概率论

概率论的大体框架，帮助你理解深入一点

概率论

• 1. 随机事件与概率
  • 1.1. 随机试验和样本空间
    • 1.1.1. 随机试验
    • 1.1.2. 随机事件
      • 1.1.2. ABC
    • 1.1.3. 样本空间
      • 1.1.3. Ω
  • 1.2. 事件的关系和运算
    • 1.2.1. 七种关系
      • 子交并补和差积
      • 等价互斥与对立
    • 1.2.2. 十种运算
      • 交吸结分差
      • 还补矛蕴对
        • 从左至右有三变，和积互变长变短
  • 1.3. 事件的概率及其基本性质
    • 1.3.1. 概率的公理化定义
    • 1.3.2. 概率的基本性质
    • 1.3.3. 加减法公式
      • 加法公式
        • 两个事件加法
        • 两个事件减法
      • 减法公式
        • 涉及两个事件
        • 涉及三个事件
  • 1.4. 条件概率、乘法公式及事件的独立性
    • 1.4.1. 条件概率
      • 公式
      • 4条性质
        • ①p\begin{aligned}p\left( A_{1}\cup A_{2}|B\right) =p\left( A_{1}|B\right) +p\left( A_{2}|B\right) -p\left( A_{1}A_{2}|B\right) \\ ②p\left( A_{1}-A_{2}|B\right) =p\left( A_{1}|B\right) -p\left( A_{1}A_{2}|B\right) \end{aligned} ③p\left( \overline{A}|B\right) =1-p\left( A|B\right) ④P\begin{pmatrix} U^{n}Ai \\ i=1 \end{pmatrix}B)=\sum ^{n}_{i=1}p\left( A_{i}|B\right) 互不相容
    • 1.4.2. 乘法公式
      • 两个事件乘法
        • P(AB)=p(A)p(BIA)=p(B)p(AIB)
      • 三个事件乘法
    • 1.4.3. 事件的独立性
      • 两个事件独立
        • 公式
        • 其他四个等价条件
          • ①P(BIA）=p(B) ②P(AIB）=p(A) ③P\left( B|A\right) =p\left( B|\overline{A}\right) ④p\left( B|A\right) +p\left( \overline{B}|\overline{A}\right) =1
        • 互斥与独立的区别与联系
          • 联系
          • 区别
      • n个事件两两独立
        • 公式
      • n个事件相互独立
        • 公式
      • 两者之间的关系
  • 1.5. 全概率公式与贝叶斯公式
    • 1.5.1. 全概率公式
      • 由因求果
      • 完备事件组
    • 1.5.2. 贝叶斯公式
      • 由果索因
      • 全概率公式中的某一项比上全概率公式
  • 1.6. 三个重要的概率模型
    • 1.6.1. 古典概型
    • 1.6.2. 几何概型
    • 1.6.3. 伯努利概型
      • p(A)=p
      • q=1-p
      • 公式
  • 1.7. 真题中的若干细节知识点
    • 1.7.1. 若干箱子若干球,先选箱子再摸球
    • 1.7.2. p(AB)=0⇨p(ABC)=0
    • 1.7.3. 抽签原理
    • 1.7.4. {max(X,Y)≥c}={X≥c}+{Y≥c}
    • 1.7.5. 概率情况⇦事件关系
    • 1.7.6. p(A)≥p(AB),p(B)≥p(AB)
    • 1.7.7. 若AC=∅，则ABC=∅
    • 1.7.8. 减法公式的灵活运用
    • 1.7.9. 全概率公式的核心
    • 1.7.10. 二维概率先二维，二维不行再一维
• 2. 一维随机变量及其分布
  • 2.1. 随机变量及其分布
    • 2.1.1. 随机变量
    • 2.1.2. 分布函数
      • 2.1.2. 注1: 不同的随机变量可以有相同的分布函数 注2:三个仍为 a1+a2=1,a1F1+a2F2仍为 F1F2仍为 1-[1-F1][1-F2]
    • 2.1.3. 分布函数的性质
      • 单调不减右连续，负正无穷0与1
        • 注1：p{X=x｝=F(x)-F(x-0) 注2：分布函数表示事件的概率 ①[] ②[） ③(] ④()
  • 2.2. 离散型随机变量及其分布
    • 2.2.1. 定义
    • 2.2.2. 分布律
      • 2.2.2. 有界归一
    • 2.2.3. 分布函数
      • 2.2.3. 注1：F(x)实质是一个阶梯函数，在xi处跃度为pi 注2：P{X=a}=F(a)-F(a-0)
  • 2.3. 连续型随机变量及其分布
    • 2.3.1. 定义
      • 注1
      • 注2
      • 注3
    • 2.3.2. 连续型随机变量的性质
      • 在密度函数连续处，f(x)=F'(x)
