高等数学之积分

超级详细的高等数学积分思维导图分享！下图详细地梳理了与一元函数下的积分和二元函数下的积分相关的知识要点，包括定积分的性质及推论、反常积分、二重积分等内容。

积分

• 一元函数下积分
  • 定积分
    • 定义
      • f(x)是被积函数，f(x)dx是被积表达式，x是积分变量，a,b分别是积分上、下限，[a,b]是积分区间
      • 可积性
        • 定理1:设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积
        • 定理2:设f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点（注：第一类间断点），则f(x)在[a,b]上可积
        • 定理3:设f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积
    • 几何意义
      • 当f(x)≥0时，积分 表示由y=f(x)、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积
      • 当f(x)≤0时，积分 表示由y=f(x)、x=a、x=b与x轴所围成当曲边梯形面积负值
    • 性质及推论
      • 性质1:
      • 性质2：
      • 性质3：设a<b<c，则
      • 性质4:
      • 性质5:在区间[a,b]上f(x)≥0，则
      • 推论1:在区间[a,b]上f(x)≥g(x)，则
      • 推论2:
      • 性质6:若m≤f(x)≤M，则
      • 性质7（中值定理）:f(x)在区间[a,b]上连续，至少存在一点ε，使得
    • 积分上限函数
      • 定义：设函数y=f(x) 在区间[a，b]上可积，对任意x∈[a，b]，y=f(x)在[a，x] 上可积，且它的值与x构成一种对应关系，称Φ(x)为变上限的定积分函数，简称积分上限函数
      • 定理
        • 定理1:f(x)在[a,b]上连续，则
        • 定理2:f(x)在区间[a,b]上连续， 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数
        • 定理3:f(x)在区间[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则
          • 牛顿-莱布尼兹公式/微积分基本公式
    • 方法
      • 换元积分法
      • 分布及方法
      • 特殊方法
        • 利用定积分的几何意义
        • 区间对称，偶倍奇零
        • 周期性
    • 定积分存在的两个条件
      • 函数有界
      • 区域有限
  • 反常积分
    • 无穷限的反常积分
    • 无界函数的反常积分
• 二元函数下积分
  • 二重积分
    • 定义
      • 其中f(x,y)是被积函数，f(x,y)dσ是被积表达式，dσ是面积元素，x与y是积分变量，D是积分区域， 是积分和
      • 存在性
        • 当f(x,y)在闭区域D上连续，函数f(x,y)在D上当二重积分存在
    • 几何意义
      • 体积=高X底面积
        • 当f(x,y)≥0时， 表示由曲面f(x,y)与其在区域D上的投影面所围区域的体积
        • 当f(x,y)≤0时， 表示由曲面f(x,y)与其在区域D上的投影面所围区域体积的负值
      • 质量=面密度X面积
        • 已知：一平面薄片占有xOy面上的闭区域，且在点(x,y)上点面密度为μ(x,y)>0且在D上连续
        • 薄片质量M=
    • 性质
      • 性质1：
      • 性质2:闭区域D被有限的曲线分为有限个部分，则
      • 性质3:在D上σ为D的面积，则
      • 性质4:在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则
      • 推论：在D上，-｜f(x,y)｜≤f(x,y)≤｜f(x,y)｜，则
      • 性质5:若 ，则
      • 性质6（中值定理）:f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，在D上至少存在一点（ξ,η）,使得
    • 计算
      • 直角坐标系
      • 利用极坐标
      • 特殊方法
        • 利用二重积分的几何意义
        • 轮换对称性
          • 积分区域D关于x轴对称，被积函数f(x,y)关于y轴，偶倍奇零
          • 积分区域D关于y轴对称，被积函数f(x,y)关于x轴，偶倍奇零
    • 二重积分存在的条件
      • 函数有界
      • 区域有限
  • 无界区域上的反常二重积分
    • 无穷的反常二重积分
    • 无界函数的反常二重积分