8-连续空间数据的生成

8-连续空间数据的生成，地理空间数据：点——0维空间要素（只有位置性质），线——1维线性空间要素（位置、长度特性），面——2维的平面空间要素（位置、面积、周长）。

8-连续空间数据的生成

• 概述
  • 地理空间数据
    • 点——0维空间要素（只有位置性质）
    • 线——1维线性空间要素（位置、长度特性）
    • 面——2维的平面空间要素（位置、面积、周长）
  • 连续分布的曲面空间数据——2.5维——处于2维平面和3维立体之间
    • 曲面数据表示地形的时候—— 数字高程模型
  • DEM
    • 栅格数据的格网数字高程模型(Grid DEM)——栅格DEM
      • 适用于—大范围较粗尺度的地形建模
      • 生成方法：空间插值
        • 反距离加权插值法
        • 样条函数法
        • Kriging插值法
    • 复杂的不规则三角网(TIN)模型
      • 适用于—建立精度较高的区域性地形模型
      • 生成方法：平面三角化
• 空间插值生成Grid DEM
  • 用来插值的已知数据点——采样点或样本点
  • Tobler 地理学第一定律
    • 空间相关性
    • 空间中连续分布的某种地理要素，其在某位置上的数值与周围一定范围内的其他位置上的数值存在相互影响的相关关系。
    • 这种关系与距离有关，两个位置距离越近，相关程度越大，表现为具有相近的属性值（如地形高度）。反之，两个位置距离越远，则它们的数值相差越大，相关性也就越小或没有相关性。
  • 数学方法
    • 全局插值法（所有点）
      • 全局多项式的趋势面法（全局多项式插值法）
        • 根据所有的已知点的数值拟合出一个由多项式函数定义的平滑表面（平面或曲面）来表示整个区域的形状，是对连续曲面的一种比较粗尺度的模拟。
        • 一般不会直接采用，用在其他复杂的插值方法中，模拟某种现象的分布趋势。
        • 是一种不精确的插值法，插值出的曲面并不正好通过所有的已知点
          • 生成的曲面使已知点与曲面之间的误差平方和最小化
        • 全局多项式插值出的曲面——趋势面
          • 通过最小二乘回归拟合得到的，使所有已知点与曲面之间距离的平方和最小化
    • 局部插值法（局部点）
      • 局部函数拟合法（移动拟合法）
        • 局部多项式
          • 对于任意一个待插值的点，选取该点周围一定范围邻域的已知点来生成一个局部的多项式表面，用该多项式表面来插值待插值点的数值。
          • 前提：大体上确定邻域的范围应该多大，邻域的形状如何，空间变化的尺度应该多大的范围和空间变化的方向。
        • 径向基函数
          • 分类
            • 薄板样条函数
              • 就像弯曲一块有弹性的薄板，让其表面平滑地通过所有的已知数据采样点，并保持薄板具有最小的曲率，也就是通过曲面上每个已知采样点获得的曲面的二阶导数平方的总和最小。
              • 缺陷：数据边缘处变化过大
            • 张力样条函数
            • 规则样条函数
            • 克服缺陷，设置权重，权重越大，输出表面越光滑。
            • 高次曲面函数
            • 反高次曲面函数
          • 属于局部插值法，使用邻域中的已知采样点来插值。包含一系列精确插值法——插值的函数表面精确地通过每一个已知的数据采样点
        • 拟合局部曲面
      • 加权平均法
        • 方法思想：给待插值点附近的已知数据点赋予不同的权重，然后使用加权平均的计算方法来估算待插值点的数值。
        • 分类
          • 反距离加权法（IDW）
            • 属于局部插值法，只使用待插值点附近的一些已知点来计算待插值点的数值
            • 待插值点附近的已知点通过划定一个搜索邻域（通常是一个圆形的区域）来查找，凡是落在搜索邻域范围之内的已知数据点都参与计算
            • 对待插值点周围若干个已知点分别赋予一个权重值，并对各个已知点的数值进行加权平均，就得到了最终待插值点的数值。
            • 权重与距离的k次幂成反比
              • 随着距离的增加，权重将迅速降低，速度取决于k
              • k=0，权重不随距离减小
              • 随着k值的增大，较远数据点的权重将迅速减小
              • k值很大，则最邻近的数据点会对待插值点的数值产生影响。
            • 幂k的默认值为2（没有理论依据）——通过观察分析输出的结果或交叉验证（均方根预测误差RM SPE—实际值与估计值之间的误差）来确定最优的k值
            • 要插值的数据
              • 各向同性——各个方向选取均等的数据点
              • 数据存在方向影响——各向异性
                • 如一定走向山脉
                  • 搜索邻域更改为椭圆，主轴与风向或山脉走向平行
            • 特点
              • 有很多独立的局部极值点——有很多小的圆形山丘和凹坑
              • 插值结果总是处在所有已知采样点的最大值和最小值之间
            • 不足：对于权重的计算所选取幂的数值没有客观可靠的方法，且对插值结果的精度也没有具体的指标来体现
          • 自然邻域法
            • 对已知的离散采样点进行二维平面空间的Voronoi分割
              • 最近邻域插值法
                • 仅仅判断待插值点落在哪一个Voronoi多边形里面，就用该多边形里面的已知采样点的数值赋值给待插值点
                • 插值曲面并不光滑，呈现断块状。
              • 自然邻域法——消除断块现象
              • 先在已知采样点形成的Voronoi图里添加待插值点Voronoi多边形，再根据待插值点Voronio多边形占原来各个已知点Voronoi多边形的面积与待插值点形成的Voronoi多边形面积之比，确定各个已知点的插值权重。
              • 局部插值——仅使用待插值点周围的已知样本点，且插值的结果始终处在所使用的已知点值域内
                • 该插值方法不会按趋势外推数据
                • 所以不会生成已知点未表示出的山峰、凹地、山脊或山谷
            • 插值形成的表面通过已知点，是精确插值法，除已知点位置之外的其他所有位置均是平滑的
            • 无需向IDW那样需要由用户确定搜索半径、邻域已知点的数量以及邻域的形状
            • 对于规则和不规则分布的已知点数据，它的插值效果一样
          • 克里金法
            • 分类
              • 不同平稳性假设——不同克里金方法
              • 普通克里金
