数量关系

数量关系笔记，包括代入排除法、倍数特性法、方程法、工程问题、行程问题、经济利润问题、最值问题等内容。

数量关系（方法及题型）

• 代入排除法
  • 什么时候用
    • 特定题型
      • 年龄问题
      • 余数问题：“剩”“余”“缺”
      • 不定方程：未知数个数>方程个数
      • 多位数：研究位数变化
        • 注意： 1.看到多位数问题，优先考虑代入排除 2.计算时，选择估算，或者尾数法
    • 选项信息充分（分别、各）：选项为一组数
    • 剩二代一：排除后只剩两项，代入其中一个
  • 怎么用
    • 第一步：先排除：奇偶、倍数、尾数
    • 第二步，再代入：①最值原则②好算原则
• 倍数特性法
  • 整除型
    • 1.如果A=B*C（B、C均为整数），那么，A能被B整除，且A能被C整除
    • 2.题型： （1）平均分配物品 （2）三量关系。如经济利润问题，总收入=单价*数量。如行程问题，S=V*t
    • 整除判定法则： 1.一般用口诀法： （1）3、9看各位数字之和 （2）2、5看末1位 （3）4、25看末2位 （4）8、125看末3位 2.没口诀的用拆分法： 3.复杂倍数用因式分解 tips：注意分解后的2个数必须互质
  • 余数型
    • 1.找等量关系或列式满足“答案=ax±b”的形式，就可以考虑余数型
      • 优先考虑代入排除/猜题（根据选项之间的关系）
      • 注意：选项差距特别大，往往有坑，有坑可以猜题
  • 比例型
    • 1.如果A:B=m:n（m与n互质），互质就是化简到最简分数，不能再约分。那么 （1）A是m的倍数 （2）B是n的倍数 （3）A+B是m+n的倍数 （4）A-B是m-n的倍数 2.比例常见形式：分数、百分数、比例、倍数
      • 1.也可以列方程解方程做题，或者用线段法解题 2.切入点：看到分数、百分数、比例、倍数，优先考虑比例型倍数特性
• 方程法
  • 普通方程
    • 1.找等量关系（找和、差、倍、比的等量关系）、设未知数、列方程、解方程 2.设未知数技巧： （1）设小不设大（避免分数） （2）设比例份数（出现比例） （3）设中间量（方便列式） （4）同等条件下，求谁设谁（避免陷阱）
  • 不定方程
    • 不定方程：ax+by=M，一个方程多个未知数，或是未知数个数大于方程个数，为不定方程 1.方法：分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，尝试代入排除 2.奇偶：ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性 3.倍数：ax+by=M，当a或b与M有公因子时，考虑倍数特性 4.尾数：ax+by=M，当a或b尾数是0或5时，考虑尾数
  • 不定方程组
    • 第一类：未知数一定是整数的不定方程组，如人数、机器数
      • 方法：先消元转化成不定方程，再按不定方程求解（见上条解不定方程的方法）
    • 第二类：未知数不一定是整数的不定方程组，如单价（钱数）、时间
      • （1）特值法（一般赋0）：可以赋其中一个未知数为0，从而快速计算出其他未知数 （2）配系数。不建议，比较慢，除非一眼能看出系数怎么配，如果一眼看不出，建议赋0法
• 赋值法
  • 在工程问题中讲解
• 工程问题 三量关系：总量=效率*时间
  • 给完工时间型
    • 1.方法： （1）赋总量（完工时间的公倍数） （2）算效率：效率=总量/时间 （3）根据工作过程列方程或式子 2.找公倍数训练：①短除法、②因式分解法
  • 给效率比例型
    • 1.方法 （1）赋效率（满足比例即可） （2）算总量：总量=效率*时间 （3）根据工作过程列方程或式子 2.赋效率类型： （1）直接给效率比例：甲：乙：丙=6：5：4（赋值甲、乙、丙的效率为6、5、4）或甲=2*乙（赋值乙的效率是1，甲的效率是2） （2）间接给效率比例：甲3天的工作量等于乙2天的工作量，可知3*甲=2*乙，则甲/乙=2/3，赋值甲的效率为2、乙的效率为3 （3）给具体人数或机器数：建筑公司安排100名工人去修路。默认每人的效率为1.则100名工人效率为100
  • 给具体单位型（不能赋值）
    • 给具体单位型：给出了具体数据。给了具体数据、具体单位，就不能赋值 1.设未知数 2.找等量关系列方程
  • 牛吃草类型
    • 知识点：牛吃草类型：类似一个水龙头进水，一个水龙头出口；类似行程问题的追及，本质相同 1.公式：y=（n-x）*t ；y：草地原有草量的消耗量（一般消耗完），n：牛每天吃的量，x：每天的长草量 2.原理：总净消耗量=每天净消耗*时间 3.题型判定：排比句；有增长、有消耗