      • p(X=m)=0
      • 子主题
  • 2.4. 常见分布
    • 2.4.1. 二项分布X~B(n,p)
      • 分布律
        • p{X=k｝ =C (n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ
      • 两点分布与二项分布的关系
        • X₁,X₂，Xn相互独立，且Xi~B(1,p)!则X=X₁+X₂+…+Xn~B(n,p)
      • 泊松定理
      • 定理提纯
      • 期望方差公式
    • 2.4.2. 泊松分布
      • 分布律
      • 泊松分布的独立性
      • 期望方差公式
    • 2.4.3. 几何分布
      • 分布律
      • 期望方差公式
      • 无记忆性
        • 等待时间仍然服从同一个几何分布
    • 2.4.4. 超几何分布
      • 分布律
      • 二项代替超几何
    • 2.4.5. 均匀分布
      • 密度函数
      • 期望方差公式
    • 2.4.6. 正态分布
      • 密度函数
        • 图像的对称性
        • 标准正态
          • 标准正态的三条性质
          • 正态分布的标准化
          • 正态分布的上α分位点
          • 经常用到的结论
          • 正态分布和的分布
      • 期望方差公式
    • 2.4.7. 指数分布
      • 密度函数
      • 无记忆性
      • 期望方差公式
  • 2.5. 随机变量函数的分布
    • 2.5.1. 离散型随机变量函数的概率分布
    • 2.5.2. 连续型随机变量的密度函数
      • 公式法
        • 反函数
      • 定义法
        • 分布函数就是概率，概率就是分布函数！
• 3. 一维随机变量及其分布
  • 3.1. 随机变量及其分布
    • 3.1.1. 随机变量
    • 3.1.2. 分布函数
      • 3.1.2. 注1: 不同的随机变量可以有相同的分布函数 注2:三个仍为 a1+a2=1,a1F1+a2F2仍为 F1F2仍为 1-[1-F1][1-F2]
    • 3.1.3. 分布函数的性质
      • 单调不减右连续，负正无穷0与1
        • 注1：p{X=x｝=F(x)-F(x-0) 注2：分布函数表示事件的概率 ①[] ②[） ③(] ④()
  • 3.2. 离散型随机变量及其分布
    • 3.2.1. 定义
    • 3.2.2. 分布律
      • 3.2.2. 有界归一
    • 3.2.3. 分布函数
      • 3.2.3. 注1：F(x)实质是一个阶梯函数，在xi处跃度为pi 注2：P{X=a}=F(a)-F(a-0)
  • 3.3. 连续型随机变量及其分布
    • 3.3.1. 定义
      • 注1
      • 注2
      • 注3
    • 3.3.2. 连续型随机变量的性质
      • 在密度函数连续处，f(x)=F'(x)
      • p(X=m)=0
      • 子主题
  • 3.4. 常见分布
    • 3.4.1. 二项分布X~B(n,p)
      • 分布律
        • p{X=k｝ =C (n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ
      • 两点分布与二项分布的关系
        • X₁,X₂，Xn相互独立，且Xi~B(1,p)!则X=X₁+X₂+…+Xn~B(n,p)
      • 泊松定理
      • 定理提纯
      • 期望方差公式
    • 3.4.2. 泊松分布
      • 分布律
      • 泊松分布的独立性
      • 期望方差公式
    • 3.4.3. 几何分布
      • 分布律
      • 期望方差公式
      • 无记忆性
        • 等待时间仍然服从同一个几何分布
    • 3.4.4. 超几何分布
      • 分布律
      • 二项代替超几何
    • 3.4.5. 均匀分布
      • 密度函数
      • 期望方差公式
    • 3.4.6. 正态分布
      • 密度函数
        • 图像的对称性
        • 标准正态
          • 标准正态的三条性质
          • 正态分布的标准化
          • 正态分布的上α分位点
          • 经常用到的结论
          • 正态分布和的分布
      • 期望方差公式
    • 3.4.7. 指数分布
      • 密度函数
      • 无记忆性
      • 期望方差公式
  • 3.5. 随机变量函数的分布
    • 3.5.1. 离散型随机变量函数的概率分布
    • 3.5.2. 连续型随机变量的密度函数
      • 公式法
        • 反函数
      • 定义法
        • 分布函数就是概率，概率就是分布函数！
• 4. 多维随机变量及其分布
  • 4.1. 二维随机变量的分布函数以及边缘分布函数
    • 4.1.1. 二维随机变量
