平面向量的所有公式归纳总结

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平面向量的所有公式归纳总结

• 向量的模表示向量的长度，一般用符号\mathbf{v}来表示
  • 例如，对于向量\mathbf{v}=(3, 4)，其模为5。
• 向量的方向表示向量的指向，一般用角度来表示
  • 例如，对于向量\mathbf{v}=(3, 4)，其方向为53.1°。
• 基本运算
  • 向量的加法：两个向量相加的结果是将它们的对应分量相加
    • 例如，对于向量\mathbf{v}=(3, 4)和\mathbf{w}=(1, 2)，它们的和为\mathbf{v}+\mathbf{w}=(4, 6)。
  • 向量的减法：两个向量相减的结果是将它们的对应分量相减
    • 例如，对于向量\mathbf{v}=(3, 4)和\mathbf{w}=(1, 2)，它们的差为\mathbf{v}-\mathbf{w}=(2, 2)。
  • 数量乘向量：将向量的每个分量与一个实数相乘
    • 例如，对于向量\mathbf{v}=(3, 4)和实数a=2，它们的数量积为a\mathbf{v}=(6, 8)。
• 重要公式
  • 向量的点积：两个向量\mathbf{v}和\mathbf{w}的点积表示它们的长度乘积与夹角的余弦值之积
    • 例如，对于向量\mathbf{v}=(3, 4)和\mathbf{w}=(1, 2)，它们的点积为\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=3\times1+4\times2=11。
  • 向量的叉积：两个向量\mathbf{v}和\mathbf{w}的叉积表示它们的面积乘积与垂直于这个平面的向量的长度之积
    • 例如，对于向量\mathbf{v}=(3, 4)和\mathbf{w}=(1, 2)，它们的叉积为\mathbf{v}\times\mathbf{w}=3\times2-4\times1=2。
• 坐标系变换
  • 向量的旋转：将向量绕原点逆时针旋转\theta度后得到新的向量
    • 例如，对于向量\mathbf{v}=(3, 4)，将其逆时针旋转90°得到新的向量\mathbf{v}'=(-4, 3)。
  • 向量的投影：将一个向量沿着另一个向量的方向进行投影，得到新的向量
    • 例如，对于向量\mathbf{v}=(3, 4)和\mathbf{w}=(1, 2)，将\mathbf{v}在\mathbf{w}方向上进行投影得到新的向量为\mathbf{v}_{\mathbf{w}}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}}\mathbf{w}。