，自变量取值是使底数不为零的实数
5. 拓展：对于函数的理解应分以下几个方面
①函数首先指在一个变化过程中；
②必须有两个变量；
③每一个x对应唯一的一个y值，而一个y不必对应唯一的x值，如函数y=x²中，y是x的函数，每一个x对应唯一的y值，而一个y可以对应不同的x的值；
④自变量和因变量是相对的，它随研究问题的角度不同而可以互相转化.
6. 注意：自变量的取值
当函数解析式中包含以上几种情况时，自变量的取值是使各部分都有意义的实数的公共部分
（2） 表示方法
（1） 解析式法
概念
两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种表示方法叫做解析式法.用解析式法表示一个函数关系时，因变量y放在等式的左边，自变量x的代数式放在右边，其实质是用x的代数式表示y
优点
简明扼要，规范准确，便于分析推导函数性质
缺点
有些函数关系不能用解析式表示
拓展：用待定系数法求函数解析式
①待定系数法
先设出式子中的未知系数，再根据条件列出方程或方程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数.
②用待定系数法求函数解析式的步骤
a.设含有待定系数的解析式(看是正比例函数，还是反比例函数，或一次函数);
b.根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组；
c.解方程(组)，求出待定系数的值；
d.将求出的待定系数代入所设的解析式，得所求的解析式.
（2） 列表法
概念
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫列表法
优点
能明显地呈现出自变量与对应的函数值.
缺点
只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律
（3） 图象法
概念
用图象表示函数关系的方法叫做图象法.图象法形象直观，是研究函数的一种很重要的方法
优点
形象直观，能清晰呈现函数的一些性质.
缺点
所画的图象是近似的、局部的，从图象上观察的结果也是近似的.
（4） 注意
表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用
（3） 图象
(1)函数图象的概念
一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象
(2)函数图象的画法及步骤
1. 步骤
①列表：表中给出一些自变量的值及对应的函数值；
②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描写的各点用平滑曲线连接起来.
2. 注意
列表时，自变量的取值应注意兼顾原则既要使自变量的取值有一定代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以利于描点和全面反映图象情况.
(3)函数图象上点的坐标与其解析式之间的关系
1. 关系
由函数图象的定义可知图象上任意一点P(x，y)中的x，y都是解析式方程的一个解；反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上.
2. 判断方法
判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数解析式，如果满足函数解析式，则这个点就在函数的图象上；如果不满足函数解析式，则这个点就不在其函数的图象上，反之亦然
3. 注意
两个函数图象的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解，即求交点坐标，就是解方程组
(4)函数图象的应用
①由函数图象的定义可知图象上任意一点P(x，y)中的坐标值x，y，是解析式方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一解为坐标的点一定在函数的图象上
②注意方程与函数的结合，抓住方程(方程的解)→点的坐标→函数图象与性质这个网，综合数学知识，用数形结合法来解题
二、 一次函数
01一次函数的相关概念
(1)一次函数和正比例函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。 特别地，当b=0时，y=kx+b为y=kx(k为常数，k≠0).这时，y叫做x的正比例函数
一般情况下，一次函数和正比例函数中自变量的取值范围是全体实数.但是在实际问题中，要根据具体情况来确定自变量的取值范围
注意
若k=0,则y=b(b为常数).这样的函数叫做常数函数，它不是一次函数
(2)正比例函数与一次函数之间的关系
①正比例函数是特殊的一次函数，即一次函数包含正比例函数.
②一次函数不一定是正比例函数，在一次函数y=kx+b(k≠0)中，当b=0时，y是x的正比例函数；当b≠0时，y不是x的正比例函数
02一次函数的图象及性质
(1)正比例函数的图象及性质
1. 图像
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点的一条直线
2. 性质

(2)一次函数的图象及性质
1. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0，b)且和直线y=kx重合或平行的一条直线.
2. 性质

