导图社区 1张宇数学30讲——第一讲高等数学预备知识
一、函数及初等知识，函数y=f(x)，①若f(x)是可导的偶函数，则f' (x)是奇函数，②若f(x)是可导的奇函数，则f' (x)是偶函数，③若f(x)是可导的周期为T的周期函数，则f' (x)也是以T为周期的周期函数... ...
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一、函数及初等知识
函数概念及其性质
函数y=f(x)
性质
有界性
|f(x)|≦M (M为正数）
既有上界又有下界
讨论有界性必须要指明区间
单调性
常通过求导
定义也不可忘
奇偶性
奇函数f(-x)=-f(x)
原点对称
当f(x)在x=0处有定义时，必有f(0)=0
联想
拉格朗日中值定理f(b)-f(a) 一般有f(a)=0=f(0)
f(x)>xf(1)即
加减法中0不体现 乘除法中1不体现
F(x)=f(x)-f(-x)必为奇函数
偶函数f(-x)=f(x)
Y轴对称
f'(0)存在时，必有f'(0)=0.
F(x)=f(x)+f(-x)必为偶函数
函数y=f(x)的图形关于直线x=T对称
充分必要条件
f(x)=f(2T-x)或f(x+T)=f(T- x).
规律
奇×奇=偶 奇×偶=奇 偶×偶=偶 奇奇复合=奇 偶偶复合=偶 奇偶复合=偶
周期性
f(x+T)= f(x)
重要结论
①若f(x)是可导的偶函数，则f' (x)是奇函数
②若f(x)是可导的奇函数，则f' (x)是偶函数
③若f(x)是可导的周期为T的周期函数，则f' (x)也是以T为周期的周期函数
④连续的奇函数的一切原函数都是偶函数
⑤连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数
⑥若连续函数f(x)以T为周期且
⑦若f(x)在有限区间(a,b)内可导且f'(x)有界，则f(x)在(a,b)内有界.
反函数
单调必有反函数
若证有反函数可先证其单调
不能反过来说反函数必单调
反函数与原函数是x、y互换的结果
分段函数求得反函数的定义域也应该换上y的取值范围
复合函数 y=f[g(x)]
g(x)的值域在f(x)的定义域内
广义化，将f(x)式子中的x全部用g(x)替换掉
画出g(x)的图像
写答案
题型：求反函数或复合函数 反函数和复合函数都需要用到替换，替换要彻底，包含定义域
函数图像
直角坐标系下f(x,y)=0
常见图像
初等
幂函数
考点
幂指函数
指数函数
对数函数
多项相乘、相除、乘方、开方 都先取对数再化简再运算
三角函数
y=sinx,y=cosx
子主题
反三角函数
三个常考函数
18例5.17
y=x^nx基本上都是这样的图形 然后最低点都是x=1/e
定义域、值域、单调性，奇偶性， 周期性，特殊函数值以及图像
分段函数
绝对值函数
一般用来举反例，该函数连续但当x=0时不可导
取整函数
y=[x]
一般用于夹逼准则里
最值函数
图像变换
平移变换
左+右-，上+下-
对称变换
y=f(x)
y=-f(x)上下对称；y=f(-x)左右对称；y=-f(-x)中心对称
y=|f(x)|去下对上
y=|lnx|
y=f|(x)|去左对右
y=ln|x|
伸缩变换
纵乘横除
极坐标系下的图像(g(r, θ)=0)
用描点法画常见图像
心形线（外摆线）
为周期，极轴为对称轴
玫瑰线
为周期
阿基米德螺线
伯努利双纽线
用直角系观点画极坐标系下图像
参数法一一 参数方程
摆线（平摆线）
星形线（内摆线）
常用基础知识
数列
等差
等比
若|r|<1,则
常用
基本关系
诱导公式
奇变偶不变，符号看象限
重要公式
二倍角公式
万能公式
（可以理解为二倍角公式的另一种形式） 即单角的三角函数都可以用半角的正切来表示
和差公式
和差化积公式
积化和差公式
因式分解
基本公式
二项式定理
阶乘与双阶乘
n!=1·2·3·4·……·n (规定0！=1）
(2n)!!=2·4·6·....·(2n)=
点火公式
(2n-1)!!=1·3·5·....·(2n- 1).
常用不等式
①|a士b|≤|a|+ |b| ②||a|-|b||≤|a-b|.
设a>b>0,则
当n<0时,
当n>0时,
若0<a<x<b,0<c<y<d,则
sin x<x< tan x (0<x<号).
sin x<x(x>0).
arctan x≤x≤arcsin x(0≤x≤1).
lnx≤x+1
±2/e利用lnx 与根号x的公切线比较出来的吗
主题
基础30讲
立体几何
