微积分

对微积分学习的笔记， 可以快速了解微积分，以及微积分的相关应用；

微积分

• 经济学概念
  • 边际
    • 从导数切入，是研究一个变量很好的方法
      • 在经济学中， 导数的概念对应于----“边际”
    • 边际成本
      • 指产量增加一个单位时， 所增加的成本
      • 其实就是 成本的 导数
        • 因为边际的本意就是指 在边缘位置上
      • 同理， 还有 边际收入 边际利润 边际价值
    • 生动的例子
      • 在沙漠时， 第一瓶水， 你愿意出 1万元， 第二瓶水， 你只愿意出100， 第三瓶水， 你都喝不下去了；
      • 所以，水的 边际价值 很快下降了
  • 弹性
    • 就是 定量地描述一个变量对另一个变量的反应程度
      • 简单说， 变量x变化1%，会引起变量y变化百分之几；
      • 表示方法
        • 弹性 e = y`x/y
        • 导数y`不就可以表示弹性的含义吗？为啥多出一个 x/y?
          • 这是考虑到量纲的原因，我们希望排除掉量纲的影响；
          • 这样， 当 |e| =1时，我们把它叫做 单位弹性，
          • 当 | e | > 1时，高弹性
          • 当| e | < 1时， 低弹性
    • 这个经济学概念有一个基本的应用， 就是 判断价格变动对收益的影响；
      • 当处于高弹性时
        • 降价可以使总收益增加， 这就是薄利多销多收益，而提价会使总收益减少
      • 当处于 低弹性时
        • 则正好相反
      • 当处于 单位弹性时
        • 意味着 提价降价对总收益都没有什么影响
• 微积分建模方法
  • 根据逻辑推理判断变量之间的关系
  • 对于动态/变化/难以表达的量，尝试对它的微元进行分析，再综合起来；
  • 如果能找到函数（包括函数的导数）之间的间接关系，能列出微分方程，求解即可；
  • 当理解了微积分这种思想后， 基本上所有的微积分应用（包括各个学科中的应用），你都会觉得理所应当，根本没什么！
• 回转体体积
  • 就是一个体的形成， 可以看成是 一个面 绕一个轴旋转而来的
  • 之所以可以求它的体积， 就是由于这种特性
    • 体积微分 dV = 面积 * 宽度微元 dx
      • • 充分体现了 先微后积的 思想
• 曲率&曲率半径
  • 圆弧的半径公式
    • 半径 = 弧长/弧度
  • 曲率半径
    • 因为普通的弧上， 曲率各出都有可能不同， 所以要表达成微分的形式
      • 一般用p标识曲率半径， 已跟固定半径r区别开
      • ds 已经知道， 弧度微分dα如何求呢？
        • 做一条与弧线相切的直线， 那么α角 可以 等价于 绿箭头所示角
        • 这个角，正是弧线处此时的“斜率角”
          • 斜率角 = 斜率（arctan）
        • acrtan的导数查表即知， 代入， 得到曲率的公式
    • 而曲率k定义为----曲率半径的倒数1/p,所以二者的本质是 同一种性质的不同表达
  • 从此例中， 正是由于弧上各处的曲率是不同的， 所以我们才要借助微积分工具， 对微元进行 分析；
• 理解微积分的真谛， 降维投影
  • 微分过程
    • 求一条曲线 y =f(x) 下的面积， 先分成无穷多个小矩形
      • 每个矩形面积是 宽*高， 宽是dx, 高是f(x)
  • 积分过程
    • 再把无穷多各小矩形面积求和
  • 如何求一个函数 f(x) 在a与b之间的 平均值？
    • 均值 = 面积 / 宽度
  • 弧长
    • 弧长微分 ds 怎么表示？
    • 弧 本身的定义就是无穷多段直线逼近的结果
      • 所以，画出的小三角形中， 斜边长， 就是 ds
      • 那就可以使用 勾股定理表达
  • 微积分建模的关键之一
    • 表示出目标变量的微分； 只要表示出来， 后面的积分无非是 计算而已；