导图社区 高数同济第一章
高数同济第一章知识点细分及题型总结
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第一章 函数与极限
映射与函数
映射
定义
X,Y非空集合 f法则 X每个元素映射唯一Y中元素 f：X原像->Y像
分类
f关系数
满射
Y中元素对应X中元素>=1
单射
x不相等 对应y不相等
双射
单并且满 一 一对应
算子的XY集合
泛函
非空X 数集Y
变换
非空X 非空X 自身映射
函数
X实数集（或其子集） Y实数集（或其子集）
逆映射
只有单射才存在逆映射
复合映射
f。g = f【g（x）】
定义域 值域
表示方法
表格法
图形法
解析法（公式）
函数特性
有界性
有上界加下界=有界
单调性
严格递增，减
奇偶性
定义域一定关于o对称
周期性
f（x+l）=f（x）
函数特殊例子
绝对值函数
符号函数
取整函数
图形为阶梯曲线
左取整
[x]<=x
[x+y]≠[x]+[y]
k∈z，[x+k]=[x]+k
狄利克雷
周期函数
反函数
严格单调/单射
关于y=x对称
复合函数
初等函数
常数
基本初等函数
幂函数
x的u次方 u∈R
指数
a的x次方 a>0且≠1
对数函数
log a x （a>0且a≠1）
三角函数
反三角函数
经过前两元素 有限次的加减乘除四则运算和复合
极限
case1
ε-N
数列极限
无限接近不一定能取到
n+1/n趋于1（n趋于∞）但是n+1/n≠1
收敛数列性质（定理）
极限唯一性
反证法证明 ε=b-a/2
例子 用其证明xn=-1的n+1次方是发散的
收敛数列有界性
证明 取ε=1
|xn|=|xn-a + a|≤|xn-a|+|a|<|a|+1
||xn|-|a||≤|xn-a|<1
取M=max{|x1|，。。。|xn|，1+|a|} |xn|≤M，有限个点落在区域外，函数局部保号性
无界的一定是发散的，反之不一定；收敛的一定是有界的，反之不一定。
收敛数列保号性
极限>0（或<0）则存在N之后xn>0（或<0）
证明
a>0
ε=a/2
a<0
ε=-a/2
推论：数列从某项起有xn≥0(或≤0)且数列极限为a，则a≥0（或≤0）
收敛数列与其子数列间的关系
{xnk}，{xn} n>N |xn-a|<ε 取K=N k>K nk>nK=nN≥N
例子
{xn}两子数列收敛于不同极限{xn}发散
（-1）^n+1
case2
ε-δ
case3
ε-X
函数极限
有限值x0
绝对值∞
极限存在充要条件
左极限和右极限都存在且相等
题型五
a^(？/x-b)
a^(？/b-x)
一定分左右
几何意义
水平渐近线
x趋于∞时fx=A
x趋于a，x≠a
x趋于a，a- a+
去心邻域，左邻域和右邻域
lim x趋于a fx 与fa无关
左极限右极限
铅直渐近线
x趋于x0时fx=∞
函数极限性质（定理）
唯一性
局部有限性
局部保号性
3'如果lim x->x0 fx=A≠0 则存在x0去心邻域 有|fx|>|A|/2
推论：如果某一去心邻域fx≥0（或≤0）则极限fx≥0（或≤0）
函数极限与数列极限关系
lim x->∞f（xn）=lim x->x0 fx xn≠x0
证明 ε取δ
子主题
无穷小与无穷大
无穷小
极限为0
定理
fx极限为A<=>fx=A+α（无穷小）
常函数0为无穷小，但不穷小不一定是0常函数
非零函数是否为无穷小与x趋向有关
常规性质
无穷小相加减仍为无穷小，自变量都趋于同一变化
kα（α为无穷小）也为无穷小
有限个无穷小相乘为无穷小
有界无穷小乘积无穷小
lim fx=A,则fx=A+α，α——>0
等价性质
α~α
α~β——》β~α
α~β，β~γ则α~γ
if α~α1，β~β1，且lim β1/α1=A，则lim β/α=A
无穷小的比较
反映不同无穷小趋于0的快慢程度
同一自变量的变化过程中的无穷小，α≠0
lim β/α=0
β比α高阶的无穷小
β=o(α)
lim β/α=∞
β比α低阶的无穷小
lim β/α=c≠0
同阶无穷小
c=1
等价无穷小
α~β
定理1
等价无穷小的充要条件
β=α+o（α）
定理2
x——》0
x~sinx~tanx~arctanx~arcsinx~e^x-1~ln（1+x）
