导图社区 数二题型及解题方法
数二题型及解题方法，如线性代数，内容有行列式、矩阵、向量与方程组【难】、特征值、二次型，欢迎大家学习。
这是一篇关于物化第五章化学平衡的思维导图，主要内容有5.1化学反应的方向及平衡条件、5.2理想气体反应的等温方程及标准平衡常数、5.3平衡常数及平衡组成的计算等。
热力学第一定律（the first law of thermodynamics）是涉及热现象领域内的能量守恒和转化定律，反映了不同形式的能量在传递与转换过程中守恒。
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数学二
高等数学
一、 函数、极限与连续
1. 无穷小量的阶
无穷小比阶
技巧
导数定阶法
变限函数n(m+1)
等价无穷小的推广形式
乘法泰勒展开阶数的确定
2. 函数极限计算
方法
1 定型
七种未定式
2 四化
1. 非零因子淡化
2. 加减法中存在项拆开
3. 根式有理化
4. 幂指函数转化
3 定法
1. 等价无穷小
推广：【等价无穷大】
若limf(x)=limg(x)=0,且f(x)~g(x)，则lnf(x)~lng(x)
2. 泰勒展开
3. 洛必达
条件
0/0 ; ∞/∞
去心领域可导
极限不唯一 → 失效
推广
*/∞也可洛必达
4. 极限四则运算
乘法全未知
5. 拉格朗日中值定理b
6. 凑导数定义
含幂指函数
含变限函数
标准型
非标准型的处理
一元
提出x
换元
二元
交换积分次序
含抽象函数
1. 洛必达
2. 导数定义
3. 积分中值定理
4. n阶
皮亚诺余项泰勒公式—几阶可导展开到几阶
已知极限求参数
一定是未定式
【注】去积分限
洛必达
积分中值定理（广义）
放缩成能够积分
3. 函数极限两大定义、四大计算
极限的局部保号性
已知极限保本身
只保">""<"号，不保"="
已知本身保极限
本身有无"="都保"="
函数有界性的判定
扯面定理
特例
xsin1/x 不存在且非无穷
1/xsin1/x 无界非无穷
【注】
极限存在的必要条件：去心领域内所有函数值必须有意义
f´(x)有界 → f(x)有界
f(x)无界 → f´(x)无界
4. 数列极限定义与性质
5. 数列极限计算
1. 归结原理
2. 定积分定义
一提、二和、三找项
3. 夹逼准则
4. 单调有界准则
n项和
定积分定义
取对数
夹逼准则求极限放缩方法
不等式
放缩分母使分子可加
单调有界必有极限
②有界性
数学归纳
③单调性
作差
作比
对Xn+1=f(x)求导
导数>0
X2>X1
单调增
单调减
X2<X1
导数<0
无单调性
①求极限
6. 连续与间断
函数连续与简短的判定
间断点
第Ⅰ类
可去
跳跃
第Ⅱ类
无穷
震荡
连续性
定义法
图像法
初等函数有定义就连续
由极限式确定的函数（包装函数）
连续函数性质
四则运算
连续x不连续=未知
复合函数连续性
只有连续[连续]=连续
二、 一元函数微分学
1. 导数定义与微分定义
利用导数定义求导数
利用导数定义求极限
微分定义
2. 导数与微分的计算
1. 四则运算的证明——用计算型定义
2. 复合函数导数与微分
3. 一元隐函数导数与微分
4. 分段函数导数与微分
分段点外直接求
分段点上
用定义
用导函数极限
要求：连续且导数=A/¥，不能震荡
5. 参数方程导数与微分
6. 反函数导数与微分
7. 求函数的高阶导数
公式法
泰勒展开法, 原理：待定系数
递归法
3. 导数的几何意义、相关变化率
求曲线的切线与法线方程
相关变化率
4. 单调性、极值与最值
常见函数的构造方法
单调性与极值的求解与判定
判定
找可疑点：极值的必要条件
f´(x₀)=0
f´(x₀)不存在
画图
第二充分条件
一阶导数=0
二阶导数>0
极小值
二阶导数<0
极大值
第一充分条件
函数连续且可导，导数左右领域变号
第三充分条件
只有偶数阶导能判定，奇数阶导不能判定
一阶=二阶=三阶导数=0
四阶导数>0
四阶导数<0
【注】几点经验
一点连续无法退出领域内连续
一点导函数的正负性不决定领域内单调性
一点的导数正负性不决定领域内单调性，除非导函数在这点连续
5. 凹凸性与拐点
凹凸性与拐点的求解与判定
6. 渐近线和曲率
求渐近线
垂直渐近线
水平渐近线
斜渐近线
曲线曲率
7. 方程的根和函数零点
证明方程根（函数零点）的存在性
至少存在——零点定理、罗尔定理
至多存在——罗尔定理推论、单调性
有且仅存在n个=综合两个
求解方程根（函数零点）的个数
求导、分离参数法（画图看交点）
8. 不等式的证明
函数不等式证明
移项设函数，求导证单调
参数不等式证明
1. 转换成函数不等式
2. f(a)与f(b)具有相同的对应法则→证明函数单调性
3. f(b)-f(a)→拉格朗日
三、 一元函数积分学 【15-20分】
1. 不定积分的定义与性质
不定积分的计算
原函数存在性
连续 → 一定存在
闭区间有定义
存在可去、震荡、无穷间断点 → 不存在
存在震荡间断点 → 可能存在
定积分存在性
闭区间连续 → 定积分一定存在
闭区间有界，且存在有限个（可去、跳跃、无穷）间断点 → 定积分存在
原函数奇偶性
分段函数的不定积分
分段点外直接积，分段点上必连续。
2. 定积分定义与性质
几何意义
基本性质
相关计算
直接法
技巧法
3. 变限函数
4. 定积分的等式证明
5. 积分不等式
6. 反常积分
计算
敛散性的判定
7. 定积分的几何应用
面积
体积
弧长
旋转体侧表面积
8. 定积分的物理应用
形心、质心
变力做功
压力、万有引力...