    • 4.1.2. 二维随机变量的联合分布函数
    • 4.1.3. 二维随机变量分布函数的性质
    • 4.1.4. 边缘分布函数
  • 4.2. 二维离散型随机变量的概率分布和边缘概率分布
    • 4.2.1. 概率分布
    • 4.2.2. 边缘概率分布
  • 4.3. 二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度
    • 4.3.1. 密度函数
    • 4.3.2. 二维连续型随机变量的性质
    • 4.3.3. 边缘密度函数
  • 4.4. 条件分布
    • 4.4.1. 离散型
    • 4.4.2. 连续型
  • 4.5. 两个常见的二维连续型随机变量分布
    • 4.5.1. 二维均匀分布
      • 概率问题为面积之比
      • 矩形区域的均匀分布
    • 4.5.2. 二维正态分布
      • 一维正态推二维正态的情况
      • 二维正态推一维正态的情况
  • 4.6. 随机变量的独立性
    • 4.6.1. 总的F二元
    • 4.6.2. 二维离散pij
    • 4.6.3. 二维连续f二元
    • 4.6.4. 独立性的推论
      • 两个随机变量，两个连续一元函数组合
      • 一组随机变量与一组连续函数的组合
      • 两组随机变量与两个多元连续函数的组合
  • 4.7. 二维随机变量函数的分布
    • 4.7.1. 二维离散型
    • 4.7.2. 二维连续型
      • 4.7.2. 一、求两随机变量和的分布 1，两连续的和 ①分布函数法 ②卷积公式法 2，一连续一离散 全集分解法 二、当（X，Y）的边缘分布为某些特殊分布，如二项分布、泊松分布时，还可以利用这些分布在独立条件下的可加性简化求之 (1)者X~B(n,p),Y~B(m,p),且X与Y独立，则X+Y~B(m+n,p)★ (2)若X～P(λ₁),Y～P(λ₂)，且X与Y独立，则X+Y～P(λ₁+λ₂)★ (3)X~E(θ₁)，Y～E(θ₂），且X与Y独立，则min{X，Y}~E（θ₁+θ₂)★
    • 4.7.3. 两随机变量和差积商最大小的分布
      • 和
      • 差
      • 积
      • 商
      • max
      • min
  • 4.8. n维随机变量
• 5. 随机变量的数字特征
  • 5.1. 随机变量的数学期望
    • 5.1.1. 离散型
    • 5.1.2. 连续型
  • 5.2. 一维随机变量X和函数Y=g(X)的数学期望E[g(X)]
    • 5.2.1. 离散型
    • 5.2.2. 连续型
  • 5.3. 二维随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的数学期望E[g(X,Y)]
    • 5.3.1. 二维离散型
    • 5.3.2. 二维连续型
  • 5.4. 数学期望的性质
    • 5.4.1. 1
    • 5.4.2. 2
    • 5.4.3. 3
  • 5.5. 随机变量的方差的概念及性质
    • 5.5.1. 方差及标准差的概念
    • 5.5.2. 方差的计算
      • 离散型
      • 连续型
      • 计算方差常用的公式
    • 5.5.3. 方差的7个重要性质
  • 5.6. 协方差和相关系数
    • 5.6.1. 协方差的定义
    • 5.6.2. 相关系数
    • 5.6.3. 协方差矩阵
    • 5.6.4. 协方差和相关系数的性质
  • 5.7. 随机变量的矩和混合矩
    • 5.7.1. k阶原点矩
    • 5.7.2. k阶中心矩
    • 5.7.3. k+l阶混合原点矩
    • 5.7.4. k+l阶混合中心矩
  • 5.8. 常见分布的数学期望和方差
    • 5.8.1. 二项分布
    • 5.8.2. 泊松分布
    • 5.8.3. 几何分布
    • 三离散
    • 5.8.4. 均匀分布
    • 5.8.5. 正态分布
    • 5.8.6. 几何分布
    • 5.8.7. 卡方分布
    • 四连续
• 6. 参数估计
  • 6.1. 点估计
    • 6.1.1. 矩估计
      • 样本矩与总体矩的关系
      • 利用样本矩估计总体矩
    • 6.1.2. 最大似然估计
      • 写出似然函数
      • 对似然函数取对数
      • 对对数函数求导数或偏导数
        • 只有一个未知参数是求导数
        • 有两个未知参数是求偏导
      • 令导数或偏导数为0，其解就是最大似然估计
        • 若导数恒＞0或者恒＜0就取max,或者min
      • 最大似然函数的性质
      • 最大似然函数的不变性
    • 6.1.3. 常见随机变量的矩估计量和最大似然估计量
      • 两点分布
      • 二项部分
      • p的估计
      • 泊松分布
        • λ的估计
      • 均匀分布
        • 左右端点ab的估计
      • 指数分布
        • θ的估计
      • 正态分布
        • μ与σ²的估计
  • 6.2. 区间估计
    • 6.2.1. 置信区间
    • 6.2.2. μ,σ²的置信区间
