1张宇数学30讲——第一讲高等数学预备知识

一、函数及初等知识，函数y=f(x)，①若f(x)是可导的偶函数，则f' (x)是奇函数，②若f(x)是可导的奇函数，则f' (x)是偶函数，③若f(x)是可导的周期为T的周期函数，则f' (x)也是以T为周期的周期函数... ...

一、函数及初等知识

• 函数概念及其性质
  • 函数y=f(x)
    • 性质
      • 有界性
        • |f(x)|≦M (M为正数）
          • 既有上界又有下界
          • 讨论有界性必须要指明区间
      • 单调性
        • 常通过求导
        • 定义也不可忘
      • 奇偶性
        • 奇函数f(-x)=-f(x)
          • 原点对称
            • 当f(x)在x=0处有定义时，必有f(0)=0
              • 联想
                • 拉格朗日中值定理f(b)-f(a) 一般有f(a)=0=f(0)
                • f(x)>xf(1)即
                • 加减法中0不体现 乘除法中1不体现
          • F(x)=f(x)-f(-x)必为奇函数
        • 偶函数f(-x)=f(x)
          • Y轴对称
            • f'(0)存在时，必有f'(0)=0.
          • F(x)=f(x)+f(-x)必为偶函数
          • 函数y=f(x)的图形关于直线x=T对称
            • 充分必要条件
              • f(x)=f(2T-x)或f(x+T)=f(T- x).
        • 规律
          • 奇×奇=偶 奇×偶=奇 偶×偶=偶 奇奇复合=奇 偶偶复合=偶 奇偶复合=偶
      • 周期性
        • f(x+T)= f(x)
      • 重要结论
        • ①若f(x)是可导的偶函数，则f' (x)是奇函数
        • ②若f(x)是可导的奇函数，则f' (x)是偶函数
        • ③若f(x)是可导的周期为T的周期函数，则f' (x)也是以T为周期的周期函数
        • ④连续的奇函数的一切原函数都是偶函数
        • ⑤连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数
        • ⑥若连续函数f(x)以T为周期且
        • ⑦若f(x)在有限区间(a,b)内可导且f'(x)有界，则f(x)在(a,b)内有界.
  • 反函数
    • 单调必有反函数
      • 若证有反函数可先证其单调
      • 不能反过来说反函数必单调
    • 反函数与原函数是x、y互换的结果
    • 分段函数求得反函数的定义域也应该换上y的取值范围
  • 复合函数 y=f[g(x)]
    • g(x)的值域在f(x)的定义域内
      • 广义化，将f(x)式子中的x全部用g(x)替换掉
      • 画出g(x)的图像
      • 写答案
  • 题型：求反函数或复合函数 反函数和复合函数都需要用到替换，替换要彻底，包含定义域
• 函数图像
  • 直角坐标系下f(x,y)=0
    • 常见图像
      • 初等
        • 幂函数
          • 考点
            • 幂指函数
        • 指数函数
        • 对数函数
          • • 多项相乘、相除、乘方、开方 都先取对数再化简再运算
        • 三角函数
          • y=sinx,y=cosx
          • 子主题
          • 子主题
        • 反三角函数
        • 三个常考函数
          • 18例5.17
            • • y=x^nx基本上都是这样的图形 然后最低点都是x=1/e
        • 定义域、值域、单调性，奇偶性， 周期性，特殊函数值以及图像
      • 分段函数
        • 绝对值函数
          • 考点
            • 一般用来举反例，该函数连续但当x=0时不可导
        • 取整函数
          • y=[x]
            • 考点
              • • 一般用于夹逼准则里
        • 最值函数
    • 图像变换
      • 平移变换
        • 左+右-，上+下-
      • 对称变换
        • y=f(x)
          • y=-f(x)上下对称；y=f(-x)左右对称；y=-f(-x)中心对称
          • y=|f(x)|去下对上
            • y=|lnx|
          • y=f|(x)|去左对右
            • y=ln|x|
      • 伸缩变换
        • 纵乘横除
  • 极坐标系下的图像(g(r, θ)=0)
    • 用描点法画常见图像
      • 心形线（外摆线）
        • 为周期，极轴为对称轴
      • 玫瑰线
        • 为周期
      • 阿基米德螺线
      • 伯努利双纽线
    • 用直角系观点画极坐标系下图像
  • 参数法一一 参数方程
    • 摆线（平摆线）
    • 星形线（内摆线）
• 常用基础知识
  • 数列
    • 等差
    • 等比
      • • 若|r|<1,则
    • 常用
  • 三角函数
    • 基本关系
    • 诱导公式
      • 奇变偶不变，符号看象限
    • 重要公式
      • 二倍角公式
      • 万能公式
        • • （可以理解为二倍角公式的另一种形式） 即单角的三角函数都可以用半角的正切来表示
      • 和差公式
      • 和差化积公式
      • 积化和差公式
  • 因式分解
    • 基本公式
    • 二项式定理
  • 阶乘与双阶乘
    • n!=1·2·3·4·……·n (规定0！=1）
    • (2n)!!=2·4·6·....·(2n)=
      • 点火公式
    • (2n-1)!!=1·3·5·....·(2n- 1).
  • 常用不等式
    • ①|a士b|≤|a|+ |b| ②||a|-|b||≤|a-b|.
    • 设a>b>0,则
      • 当n<0时,
      • 当n>0时,
    • 若0<a<x<b,0<c<y<d,则
    • sin x<x< tan x (0<x<号).
    • sin x<x(x>0).
    • arctan x≤x≤arcsin x(0≤x≤1).
    • lnx≤x+1
    • • ±2/e利用lnx 与根号x的公切线比较出来的吗
• 主题
• 基础30讲

三角函数

立体几何