导图社区 高二数学知识点:平面向量
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高二数学知识点:平面向量
平面向量的定义:平面向量是具有大小和方向的量,它可以由有向线段表示。
例如:AB表示的平面向量,A为起点,B为终点。
平面向量的表示方法
以坐标表示:向量AB可以表示为向量→AB(x, y)。
以分量表示:向量AB可以表示为向量→AB=(x, y)。
平面向量的运算
向量加法:→AB + →CD = →AC。
向量减法:→AB - →CD = →AD。
数乘:k→AB = →CB。
向量共线与共面
如果两个向量平行或反平行,则它们共线
如果三个向量共面或共线,则它们共面。
平面向量的模和方向
平面向量的模
平面向量→AB的模写作→AB,其计算公式为√(x² + y²)。
平面向量的方向
单位向量:向量模为1的向量,表示方向而无大小。
平行向量的方向相同或相反,但大小可能不同。
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算法则
向量加法:(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
向量减法:(x₁, y₁) - (x₂, y₂) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
数乘:k(x, y) = (kx, ky)。
利用坐标求向量模的公式
→AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
平面向量的数量积
平面向量的数量积的定义
设有向量→A(x₁, y₁)和→B(x₂, y₂),则它们的数量积为:→A·→B = x₁x₂ + y₁y₂。
平面向量的数量积的性质
对于任意向量→A, →B和实数k,有
交换律:→A·→B = →B·→A。
分配律:→A·(→B + →C) = →A·→B + →A·→C。
结合律:(k→A)·→B = k(→A·→B) = →A·(k→B)。
平面向量的夹角
平面向量的夹角的定义
设有非零向量→A和→B,它们的夹角θ满足:cosθ = (→A·→B) / (→A→B)。
平面向量的夹角的性质
向量的夹角范围:0° ≤ θ ≤ 180°。
夹角为锐角时,数量积为正;夹角为钝角时,数量积为负;夹角为直角时,数量积为零。
平面向量的应用
平面向量的共线与四点共面问题
四点共线的判定:设有四点A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), D(x₄, y₄),若向量→AB与→AC平行或反平行,则四点共线。
四点共面的判定:设有四点A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃), D(x₄, y₄, z₄),若向量→AB, →AC和→AD共面,则四点共面。