• 行程问题 三量关系：路程=速度*时间
  • 基础行程
    • 普通行程： 1.基本公式考查：路程=速度*时间，即S=V*t。一定要找到等量关系，根据路程和时间找，很少根据速度找，速度要么已知要么是所求 （1）火车完全通过桥：总路程=Q桥+L车。火车头触碰到桥的一瞬间到车尾离开。 （2）火车完全在桥上：总路程=Q桥-L车。车尾上桥到车头还没离开桥面，火车完全在桥上 （3）没有考察部分在桥上的 2.等距离平均速度
    • 普通行程： 1.基本公式考查：路程=速度*时间 2.等距离平均速度：两段距离相等，假设第一段距离为S，第二段距离也为S，第一段速度为V1，第二段速度为V2 （1）公式：V平均=（2*V1V2）/（V1+V2） （2）推导：等距离V平均=总路程/总时间=2S/【(S/V1)+(S/V2)】=2÷【(V1+V2)/(V1V2)】=（2V1V2)/(V1+V2) （3）适用于：等距离两端、直线往返、上下坡往返 （4）考查比较少，上一次考查为2015年山东省考，事业单位考查比较多
      • 注意： 1.等距离平均速度即两段距离相等 2.等时间平均速度：（V1+V2）/2，两段时间相等，V平均=总路程/总时间=（t/V1+t/V2）/2t=（V1+V2）/2。此种比较简单，所以不考查
  • 相对行程
    • 相对行程：比较难，考的也比较多 1.相遇追及：考查比较多 2.多次运动：考查比较少 3.流水行船：考查次多
      • 直线相遇：两人同时相向而行 1.相遇：两个人一人从左边走，一人从右边走，两人共同走的路程 2.相向而行：头碰头、背靠背，方向相反 3.公式：S和=（V1+V2）*t
      • 直线追及：两人同时同向而行 1.追及是同向而行，有时候会说成“相遇”。根据方向判定。相遇是头碰头、背靠背，方向相反；追及时，方向相同 2.推导：见讲义 3.公式：S差=（V1-V2）*t。S差：追及开始时两人相差的距离
      • 1.环形相遇： （1）不同点出发，此时与直线相遇问题相同，所以很少考查 （2）同点相向出发（考查较多） ①公式：S和=（V1+V2）*t ②本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和 2.环形追及 （1）不同点出发：路程差S差=（V1-V2）*t，与直线追及相同，所以很少考查 （2）同点同向出发（考查较多）：本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈
      • 多次往返迎面相遇：讨论直线上多次往返相遇问题 1.两端出发： （1）画图分析 （2）两端出发相遇：第一次相遇，共走1S；第二次相遇，共走3S（从 出发点开始计算）；第n次相遇，共走（2n-1）*S=（V1+V2）*t 2.一端出发： （1）画图分析 （2）一端出发相遇：第一次相遇，共走2S；第二次相遇，共走4S；第n次相遇，共走2nS=（V1+V2）*t 3.区分方法：画图分析，两端出发第一次相遇时，两人路程和为1个S，对应（2n-1）S
      • 流水行船：平均3~4年考一次，上一次是在2017年山东省考中考查 1.公式：背诵、熟练运用 （1）基础公式：V顺=V船+V水①；V逆=V船-V水② （2）推导公式：①+②得，2*V船=V顺+V逆，则V船=（V顺+V逆）/2；①-②得，2*V水=V顺-V逆，则V水=（V顺-V逆）/2 2.注：静水速度（水静止）=船速、漂流速度（船速为零）=水速
  • 比例行程：即比例法，也可以用方程法做，但比较麻烦
    • 比例行程：知识点相对较难，但近几年考题比较简单 1.三量关系：路程=速度*时间（S=V*t） 2.三量关系： （1）路程一定（相同），速度与时间成反比 （2）速度一定（相同），路程与时间成正比 （3）时间一定（相同），路程与时间成正比
      • 梳理： 1.何时用比例法？ 答：用方程法解题时，发现未知数特别多（或者感觉少条件），此时往往考比例行程 2.例1：没有给出速度和时间，只给出路程，如果设未知数需要有很多未知数，此时用比例法 3.例2：没有给出老王和老李的速度和时间，设未知数比较多，此时用比例法
• 经济利润问题
• 高频几何问题
• 最值问题
• 容斥定理
• 排列组合与概率
• 除高频题型外还有小题型：溶液问题、周期问题、线段法等
• 中：简：难=5：3：2， 做3~4道简单题，其他6~7道统一猜一个选项， （山东省考B、C项特别多）， 不知道哪个简单，和差倍比、经济利润、工程问题可以优先做