《高等数学》下册第一章知识点总结

此思维导图包含大学教育高数下册的第一章知识点，整理了该章的主要内容和逻辑结构，有助于知识点的理解与记忆，适用于考试复习！

《高等数学》第一章 空间解析几何与向量代数

1.1 向量及其线性运算

1.向量的概念

定义

既有大小, 又有方向的量称为向量（又称矢量），记为

方向

箭头所指的方向

模（大小）

向量的长度/大小，记为|MN|或|a|

零向量

模=0的向量

单位向量

模=1的向量

方向是任意的！

向量相等

平行/共线

注：零向量与任何向量平行

共面

2.向量的线性运算

向量相加

方式：三角形法则/平行四边形法则（注：适用于多个向量相加）

运算法则：结合律和交换律

向量减法

方式：向量+另一向量的负向量

三角形不等式

向量与数的乘法

新向量方向（相对原向量）

数>0，同向

数<0，反向

数=0，新向量为零向量

运算法则：结合律和分配律

*重要：单位向量

（每个向量都可以求出这个向量对应的单位向量）

定理

3.空间直角坐标系

概念

坐标表示

在直角坐标系下，任意一个向量均可以用向径表示

其中i,j,k分别为x,y,z轴的单位向量，称为r的向量分解式

4.坐标的线性运算

前提：

坐标相加减

数乘坐标

得到的新坐标所表示的向量与原向量平行

5.向量与坐标

模的计算

前提：

两点距离公式

前提：

方向角

定义

一个向量与x,y,z轴的夹角

方向余弦

定义

方向角的余弦

前提：有向量

（注：分子是向量在某一轴的分向量的模）

性质

1.2 数量积 向量积

1.数量积（点积）

定义

设两向量的有夹角，则

坐标表示

性质

a.

b.

运算法则

交换律

结合律

分配律

点乘的结果是个具体数

2.向量积（叉乘）

定义

坐标表示

行列式表示

方向

垂直于向量a和b，且满足右手定理

大小

（注：俩叉乘向量的夹角正弦）

性质

a.

b.

运算法则

不满足交换律

分配律

结合律

叉乘的结果是个新向量

1.3 平面方程

1.点法式方程

，其中n=（A,B,C）为平面的法向量，M=（x0,y0,z0）为平面上的一点

2.截距式方程

，a,b,c分别为三个轴的截距

3.一般式方程

，其中n=（A,B,C）为平面的法向量，平面上任意一点坐标代入均可成立

4.两平面的夹角

前提：

特殊情况

a.

b.

5.求平面方程的方法

a.找面上点

b.找法向量

c.代入公式

1.4 空间直线及其方程

1.一般性方程

（即两个面相交得一条线）（不唯一）

2.对称式方程

，其中s=（m,n,p）为直线的方向向量，M=（x0,y0,z0）为直线上一点

方向向量与直线平行

3.参数式方程

前提：

4.平面束方程

前提：有直线

5.求直线方程方法

a.找线上点

b.找方向向量

c.代入公式

1.5 线面之间的位置关系

1.两直线夹角

前提：两直线方向向量分别为

特殊情况

a.

b.

2.直线与平面夹角

方法

直线的方向向量与平面的法向量夹角

前提：直线方向向量和平面法向量分别为

特殊情况

a.

b.

1.6 曲面方程

1.球面

2.旋转曲面

一条曲线沿着空间中的某一条定直线旋转一周所形成的曲面

3.柱面

一条曲线沿着空间中的某一条定直线（且曲线平行于直线）移动所形成的曲面

4.二次曲面

椭球面

范围

子主题

注：当a=b=c时，为球面

椭圆抛物面

双曲抛物面

单叶双曲面

双叶双曲面

椭圆锥面

1.7 空间曲线

1一般方程

（可视为两曲面的交线）

2.参数方程

3.空间曲线在坐标面上的投影