第七单元 三角形

初中数学《三角形》知识点大全详细解析。包括定理、法则、推论、性质等详细列表、易错点及注意提示，欢迎大家学习。

三角形

• —、三角形的基础知识
  • 01三角形的相关概念
    • （1） 三角形的定义
      • 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做三角形
    • （2） 三角形的“三要素”
      • ①三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边. ②三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. ③三角形的角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.
      • 注意
        • a.三角形的边都是线段，用表示线段的办法来表示边，用表示端点的两个大写字母或一个小写字母来表示. b.习惯上为方便起见，∠A所对的边用a来表示，∠B 所对的边用b来表示，∠C所对的边用c来表示
    • （3） 三角形的表示方法
      • 一个三角形是由三条边和三个内角组成的.如果三角形的三个顶点分别为A，B，C，那么三角形可表示为△ABC.读作三角形ABC
    • （4） 三角形的周长和面积
      • ①三角形的周长(用C表示)等于三条边的长度a，b，c之和，用式子表示为：C=a+b+c. ②三角形的面积(用S表示△ABC的面积)等于底边和这底边上高的乘积的一半，如果用a表示底边长，底边上的高用h表示，则有S=½ah
    • （5） 三角形的稳定性
      • 如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.除了三角形外，其他图形不具备稳定性，因此在生产建设中，为达到稳固的目的，人们把一些构件都做成三角形结构
  • 02三角形的分类
    • （1） 图示分类
      • 按边分类
        • 不等边三角形
        • 等腰三角形
          • 腰和底边不相等的 等腰三角形
          • 等边三角形
      • 按角分类
        • 直角三角形
        • 斜三角形
          • 锐角三角形
          • 钝角三角形
    • （2） 定义
      • 1. 不等边三角形
        • 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.如果△ABC是不等边三角形，就是说，AB≠BC，BC≠CA，CA≠AB
      • 2. 等腰三角形
        • 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
      • 3. 等边三角形
        • 三边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫正三角形.等边三角形也属于等腰三角形
      • 4. 直角三角形
        • 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
      • 5. 斜三角形
        • 锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形
      • 6. 锐角三角形
        • 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形
      • 7. 钝角三角形
        • 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形
  • 03三角形的“三线”和“三心”
    • （1） 三角形的角平分线
      • 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.一个三角形有三条角平分线，它们都在三角形内，并且交于一点
      • 注意：内心
        • a.三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线 b.三角形角平分线的画法：与角的平分线的画法相同，可以用量角器来画. c.三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心
    • （2） 三角形的中线
      • 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.一个三角形有三条中线，它们都在三角形内，并且交于一点
      • 注意：重心
        • a.三角形的中线是一条线段 b.中线的画法：只需连接顶点及对边中点即可 c.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
    • （3） 三角形的高
      • 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。线段AD叫△ABC的边BC上的高
      • 注意：垂心
        • A.三角形三条高的交点称为三角形的垂心 B.钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高。 1.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于一点； 2.直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点； 3.钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高不相交，但三条高所在直线相交于三角形外一点
  • 04三角形的有关性质
    • （1） 三角形的内角和
      • 三角形内角和定理
        • 三角形三个内角的和等于180°。
        • ①证题思路
          • 通过添加辅助线，把三个分散的角，全部或适当地集中起来，利用平角概念或两直线平行，同旁内角互补来证明
        • ②几种辅助线的添置方法
          • a.如图，过A作DE//BC. b.如图，过BC上任意一点，作DE//AC，DF//AB. c.如图，过C作射线CD//AB
            • 
    • （2） 三角形的外角
      • ①三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
      • ②在三角形的每一个顶点处，有两个外角，这两个角是相等的角，任取其中的一个，那么在三个顶点处得到三个外角，这三个外角的和叫做三角形的外角和。α+β+y叫做△ABC的外角和，其和是360°。
      • ③三角形外角定理
        • 定理
          • 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和
        • 推论
          • 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角.
        • 注意
          • 定理及其推论揭示了三角形角之间的关系，利用它们可以进行角度之间的计算，或证明角度之间的相等或不等关系
    • （3） 三角形的三边关系
      • ①定理
        • 三角形两边的和大于第三边
      • ②推论
        • 三角形两边的差小于第三边
          • 若a,b,c是△ABC的三条边，则a+b>c,b+c>a,c+a>b,la-cl<b,Ib-cl<a,lb-al<c
      • ③应用
        • a.给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形
          • 若a+b>c，b+c>a，c+a>b都能成立，则a，b，c可以构成三角形；
          • 若c是最长的线段，且a+b>c，则以a，b，c为三边长可以构成三角形.
        • b.已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围
          • 设三角形两边的长为a，b，则第三边c的取值范围是la-bI<c<a+b
        • c.判断线段之间的不等关系
    • （4） 三角形边与角的关系
      • 在同一个三角形中大边对大角，大角对大边；等边对等角，等角对等边
• 二、全等三角形
  • 01全等三角的相关概念
    • (1)全等形的概念
      • 能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形⇔大小、形状相同
    • (2)全等三角形的概念
      • 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
    • (3)全等三角形的表示方法
      • “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。在表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
  • 02全等三角形的性质及常见全等类型
    • (1)全等三角形的性质
      • ①两个三角形全等
        • 1. 对应边相等
        • 2. 对应角相等
        • 3. 对应线段(中线、角平分线、高)相等
        • 4. 周长相等
        • 5. 面积相等
      • ②全等三角形有传递性，若△ABC与△DEF全等，△DEF与△MNP全等，则△ABC与△MNP也全等
      • 注意：概念辨析