  • 6.3. 估计量的评选标准
    • 6.3.1. 无偏性
      • 无偏性不具有不变性
      • 无偏性的三个未必
    • 6.3.2. 有效性
      • 均为无偏比方差，方差越小越有效！
    • 6.3.3. 一致性
• 7. 数理统计的基本概念
  • 7.1. 总体个体和样本
    • 7.1. 简单随机样本，独立同分布！
  • 7.2. 统计量
    • 7.2. 只依赖于样本，而不依赖于任何未知的参数！
    • 7.2.1. 常用统计量
      • 样本均值
        • \overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}x_{i}
      • 样本方差
        • S^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum ^{n}_{i=1}\left( X_{i}-\overline{X}\right) ^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum ^{n}_{i=1}\left( Xi^{2}-\overline{X}^{2}\right)
      • 样本的k阶原点矩
        • A_{k}=\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}Xi^{k}
      • 样本的k阶中心矩
        • B_{k}=\dfrac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}\left( X_{i}-\overline{X}\right) ^{k}
      • 顺序统计量
        • X₍₁₎≤X₍₂₎≤…≤X₍n₎ X₍₁₎=max{} X₍n₎=min{}
      • 最大最小顺序统计量的分布函数
        • X₍₁₎~1-[1-F(x)]ⁿ X₍n₎~F(x)ⁿ
      • 常用统计量的性质
        • 样本均值的期望方差公式
          • 期望公式
          • 方差公式
        • 样本方差的期望方差公式
          • 期望公式
          • 方差公式
      • 统计量的判别
        • 样本函数中不能含有未知参数
  • 7.3. 样本的联合分布函数
    • 7.3.1. 总的
      • F
    • 7.3.2. 连续型
      • f
    • 7.3.3. 离散型
      • p
  • 7.4. 三大抽样分布
    • 7.4.1. 卡方分布
      • 定义
      • 性质
        • 可加性
        • 数字特征
          • 期望公式
          • 方差公式
        • 卡方(2)=E(1/2)
        • 卡方(1)
      • 上α分位点
        • 上α分位点是数轴上的一个数
    • 7.4.2. t分布
      • 定义
      • 性质
        • ①
        • ②
        • ③
        • ④
      • 上α分位点
        • t₀.₅(n)=0
    • 7.4.3. F分布
      • 定义
      • 性质
        • 1/F
        • F₁₋ₐ(m,n)
        • T²
      • 上α分位点
  • 7.5. 单个正态总体的常用统计量的分布
    • 7.5.1.
    • 7.5.2.
      • 标准正态
    • 7.5.3.
      • 卡方n
    • n个标准正态平方和
    • 7.5.4.
      • 卡方(n-1)
      • 标准正态/卡方(n-1)
    • 7.5.5.
      • t(n-1)
  • 7.6. 最大最小顺序统计量的分布
    • 7.6.1. M=max{X₁,X₂,…Xn}
      • 7.6.1. F_{\max }\left( z\right) =p\left\{ M\leq z\right\} =\left[ F\left( z\right) \right] ^{n}
    • 7.6.2. N=min{X₁,X₂,…Xn}
      • 7.6.2. F_{\min }\left( z\right) =p\left\{ N\leq z\right\} =1-\left[ 1-F\left( z\right) \right] ^{n}
• 8. 大数定律+假设检验
  • 8.1. 切比雪夫不等式
    • 8.1.1. 内容
    • 8.1.2. 证明
  • 8.2. 大数定律
    • 8.2.1. 依概率收敛
    • 8.2.2. 切比雪夫大数定律
    • 8.2.3. 伯努利大数定律
    • 8.2.4. 辛钦大数定律
    • 只记被减数，，减数是被减数的期望
    • 8.2.5. 假设检验
      • 原假设H₀
      • 对立假设H₁
    • 8.2.6. 假设检验的两类问题
      • 第一类错误弃真错误(抛弃真题？)
      • 第二类错误，存伪错误🌊🦆
    • 8.2.7. 显著性检验
      • 双边检验与单边检验
      • 步骤