1-cosx
x^2/2
（1+x）^a -1~ax
性质
自反性
对称性
传递性
lim β/ α^k=c≠0,k>0
β是关于α的k阶无穷小
无穷大
|fx|≥M
正负无穷
无穷大和无穷小的关系
lim x->x0 fx=0<=>lim x->x0 1/fx =∞
证明 ε=1/M ； M=1/ε
极限运算法则
建立初等函数的运算法则
两个无穷小的和为无穷小
数学推理法：有限个无穷小为无穷小
有界函数与无穷小的乘积为无穷小
推论1：常数与无穷小的乘积为无穷小
推论2：有限个无穷小的乘积为无穷小
定理3
fx极限=A，gx极限=B的加减乘除四则法则
加减：A+/-B
证明：fx=A+无穷小；gx=B+无穷小
乘除
A*/÷B 除法B不等于零
证明：除法 通分后上面为无穷小下面变换定义倒数 |gx|>|B|/2 1/B(B+β）<2/B…^2有界 有界×无穷小=无穷小
推论1：cfx的极限=c*fx的极限
推论2：fx^n的极限=fx极限的n次方
定理4
数列的定理3
定理5
如果φx≥ψx，φx的极限=A，ψx的极限=B，则A≥B
定理6
复合函数运算法则
y=fu u=Φx Φx≠a （因为根据定义0<|Φx-a|<η）如果 fu的极限为A Φx趋于x0的极限=a，则f【Φx】x趋于x0的极限=A
多项式
有理整函数
直接带入x0
有理分函数
直接带入x0（分母不等于0）
约分 有理化 因式分解
分子分母同除最高次
分子分母极限都不存在则有界*无穷小
x趋于∞，Px=an x^n+……a1 x1+a0;Qx=bm x^m+……b1 x1+b0;Px/Qx=
m=n
an/bn
n>m
∞
n<m
0
题型一n项和求极限
夹逼准则
不齐
动不齐，不动齐的
定积分定义
分子齐，分母齐且分母多一次
极限存在准则 两个重要极限
准则Ⅰ
数列型
函数型
应用于n项和求极限
可证x->0 lim sinx/x =1,cosx=1
sinx<x<tanx (0,π/2)
准则Ⅱ
单调有界数列必有极限（充分性）
{an}有界<=>{an}有上下界
如果{an}单增
有上界n趋于∞极限存在
无上界n趋于∞极限不存在+∞
{an}单减
有下界n趋于∞极限存在
有上界n趋于∞极限不存在-∞
应用 lim x趋于无穷大 （1+1/x)^x=e
柯西审敛原理（充要条件）
{xn}收敛<=>任意ε>0，存在N，m>N,n>N,|Xn-Xm|<ε
题型二 极限存在性证明
规律递变关系
数学归纳法
单调有界数列必有极限
两个重要极限
lim △——》0 （1+△）^（1/△）=e
lim △——》0 sin△/△=1
题型三 不定型求极限
★★
0/0
习惯
ux^vx
e^vxln(ux)
ln()
ln(1+△)~△ △->0
（）^-1
e^△ -1~ △ △->0
（1+△）的a次方-1~a△ △->0
x-ln（1+x）
二阶无穷小
x sinx tanx arctanx arcsinx 任意两个之差
三阶无穷小
误区（等价无穷小）
上下精确度不同不可直接比
可以把精确度拆分对齐
1^∞
凑（1+△）^（1/△）
恒等变型
☆
∞/∞
指数增长>幂函数>对数函数
0*∞
0/(1/∞)
∞/(1/0)
∞-∞
通分
分子分母有理化
∞^0
0^0
e^ln
闭区间上连续函数性质
有界定里
最值定理
零点定理
介值定理
推论
fx在【a，b】上连续则m和M之间任意一点都可取到
note/证明题
首选零点定理
fx∈C【a，b】，存在c∈（a，b）
fx∈C【a，b】
存在c∈【a，b】
函数值之和
函数间断
分类 题型六
第一类
左右极限都存在
可去间断点
左右极限相等但不等于fa
跳跃间断点
左右极限不相等
第二类
左右极限至少有一个不存在
函数连续
一点连续
f（a+0）=f（a+0）=fa
区间连续
fx在【a，b】上连续
fx在（a，b）连续
fa=f（a+0）
fb=f（b-0）
左右连续
点
区间
连续函数
运算
（四则运算）定理1

证明用极限的四则运算法则
（复合函数）定理3
定理证明中外侧连续内侧极限 ； 复合函数极限运算法则，两个都是极限根据定义有gx≠a
(反函数)定理2
（复合函数连续性）定理4
初等函数连续性
