导图社区 初中数学《四边形》章节（知识点全解）
初中数学《四边形》章节知识点大全详细解析。包括定理、法则、推论、性质等详细列表、易错点及注意提示。
第一单元有理数（知识点全解）的思维导图，正整数、0 、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
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四边形
—、多边形
01多边形的相关概念
（1） 多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
（2） 多边形的边
组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
（3） 多边形的顶点
每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点
（4） 多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
（5） 多边形的内角
多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角
（6） 多边形的外角
多边形的一边与相邻的边的延长线所成的角叫做多边形的外角
（7） 多边形的周长
多边形各边的长度和叫做多边形的周长
（8） 正多边形
各个内角都相等、各条边也都相等的多边形称为正多边形
（9） 凸多边形
画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形
（10） 注意
一个多边形至少有三条边.有三条边的叫做三角形，有四条边的叫做四边形，有n条边的叫做n边形.如果无特殊声明，都是指凸多边形
02多边形的性质
(1)多边形的内角和
①多边形内角和公式：n边形内角和等于(n-2)·180°(n≥3)
②多边形内角和公式的证明
方法一：在n边形内任取一点，并把这点与各顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角，即得到多边形的内角和为(n-2)·180°
方法二：过n边形的一个顶点连对角线，可以得(n-3)条对角线，并且把n边形分成(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，等于(n-2)·180°
方法三：在n边形的一边上取一点与各顶点相连，得(n-1)个三角形，n边形内角和等于这(n-1)个三角形内角和减去所取点处的一个平角，即(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°.
(2)多边形的外角和
①多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°
②多边形外角和定理的证明
方法一：多边形的每个内角和与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°
方法二：过平面内一点0分别作与多边形各边平行的射线OA'，OB'，0C'，OD'，OE'等，得到∠α，∠β，∠y，…，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，∠y=∠3，…恰好组成一个周角，所以多边形的外角和等于360°
注意
多边形的外角和恒等于360°,与边数的多少无关
(3)多边形的对角线
①从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形
②n边形共有条对角线.因为一个顶点可以引(n-3)条，n个顶点就可以引n(n-3)条，但是对于所有的顶点，从A→B及从B→A是一样的，故条
③n边形共有条对角线.因为一个顶点可以引(n-3)条，n个顶点就可以引n(n-3)条，但是对于所有的顶点，从A→B及从B→A是一样的，故条
03平面图形的镶嵌
(1)平面镶嵌的概念
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌。能够密铺的同一种图形有三角形、四边形、正六边形.
(2)镶嵌成立的条件
①用一种多边形进行镶嵌，用3个正六边形，或4个正方形或6个正三角形可在同一顶点处镶嵌成平面
②用两种正多边形进行镶嵌
a.正三角形与正方形：用正三角形与正方形镶嵌平面，一个顶点处需三个正三角形，两个正方形.
b.正三角形和正六边形：用正三角形和正六边形镶嵌有两种图案：一是一个顶点有四个正三角形和一个正六边形；二是一个顶点处有两个正三角形和两个正六边形
拓展
正多边形镶嵌有三条限制：①边长都相等；②顶点公用；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，这三条限制是正多边形镶嵌的一个基本依据.
a.用正三角形和正十二边形做平面镶嵌有一种情况，同一顶点处有一个正三角形，两个正十二边形 b.用正四边形和正八边形做平面镶嵌有一种情况，同一顶点处有一个正四边形和两个正八边形 c.两个正方形及三个正三角形拼接在一起可以镶嵌.
(3)不规则的图形的镶嵌
二、平行四边形
四边形的有关概念和性质
(1)四边形的概念
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做四边形。组成四边形的各条线段叫做四边形的边，相邻两条边的公共端点叫做四边形的顶点.
(2)四边形的表示方法
四边形用表示它各个顶点的字母来表示
表示四边形必须按顶点的顺序书写，一般按逆时针的顺序书写
(3)四边形的对角线
在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线
每个四边形都有两条对角线.对角线的重要意义在于它的应用，它是解决四边形问题时常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形问题来解决
(4)四边形的内角和定理
四边形的内角和等于360°
a.本定理的作用：已知三角求第四角；在一定的条件下求各角之间的关系. b.四边形内角中，最多有三个钝角，四个直角，三个锐角
(5)四边形的外角和定理
四边形的外角和等于360°
a.本定理是求四边形内、外角的重要依据，常用本定理列方程，用代数的方法解决问题 b.由本定理可得：四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少可以没有钝角、没有直角、没有锐角.
(6)四边形的不稳定性
三角形的三边确定后，它的大小、形状就确定了，这是三角形的稳定性.但是，四边形的四边长确定后，边与边的夹角可以发生改变，因此，它的形状不能确定，这就是四边形的不稳定性
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用符号“⏥”表示。“⏥ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
a.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线 b.平行四边形的表示一般按一定的方向依次表示各顶点
平行四边形的性质
性质
(1)平行四边形的对边相等；
(2)平行四边形的对角相等；
(3)平行四边形的对角线互相平分，
①平行四边形的邻角互补；
②平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
③平行四边形具有一般四边形的一切性质.