四、 常微分方程 解方程 5分 通 解 5分 综 合 10分
1. 一阶微分方程的求解
(1) 可分离变量
(2) 齐次方程
(3) 阶非齐次线性微分方程
2. 高阶微分方程的求解
二阶可降解
二阶常系数线性微分方程
齐次
非齐次
三阶常系数齐次线性微分方程
3. 线性微分方程反问题
5分
已知线性微分方程的解，求该方程通解.
已知线性微分方程的通解，求该方程.
要想解方程，必先知通解
要解非齐次，必先求齐次
4. 微分方程变换
本质是导数的变化
5. 微分方程综合题
五、 中值定理
1.
方向：m ≤ A ≤ M
定理：最值定理 → 界值定理
注
证明积分中值定理推广形式
2. 单中值问题
F(ξ)=0
罗尔定理
原函数（万能构造）
F(a)F(b)<0
F´(ξ)=0
原函数（万能构造法）
难点
1 原函数的构造
2 找初值点
3. 双中值问题—证明存在两个中值点使得等式(或不等式)成立
拉-拉
拉-柯
柯-柯
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
证明
4. 高阶导问题
1 多次使用罗尔定理（多条件）
2 泰勒定理
拉格朗日余项
皮亚诺余项
六、 多元函数微分学
多元微分学的基本概念(5分)
1. 二重极限
【注意】二重极限中“阶”问题在二重极限中阶只能给你一个方向，千万不敢下结论!!!
2. 二元函数的连续性
3. 二元函数的可导性
4. 二元函数的可微性
充分条件
偏导数与全微分的计算（10分)
1. 简单多元显函数
【方法论】先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导，有多少中间变量就有几个部分
2. 多元抽象复合函数10分
单一中间变量
多中间变量
出现套娃不缩写
3. 多元微分方程的变量替换
4. 二元隐函数的偏导，全微分
一阶
首选公式法
二阶
首选求导法
隐函数存在定理
5. 全微分或偏导数的反问题
全微分
凑微分
偏积分
偏导数
多元函数求极值、最值
1. 二元函数的无条件极值
定义
必要条件
2. 有条件极值（最值）
拉格朗日乘数法
设函数
求偏导
解方程
回代定最值
3. 二元函数的闭区域最值
1 区域内 → 无条件
2 边界上 → 有条件
找嫌疑人
驻点
嫌疑人
3 pk
七、 二重积分
二重积分的定义与性质
背景：曲顶柱体的绝对体积
性质
二重积分是数
比较定理
【新大纲】中值定理
二次积分求极限
非标准型
二重积分中值定理
二重积分计算
利用直角坐标
X型
f(x)
Y型
f(y)
方法：取点、划线、投影、积分
利用极坐标
方法：先看θ→取θ拉条射线
积分区域是圆
x2+y2
同比次方函数
优先考虑极坐标
技巧法（二重积分对称性）
奇偶性
积分区域关于x对称
被积分函数看y
奇函数
0
偶函数
×2
没有看成y的偶函数
积分区域关于y对称
被积分函数看x
没有看成x的偶函数
轮换对称性
积分区域关于y=x对称
两者相加÷2
考研中二重积分破题思路
画出积分区域D
看看对称性
对称性
无对称性
补一刀具有对称性
二次积分次序调换及计算
1 画图
2 重新定限
线性代数
一、 行列式
代数余子式线性和问题
数值型行列式计算
抽象型行列式计算
二、 矩阵
矩阵运算
矩阵的逆矩阵问题
方阵的高阶次幂问题
解矩阵方程问题
初等变换与初等矩阵
矩阵的轶
矩阵轶的定义与计算
矩阵轶的公式相关应用
三、 向量与方程组【难】
线性相关性与齐次线性方程组
线性相关性的判定
数值型齐次线性方程组解的判定与求解
基础解系
线性表出与非齐次线性方程组
数值型非齐次线性方程组问题
抽象型非齐次线性方程组
向量线性标出与非齐次线性方程组
矩阵方程解的判定
向量组等价
向量组极大无关组求解
矩阵方程
方程组的通解、公共解问题
两个线性方程组的公共解的问题
讨论两个线性方程组解的关系问题
四、 特征值
特征值与特征向量的求解问题
求数值型矩阵的特征值与特征向量
求抽线型矩阵的特征值与特征向量
矩阵相似与矩阵相似对角化
矩阵的相似对角化问题
实对称矩阵相似对角化
五、 二次型
化二次型为标准型、规范性
惯性定理及正负性指数求解
矩阵的等价、相似和合同
正定二次型与正定矩阵
