线性代数第一，二章

线性代数上册第一二章知识点思维导图

线性代数

• 第一章
  • 第一节
    • 一. 预备知识
      • 求和符号，连乘符号
        • 子主题
      • 1. 唯一解(只交于一点) 2.无解(平行且不重合) 3. 无穷多组解(重合)
    • 二. 二阶行列式
      • 高斯消元
      • 二阶行列式的直观理解
        • （右手准则）
    • 三. 三阶行列式
      • 三阶行列式的直观理解
    • 四. n级排列 逆序 对换
      • 定义 由1，2，… , n组成的一个有序数组称为一个n 级排列
      • 定义 在一个排列中，如果一个大的数在小的数前，则称这两个数构成一个逆序。逆序的总数称为此排列的逆序数（记为 τ）。逆序数为奇(偶)数的排列称为奇(偶)排列
      • 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，就是做一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.
      • 定理　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性
  • 第二节
    • 一. n 阶行列式的定义
      • 定义1 由n2 个数组成的n阶行列式等于所有来自不同行不同列 的n个元素的代数和
• 第二章矩阵
  • 第一节
    • (1)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵，可记作An .
    • 三.矩阵的运算
    • 四.对称矩阵与反对称矩阵
    • 定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 AT =A , 即aij=aji,称 A 为对称矩阵.
    • 定义：如果n阶方阵A满足 AT= - A，即aij= -aji,则称A为反对称矩阵
    • 矩阵的加法与数乘运算称为矩阵的线性运算。
      • 加法
        • 
          • 
      • 乘法(数乘)
        • 
          • • 解：
    • 矩阵乘法的定义
      • 
        • 
      • 
    • 方阵的幂
      • 定义 设A是n阶方阵，规定
        • 注意 
    • 矩阵的转置
      • 把矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。
        • 运算律
          • 
    • (2)就是n维行向量. 就是n维列向量
    • 
    • 子主题
    • 
    • （6）零矩阵记为0m×n二者不相等
    • 二，同型矩阵与矩阵相等的概念
      • 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
      • 2.矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n同型,且对应元素相等,则 称矩阵A,B相等,记作A=B。
  • 第二节
    • 一. 分块矩阵及其运算
      • 分块矩阵的运算规则(乘法，转置)
        • 分块矩阵A，B的乘法运算规则： 1. A列的分法与B行的分法一致。 2. A的列数=B的行数。 3. 把子块看做矩阵的元素。
      • (2) 分块转置
        • 
    • 二.方阵的行列式
      • 定义 由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或det(A) 。
        • 设A,B为n阶方阵,λ为实数,则有下列等式成立: 
    • 三. 可逆矩阵
      • 定义 对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B，使得BA=AB=E 则称A是可逆矩阵（非奇异阵）,并称矩阵B为A的逆矩阵. 记作A-1=B.
    • 四. 逆矩阵的唯一性与存在性
      • 唯一性 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
      • 充分性 若A是可逆矩阵，则|A|≠0。
  • 第三节
    • 一. 初等变换与行阶梯形矩阵
      • 初等变换
        • 由高斯消元引入矩阵的初等变换： (1)交换两行(对换变换ri↔rj)； (2)用非零数乘以某一行(倍乘变换ri×k, k≠0) ； (3)把某一行的倍数加到另一行(倍加变换ri+rj×k)．
        • 若矩阵 A 经过有限次(行)初等变换变成 B，则称 A与B(行) 等价，记作 A ～ B . (等价关系具有反身性,对称性,传递性。)
      • 行阶梯形矩阵
        • 定义 一个矩阵称为行阶梯形矩阵，若它有以下两个特点: 1.非零行的主元前面的0的个数逐行递增。 2.如果有零行，零行在最下面一行。
    • 二. 矩阵的秩(r)
      • 定义 在矩阵 A中，任取 k 行、k 列所得的 k2个 元素不改变它们的相对位置而得的 k 阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子式
      • 定义 矩阵 A的 最高阶非零子式的阶数 称为 A的秩， 记作 rank(A) 或者r(A)。
      • 定理 初等变换不会改变矩阵的秩，即若A ~ B, 则 r(A) = r(B) .
      • 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩。 任一矩阵都可经过行变换化为行阶梯型。所以用初等变换可以求矩阵的秩。
    • 三.矩阵的秩的性质
      • r(A) =r(AT) 。
      • A为n阶可逆矩阵则r(A)=n。(可逆阵也叫满秩矩阵)
    • 四.初等矩阵与初等变换
      • 初等矩阵
        • 定义 对单位矩阵做一次初等变换得到的矩阵叫做初等矩阵。
          • 注意 初等矩阵是可逆的，逆阵是与其同一类型的初等矩阵
  • 第四节
    • 一.用初等变换求逆矩阵
      • 命题 若An是可逆矩阵，则对任意n维列向量, 线性方程组
    • 二.线性方程组解的判定
      • r( )>r(A)，方程组无解。
      • r(  )=r(A)=未知量个数,方程组有唯一解。
      • r(  )=r(A)<未知量个数，方程组有无穷多个解。
      • 定理 设为非齐次线性方程组，则该方程组 (1)无解的充要条件是 2)有唯一解的充要条件是(未知量的个数)；(3)有无穷多个解的充要条件是
      • 推论 设为齐次线性方程组，则该方程组 (1)只有零解的充要条件是 r(A)=n； (2)有非零解的充要条件是 r(A)< n。
    • 三.矩阵的等价标准形
      • 设矩阵A的秩为r，A等价于如下矩阵：称为A的等价标准形
• 
  • 特别的对于分块对角矩阵有： 
• • 项数)3阶行列式是3!项的代数和．
  • (项的构成)每一项都是取自不同行不同列的3个元素之积.
  • (符号规律)前面的正负号取决于乘积项的列标排列的奇偶性．
• 称aij为行列式的第i行第j列的元素。