3. 拓展
①直线y=hx+b上的点的坐标适合关系式y=kx+b;若x=m,y=n满足一次函数的表达式y=hx+b,那么点(m,n)一定在直线y=hx+b上. ②在一次函数y=kx+b(k≠0)中，IkI越大，y 随x的变化幅度越大. ③直线y=kx+b(k≠0)与y轴交于点(0,b),与x轴交于点,其中b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，截距不是距离，是直线与y轴交点的纵坐标.
(3)两条直线的位置关系
1. 两条直线
设直线L₁和L2的解析式为y₁=k₁x+b₁，y₂=k₂x+b₂，则它们的位置关系可由系数决定
2. 位置关系
①当k1≠k2时，两条直线相交，特别地，当b1=b2，时，两条直线的交点在y轴上
②当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行
③当k1=k2，b1=b2时，两直线重合
注意
反之，也成立 当k,·k=-1时，两直线垂直
(4)一次函数图象的画法
①两点法
由函数解析式y=kx+b选取满足条件的两点(0，b)，过这两点画直线，即得函数y=kx+b的图象
②平移法
直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移|b| 个单位长度得到的(当b>0，向上平移；当b<0，向下平移)
(5)一次函数的最大值与最小值
一次函数y=hx+b(k≠0)的自变量x的取值范围是全体实数.图象是一条直线，因此没有最大值与最小值.但由实际问题得到的一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制，则图象为线段或射线，根据函数的性质，就存在最大值或最小值问题
03一次函数解析式的确定
(1)方法：待定系数法
(2)步骤
①设出一次函数的解析式y=kx+b;
②根据条件列出关于k，b的二元一次方程组；
③解方程组，求出k，b的值，从而求出一次函数的解析式.
04一次函数与方程（组）、不等式
（1） 一次函数与一元一次方程
①直线y=hx+b与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解
②对于一次函数y=kx+b(k≠0)，在已知x值求y值或已知y值求x值时，也都是把问题转化成关于y或关于x的一元一次方程来解的
（2） 一次函数与一元一次不等式
①从“数”看：ax+b>0的解集<=>y=ax+b中y>0时x的取值范围; ax+b<0的解集<=>y=ax+b中，y<0时x的取值范围
②从“形”看：ax+b>0的解集<=>图象位于x轴上方的部分对应的横坐标的值. ax+b<0的解集<=>图象位于x轴下方的部分对应的横坐标的值.
（3） 一次函数与二元一次方程(组）
①从“数”看：解方程组<=>求自变量为何值时函数值相等
②从“形"看 方程组的解→两直线交点的坐标. 方程组无解→两直线平行， 方程组有无数组解→两直线重合
注意
若k1=k2,1b≠b2,则两直线平行，无交点，所以方程组无解；若k1=k2,b1=b2,则两直线重合，通常不研究此类情况，
05一次函数的实际应用
（1） 利用一次函数的性质，如增减性等来解决生活中的优化问题等
（2） 利用一次函数的图象寻求实际问题的变化规律解题；
（3） 利用两个一次函数的图象来解决方案选择问题，也可以把函数问题转化成不等式或方程问题加以解决；
（4） 与方程或不等式(组)结合解决实际问题.
三、 反比例函数
01反比例函数的相关概念
反比例函数的定义
一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数
注意
a.反比例函数的表达式中，等号左边是函数y,等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k,分母不能是多项式，只能是x的一次单项式. b.反比例函数表达式中，常数(也叫比例系数)“k≠0”是反比例函数定义的一个重要组成部分. c.反比例函数的表达式(k≠0)也可以写成或xy =k的形式 d.反比例函数  (k≠0)的自变量x的取值范围是x≠0的任意实数，函数值y的取值范围是y≠0的任意实数
02反比例函数的图象及性质
(1)反比例函数的图象及性质
图象的位置和函数值的增减情况（见注释）

注意
a.双曲线是中心对称图形，对称中心是原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴有两条，分别是直线y=x(第一、三象限的平分线)和直线y=-x(第二、四象限的平分线). b.已知反比例函数的图象的位置、反比例函数的增减性及比例系数k的符号中的一个就可以得出另两个。 c.由于反比例函数中自变量x≠0,函数y≠0,所以，它的图象与x轴y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴
(2)反比例函数图象的画法(描点法)
①列表：自变量的取值，应以0为中心，沿0的两边分别取三对(或三对以上)相反数，如1和-1，2和-2，3和-3等，填y值时，只需计算右侧的函数值，如分别计算出x=1，2，3的值，那么x=-1，-2，-3的函数值应是与之对应的相反数
②描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找
③连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交
(3)比例系数k的几何意义
①反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积的绝对值为常数这一特点，也就是说，过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数
②将上面的规律拓展，在图中连接PO，MN，则△PMO和△MON和△PNO的面积都相等，其值为½|k|