                • 均值平稳假设——即区域变化量的数值在一定区域中是均匀的
                • 所有权重的和为1
                • 任意两点之间的协方差等于先验方差减去两点之间的半变异——协方差用半变异替换
                • 最优化——拉格朗日乘数法
                • 符合二阶平稳假设条件——整个研究区域都有一个确定的先验方差
                  • 取而代之——内蕴假设
                    • 只要求在整个研究区域内的任何位置，其区域变化量的变化的数学期望为0
                    • 整个区域内各处的区域变化量的半变异都只和滞后距离有关，和具体的空间位置无关
                • 半变异云图
                  • 以距离为横坐标，差异平方的一半为纵坐标
                  • 经验半变异函数——需要变换成数学模型——方法：装箱
                    • 横坐标的距离等间距的分割成一个一个的“箱子”，也就是数值区间
                    • 把云图中落在每一个“箱子”中的点计算平均值，相当于计算了在该距离上的样本点之间的差值平方的数学期望的一半，就是半变异的值
                • 建立变异函数的过程，先把区域内已知的所有样本点数值拿来，每两点之间计算差异平方的一半，再计算他们之间的距离。
                  • 半变异函数
                    • 圆
                    • 球
                    • 指数
                    • 高斯
                    • 线性
                  • Co—块金
                    • 函数和纵坐标轴交点上的函数值—理论上等于0，距离为0没有变异
                  • r—变程
                    • 一个距离的数值（空间自相关起作用的范围）
                      • 滞后距离小于变程，半变异函数数值较快的递增
                      • 距离超过变程，半变异函数变得平缓或不再增加
                    • 达到变程的函数值——基台值=块金+c（偏基台值）
                • 选择函数
                  • 根据经验半变异图的形状
                  • 交叉验证
              • 简单克里金
                • 预先把所有的样本点上的数值减去均值，用得到的残差数值来进行估计
              • 泛克里金*
                • 区域变化量的数学期望在区域内到处变化——漂移/具有某种趋势，类似于趋势面
                • 具有漂移的区域化变量的估计——泛克里金插值法
                  • 把区域化变量的数学期望定义为漂移函数——使用一次多项式或二次多项式的简单趋势面来模拟
                • 假设除样本点之间的空间自相关外，空间变量的z值还受到漂移或倾向的差异
            • 与IDW很相似
              • 权重反映了各个采样点对插值点的贡献，其大小通常与采样点到待插值点的距离有关
            • 自相关
              • 空间协方差函数
                • 计算变量之间的相关性
                • 表示空间某个位置上的某个数值与离开该位置一段距离的位置上的数值之间的相关程度
              • 半变异函数
                • x处的数值Zx与x+h处的数值Zx+h的差的方差的一半
                • 反映的是某种事物随着相隔距离的增大，差异也越来越大的现象
              • Zx 或Zx+h——区域变化量
                • 区域变化量在一定的空间区域内各个位置通常会取不同的值，在某一特定位置可以看作是随机变量所取的一个特定的数值
                  • 区域化变量是以位置（坐标）为参数的随机函数
            • 区域化变量理论
              • 克里金插值法认为一个连续的表面（比如地形表面）是由以下三个方面组合在一起形成的结果：
                • 一个确定的模型
                  • 整个研究区域形成表面的基础
                  • 数值
                    • 结构性部分
                    • 漂移
                  • 普通克里金——整个区域都一致的一个平均值
                  • 泛克里金——当作趋势面，整个区域内的表面都具有这种趋势
                • 一个区域变化量
                  • 具有一定程度的空间自相关性——依赖于空间距离的自相关性
                  • 建立模型估算区域内某一处的区域变量的数值——克里金插值的主要理论基础
                • 一个随机噪声
                  • 各种测量误差造成结果——白噪声
            • 平稳性假设
              • 区域化变量的某些统计特征是稳定不变的，在区域内不随位置而发生变化
              • 均值平稳假设
                • 区域变化量的数值存在一个均值，且在该范围内均值不随位置而发生变化，即任意一点的区域变化量都有相同的均值
              • 二阶平稳假设和内蕴假设（也称本征假设）
                • 二阶平稳假设
                  • 假设在一定空间范围内，区域化变量任何两点数值的协方差不随位置而变化，只和两点之间的距离（称为滞后距离）有关
                  • 要求较严（平稳一定内蕴）
                • 内蕴假设
                  • 指假设任何两点的半变异不随位置而变化，也只和两点之间的距离有关
                  • 要求较弱
• Delaunay 三角化生成TIN
  • Delaunay三角网——以Delaunay算法实现的TIN
    • 性质
      • 空外界圆性质
        • 每个Delaunay三角形的外接圆不包含任何其他离散点
      • 最小角最大规则
        • Delaunay三角网每个三角形的最小角的角度是最大的
        • 保证生成的三角形尽量接近等边三角形
      • 唯一性
        • 给定分布的离散点集合所构成的Delaunay三角网是唯一的
    • 只有离散点的数据——采用常规的Delaunay算法生成TIN
    • 影响地形的线状要素（河流、道路）——作为三角形的边构成TIN——带有线状要素约束三角网