④平行四边形的性质可通过全等三角形的性质推导出来.
平行线间的距离
(1)两条平行线间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫两条平行线之间的距离
平行线之间的垂线段处处相等
(2)平行线间的平行线段
夹在两平行线间的平行线段相等
平行四边形的判定
(1)平行四边形的判定方法
判定方法
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形
a.判定四边形为平行四边形有5种方法选择，应根据具体条件而定. b.“平行且相等”可用符号“ ”表示. c.“一组对边平行，另一组对边相等的四边形”不能判定是平行四边形，如等腰梯形
(2)利用平行四边形的判定解决问题
①根据平行四边形的性质可知，利用平行四边形的性质是证明边角相等的有效途径之一，因此，解题时往往先判定一个四边形是平行四边形，然后再利用性质解决问题，至于使用哪种判定方法应依题目条件灵活确定.
②解决有关平行四边形的问题，常将判定和性质综合起来运用.
③平行四边形的问题常与全等三角形和等腰三角形的知识结合起来，灵活运用，互相转化。
平行四边形的面积
(1)S=底边长×高=ah(a是平行四边形的一边长，h是a边与其对边的距离).
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形的面积相等.
三、特殊平行四边形
01矩形
(1)矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(2)矩形的性质
①矩形具有平行四边形的一切性质；
②矩形的四个角都是直角；
③矩形的对角线相等
(3)矩形的判定方法
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形.
a.若易证是平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可得矩形 b.对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形) c.对角线相等且互相平分的四边形为矩形
02菱形
(1)菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
(2)菱形的性质
①菱形具有平行四边形的所有性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，有两条对称轴，它的对角线所在的直线就是它的对称轴
菱形的面积=底×高，若a,b表示菱形的两条对角线长则
(3)菱形的判定方法
判断方法
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件，它才是菱形
03正方形
(1)正方形的定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
(2)正方形的性质
①正方形的四个角都是直角；
②正方形的四条边都相等；
③正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
④正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是过对边中点的直线和两条对角线所在的直线
正方形的性质=矩形性质+菱形性质
(3)正方形的判定方法
①平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法);
②矩形+一组邻边相等；
③矩形+对角线互相垂直；
④菱形+一个角为直角；
⑤菱形+对角线相等.
a.以菱形和矩形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形等.可以根据实际情况灵活选择. b.一般证明正方形的步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据以上判定方法证出所需要的条件 c.矩形判定条件+菱形判定条件=正方形判定条件
四、梯形
01梯形的概念、分类及判定
(1)梯形的概念
梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形
梯形中平行的两边叫做梯形的底(通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰.梯形两底之间的距离叫做梯形的高.
(2)梯形的分类
一般梯形
特殊梯形
等腰梯形
两腰相等的梯形叫做等腰梯形
直角梯形
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形
(3)梯形的判定方法
①定义法：只有一组对边平行的四边形是梯形
02特殊的梯形：等腰梯形
(1)等腰梯形的性质
①两底平行，两腰相等；
②等腰梯形同一底边上的两角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等；
④等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴
等腰梯形同一底上的两个角既可指下底上的两个角，也可指上底上的两个角；“对角线相等”是等腰梯形特有的性质，一般梯形不具有这一性质；等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形
(2)等腰梯形的判定
①两腰相等的梯形是等腰梯形；
②在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形；
③对角线相等的梯形是等腰梯形
判断一个梯形是等腰梯形，首先必须判定它是梯形，再证明同一底上的两个底角相等或两腰相等或对角线相等.
03中位线
(1)三角形中位线
①三角形中位线的概念
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
②三角形中位线的定理
三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
(2)梯形中位线
①梯形中位线的概念
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
②梯形中位线的定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
三角形中位线有三条，而梯形中位线只有一条
04梯形的面积
(1)梯形面积的计算
(其中a，b分别为上、下底长，h为高，l为中位线长)
(其中a,b分别为上、下底长，h为高，l为中位线长)
(2)梯形中的等面积
S△ABC=S△BCD， S△ABD=S△ACD， S△AOB=S△COD
05梯形常见辅助线的添加方法
(1)平移腰
(2)作底边的垂线
(3)平移对角线
(4)延长两腰
(5)等积变形
(6)过上底中点平移两腰
06四边形的从属关系
 
07面积的计算
(1)面积计算公式
三角形、等边三角形、矩形、正方形、平行四边形、菱形的面积计算公式

(2)图形面积的两个基本性质
①两个图形全等，它们的面积相等； ②一个图形的面积，等于它各部分的面积和
(3)面积计算的特殊方法
①分割法：将任意一个平面图形划分为若干部分，通过求各部分的面积和而得到原图形的面积，这种方法叫做分割法.
②割补法：将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，通过计算变形后的图形面积而得到原图形的面积，这种方法叫做割补法.
③补形法：将一个平面图形，通过补充(或拼补)某一个图形使它变为另一个图形，利用新的图形面积减去所补图形的面积，得到原图形面积的方法叫做补形法，或拼凑法
