材料力学 十 能量法

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十、能量法

• 概述
  • 能量法
    • 利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法
  • 应用范围
    • 线弹性体，非线性弹性体
    • 静定问题，超静定问题
    • 是有限单元法的重要基础
• 应变能、余能
  • 线弹性体
    • 拉压杆应变能
    • 圆轴扭转应变能
    • 梁弯曲应变能
    • 可统一写作
    • 组合变形
      • F(x)—只产生轴向线位移
      • T(x)—只产生扭转角
      • M(x)—只产生弯曲转角
    • 应变能的特点
      • 小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和
      • 应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）
  • 非线性弹性体
    • 轴向拉伸与压缩
      • 应变能
      • 应变能密度
    • 扭转
      • 应变能
      • 应变能密度
    • 梁
      • 应变能
      • 应变能密度
  • 余能
    • 余功
    • 与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc在数值上相等
    • 对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同
    • 对非线性材料，则余能与应变能在数值上不一定相等
• 卡氏定理
  • 卡氏第一定理
    • 公式
    • 卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体
    • 必须将应变能写成给定位移的函数，才可求其变化率
  • 卡氏第二定理
    • 余能定理
    • 卡氏第二定理
    • 仅适用于线弹性体
  • 当所求位移处无相应广义力时，可在该处虚加上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该虚加外力为0
• 对于线弹性体，应变能和余能数值相等