03反比例函数解析式的求法
(1)方法(待定系数法)
由于在反比例函数(k≠0) 中，只有一个待定系数k，所以我们在确定解析式时只需要一组x，y的对应值或双曲线上一个点的坐标，将其代入解析式中，即可建立起方程，进而把k的值求出，从而得到函数解析式
(2)用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
①设：设所求的反比例函数的解析式为
②代：将已知条件中对应x，y的值代入中，从而得到关于k的方程；
③解：解关于k的方程，求出k的值；
④定：将k的值代入，得到函数解析式
04反比例函数的实际应用
(1)反比例函数关系在现实世界中广泛存在，解决这类问题关键是将实际问题数学化，准确找出反比例函数关系解题
(2)反比例函数的图象反映变化规律明显，常利用它的图象找出解决问题的方案
(3)列出函数关系式后，注意自变量的取值是否有限制，应找出它的取值范围。
(4)应注意函数思想、方程思想和不等式思想方法的应用.
四、 二次函数
01二次函数的定义
（1） 定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项
（2） 拓展
①任何一个二次函数都可以化为y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，通常把y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式.
②y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x的取值范围是一切实数.
③二次函数解析式的结构特征是：等号右边是关于x的二次多项式.
④当c=0时，函数的解析式变为y=ax²+bx 的形式；当b=c=0时，二次函数的解析式变为y=ax²的形式，这是最简单的二次函数；但当a=0时，函数y=ax²+bx+c就变为y=bx+c，故在二次函数中二次项系数a≠0要引起足够重视
02二次函数的图象及性质
（1） 二次函数y=ax²(a≠0)和y=a(x-h)²+h(a≠0)的图象与性质
 
（2） 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质
 
（3） 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与解析式中系数a，b，c及b²-4ac的关系

（4） 二次函数y=ax²+bx+c的图象的画法
①把二次函数y=ax²+bx+c配方为y=a(x-h)²+h的形式；
②确定抛物线的顶点、对称轴和开口方向；
③在对称轴两侧，对称取自变量的值，并列表、描点、连线.
注意
作抛物线草图时，应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点
（5） 二次函数图象的平移
1. 概念
抛物线y=ax²与y=a(x-h)²，y=ax²+k，y=a(x-h)²+k的形状和大小都相同，变动的只是位置
2. 规律
①上下平移y=ax²  y=ax²+k
②左右平移y=ax²  y=a(x-h)²
③复合平移y=ax² y=ax²+k  y=a(x-h)²+k
3. 注意：先后顺序无关
平移时上、下、左、右平移的先后顺序无关，抛物线移动主要看顶点的移动，只要抓住顶点就行
（6） 二次函数y=a²+bx+c(a≠0)的最值
①如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当时，
②如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看-b/2a是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内
a.若在此范围内，则：

b.若不在此范围内，则：

03二次函数解析式的求法
待定系数法
1. 设一般式
若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y=ax²+bx+c(a≠0)，将已知条件代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，解析式便可得出
2. 设顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则设所求二次函数为y=a(x-h)²+k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式
3. 设两根式
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式.
4. 设对称点式
若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式
04二次函数与一元二次方程的关系
(1)如果抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴有公共点，公共点的横坐标是x。，那么当x=x。时，函数的值是0，因此x=x。就是方程ax²+bx+c=0(a≠0)的一个根
(2)ax²+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=ax²+bx+c=0(a≠0)二者之间的内在联系与区别(以a>0为例)，列表如下

(3)二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.对应着一元二次方程ax²+bx+c(a≠0)的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
拓展
从图象上看函数y=ax²+bx+c=0(a≠0)与x轴的交点横坐标即是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的实根，这个实根可以看作两个函数y=ax²+bx(a≠0)与函数y=-c交点的横坐标，还可以看作是两个函数y=ax²(a≠0)与y=-bx-c交点的横坐标
05二次函数的实际应用
（1） 二次函数的应用
①用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；
②用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最大值或最小值
（2） 步骤
①找；找出问题中的变量和常量及它们之间的函数关系；
②列：列函数表达式表示它们之间的关系；
③解：应用二次函数的图象及性质解题；
④验：检验结果的合理性，特别是检验是否符合实际意义.