考研数学高数备考求极限的方法

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考研数学高数备考求极限的方法

了解极限的基本概念和定义

示例如何使用极限定义来计算常见数列的极限

比如通过使用极限定义求出等差数列的极限

或者使用极限定义来计算等比数列的极限

示例如何使用极限定义来计算函数的极限

比如使用极限定义求解多项式函数的极限

或者使用极限定义计算三角函数的极限

理解极限的性质和运算法则

掌握常用的极限运算法则

比如极限的四则运算法则

还有极限的数乘法则和乘法法则

以及极限的复合函数法则

熟悉极限的基本性质

比如极限存在的唯一性

还有极限的保号性和保界性

以及极限与函数连续性的关系；

求解基本极限的方法

能熟练求解常用的基本极限

比如求解常见的无穷小量的极限

如求解 $lim_{x\to0}\frac{sinx}{x} = 1$

或求解 $lim_{x\to0}\frac{tanx}{x} = 1$

掌握常用的数列极限

如求解 $lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}$

或求解 $lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$

还有求解级数的收敛性和敛散性

熟悉基本的函数极限

比如求解 $lim_{x\to+\infty}e^x$

或求解 $lim_{x\to0}\frac{ln(1+x)}{x}$

能够利用泰勒展开求解复杂极限

如使用泰勒展开求解 $lim_{x\to0}sinx$

或使用泰勒展开求解 $lim_{x\to0}e^x$；

运用重要的极限定理求解极限

理解和应用中值定理和拉格朗日定理

使用中值定理求证极限的存在性

如使用中值定理证明 $lim_{x\to0}\frac{sinx}{x} = 1$

或使用中值定理证明 $lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$

利用拉格朗日定理计算极限

如使用拉格朗日定理计算 $lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$

掌握洛必达法则的使用

使用洛必达法则求解极限

如求解 $lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}$

或求解 $lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}$

理解洛必达法则的适用条件和限制

如何判断洛必达法则是否适用

如果不适用，可以采用其他方法求解极限；

运用极限的性质求解复杂极限

利用极限的性质简化复杂极限

如利用极限的性质简化 $lim_{x\to0}\frac{sin2x}{x}$

或利用极限的性质简化 $lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{3}{x}}$

使用夹逼定理和无穷小代换求解无法直接计算的极限

如使用夹逼定理求解 $lim_{x\to0}\frac{sin2x}{x}$

或使用无穷小代换求解 $lim_{x\to0}(1+sin5x)^{\frac{1}{x}}$；