数字信号处理第四章数字滤波器

这是一篇关于数字滤波器的思维导图，主要内容包括：模拟低通滤波器的设计指标，IIR数字滤波器:无限长脉冲响应（因为存在反馈），FIR数字滤波器:有限长脉冲响应。

数字滤波器

• 模拟低通滤波器的设计指标
  • Wp通带截止频率，Wc3dB截止频率，Ws阻带截止频率
  • ap通带中的最大衰减系数;as阻带的最小衰减系数
• IIR数字滤波器:无限长脉冲响应 （因为存在反馈）
  • N阶IIR滤波器
    • 直接型
      • 直接I型
      • 直接II型
    • 级联型:一个H(z)可化为几个H(z)的乘积，流图用直接型分别表示每个H(z)即可
      • 注意系数！
    • 并联型:H(z)化为几个多项式的和(部分分式展开)，流图用直接法分别表示每个多项式
  • IIR数字滤波器的设计
    • 计算机辅助设计:matlab
    • 将IIR模拟滤波器映射成数字滤波器
      • 1.借助模拟滤波器设计方法设计滤波器的系统函数Ha(s)(拉氏变换) 2.连续系统的系统函数Ha(s)转换成离散系统的系统函数H(z) (虚轴左半平面映射成z平面单位圆内部) 重点是步骤2的两种方法
        • 冲激响应不变法
          • 首先明确数字域频率w和模拟域频率W之间的关系 (注意这都是角频率):
          • 1.模拟滤波器的传递函数Ha(s)具有一阶极点，展开为部分分式的形式:
          • 2.对Ha(s)求逆拉氏变换得到
          • 3.令t=nT,T是题目给出的取样频率，有
          • 4.求h(n)的z变换
            • 可以直接用这一步的结论
          • 适合设计低通与带通
        • 双线性变换法
          • 也是一种由s平面到z平面的映射过程
          • 定义
          • 把s带入到Ha(s)里，得到的就是H(z)
          • 适合设计低通、高通、带通、带阻滤波器
      • 应用:巴特沃斯滤波器的设计(低通滤波器)
        • 先设计巴特沃斯模拟滤波器，N越大效果越好
          • 根据实际需要根据滤波器在通带截止频率ωp和阻带截止频率ωs处的衰减，写出数字低通滤波器的方程，再列出对应模拟滤波器的方程
          • 将模拟截止频率进行预畸变
          • 带入模拟滤波器的方程，此T不重要，取1，解出N，再反代求出Wc
          • 求出左半平面的极点，得到传递函数Ha(s)
          • 用上述方法之一即可将传递函数转换为H(z)
  • IIR数字滤波器的频率变换
    • 低通转低通滤波器
      • 数字原型低通滤波器的截止频率为qp,要求的数字低通滤波器的截止频率为wp，有
      • 则所求的低通滤波器的系统函数为
    • 低通转高通
    • 低通转带通、带阻:见书P220公式
• FIR数字滤波器:有限长脉冲响应
  • N-1阶FIR滤波器
    • 直接型
    • 级联型: 因式分解为几个的积
    • 第一类线性相位滤波器
      • 时域约束条件(这个决定了是第一类)
      • 系统的群时延(可理解为对称轴)
      • 相频响应
      • 幅频响应特性
        • 公式好像有问题
        • N为奇数
        • N为偶数
      • 零点分布:实序列h(n)对应H(z)，H(z)的零点为(已知z0是一个零点)
      • 系数特点:单位取样响应h(n)的系数具有关于某处奇对称或偶对称的性质
  • FIR数字滤波器的设计
    • 不同于IIR滤波器，其永远是稳定的
    • 窗函数法
      • 推导
        • 设理想低通滤波器截止频率为wc,时延为a
        • 对应的
        • 用以下函数来逼近hd(n):
        • 一般的
      • 四种常用的窗函数(书P229)
        • 性质: 1.宽度N越大，主瓣越窄，过渡带越宽 2.最大旁瓣高度与阻带最小衰减只取决于窗函数的种类，与窗函数的宽度N无关 3.旁瓣高度小与过渡带窄互斥
      • 设计方法:
        • 1.给出希望设计的滤波器的频率响应函数Hd(ejw)
        • 2.根据允许的过渡带宽度和阻带衰减，选择窗函数w(n)和它的宽度N
        • 3.计算希望设计的滤波器的单位取样响应hd(n)
        • 4.计算h(n)(唯一确定该FIR滤波器)
          • 可计算系统函数
        • 5.(可选)计算频率响应H(ejw)，检验是否达到要求:
    • 频率取样法
      • 一个滤波器除了可以由h(n)确定，也可以由它的离散傅里叶变换H(k)确定 在给定Hd(ejw)的情况下:
        • 由此得到以下两个频率取样法最重要的式子