        • 对应边，对应角与对边、对角是不同的概念，不能混淆。 对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系； 对边、对角是对同一个三角形的边和角的关系而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角
    • (2)常见全等三角形的基本图形
      • ①平移全等型
        • 
      • ②翻折全等型
        • 
      • ③旋转全等型
        • 
  • 03全等三角形的判定
    • (1)全等三角形的判定定理
      • 判断方法
        • ①边角边定理
          • 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
        • ②角边角定理
          • 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
        • ③角角边定理
          • 两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
        • ④边边边定理
          • 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
        • ⑤斜边、直角边定理
          • 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
      • 注意
        • a.判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是不可少的. b.HL定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立. c.SAS包含“边”和“角”两种元素，是两边夹一角而不是两边及一边对角对应相等，一定要注意元素的“对应”关系
    • (2)三角形全等的证题思路
      • 证题思路
        • ①已知两边
          • 1. 找夹角SAS
          • 2. 找直角HL
          • 3. 找另一边SSS
        • ②已知一边一角
          • 1. 边为角的邻边
            • i. 找边的对角AAS
            • ii. 找夹角的另一边SAS
            • iii. 找边的另一角ASA
          • 2. 边为角的对边
            • 找任意角AAS
        • ③已知两角
          • 1. 找夹边ASA
          • 2. 找除夹边的任意边AAS
      • 注意
        • 证明三角形全等问题是必考内容、是热点，多数以证明题型出现，要求能灵活运用判定三角形全等的方法证明三角形全等及相关问题，如线段相等，线段垂直、平行，角相等及角度计算等
  • 04角平分线的性质定理及其逆定理
    • 定理
      • 角平分线的性质定理
        • 定理
          • ①定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
          • ②定理的作用：证明两条线段相等.
        • 注意
          • 题设“角的平分线上的点”,这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角的两边的距离相等”的性质
      • 角平分线的判定定理
        • ①定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ②定理的作用：证明两个角相等.
    • 角平分线的性质定理与判定定理的比较
      • ①角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆的定理，是两个互逆的真命题
      • ②应用时的作用不同：性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题.判定定理的结论是判定点是否在角的平分线上的问题
    • 有角平分线或中点时常用的辅助线
      • ①在角的两边截相等的线段，构造全等三角形；
      • ②过角平分线上一点向角两边作垂线；
      • ③如有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的两边相交构成等腰三角形；
      • ④有中线或有以线段的中点为端点的线段时，常加倍它们，构造全等三角形
• 三、特殊三角形
  • 01等腰三角形
    • （1） 概念
      • 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
      • 注意
        • 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线是对称轴
    • （2） 性质
      • ①性质1：等边对等角
        • 等腰三角形的两个底角相等.(简写：等边对等角.)
      • ②性质2：三线合一
        • 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称：三线合一)
        • 作用：证明角相等、线段相等、两直线互相垂直
        • 注意：边角关系的转化
          • a.等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一. b.等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线这“三线合—”的性质是今后证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据，务必牢固掌握
    • （3） 判定
      • ①利用定义直接判定
        • 两边相等的三角形是等腰三角形
      • ②等腰三角形的判定定理
        • 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写：等角对等边)
    • （4） 几种常见的等腰三角形
      • ①如图，点C是∠AOB的平分线上的一点，CD//OB交0A于D，则△OCD是等腰三角形，其中OD=CD.
      • ②如图，△ABC中，AB=AC，DE//BC 交AB于D，交AC于E，则△ADE是等腰三角形，其中AD=AE
      • ③如图，OC平分∠AOB，D是OB上一点，DC⊥OC于C，延长DC交OA于E，则△DOE是等腰三角形，其中OD=OE，CD=CE.(这个图形在几何证明题中经常出现，要记住它的特征.)
      • ④如图，C是线段AB的垂直平分线上的一点，则△ABC是等腰三角形，其中AC=BC
  • 02等边三角形
    • （1） 等边三角形的定义
      • 三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形具有等腰三角形的一切性质
    • （2） 等边三角形的性质
      • 1. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
      • 2. 由等边三角形的性质可得：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
      • 3. 注意：四心合一
        • a.具有等腰三角形的性质； b.等边三角形的外心、内心、重心和垂心“四心合一”,这点也叫做等边三角形的中心； c.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
    • （3） 等边三角形的判定
      • 判定
        • ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
      • 注意
        • 三个判定定理的前提不同，判定①和②是在三角形条件下，判定③是在等腰三角形的条件下
  • 03直角三角形
    • （1） 直角三角形的定义
      • 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，夹直角的两边叫做直角边，直角的对边叫做斜边.直角三角形用符号“Rt△”表示
    • （2） 等腰直角三角形
      • ①定义
        • 顶角是90°的等腰三角形叫等腰直角三角形或两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形
      • ②性质
        • 等腰直角三角形的两个锐角都是45°
      • 注意
        • 等腰直角三角形既是特殊的等腰三角形也是特殊的直角三角形，因此它具有等腰三角形和直角三角形的所有性质.
    • （3） 直角三角形的性质
      • ①直角三角形两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； ④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°; ⑤（h为斜边上的高)，外接圆半径=斜边上的中线长，内切圆半径
    • （4） 直角三角形的判定
      • ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②两锐角互余的三角形是直角三角形； ③一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形