导图社区 高数-张宇30讲—12讲 18讲.二重积分、三重积分与曲线曲面积分
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二重积分、三重积分与曲线曲面积分
二重积分
概念、性质与对称性
性质
曲顶柱体的体积
可积函数必有界
积分的线性性质
积分的可加性
积分的保号性
普通对称性和轮换对称性
普通对称性:被积函数可以转换为分割后的子函数的积分值的2倍或0
2倍:积分函数关于x轴或y轴对称
0:积分函数关于原点对称
(重点)轮换对称性:将被积函数的两个自变量对调位置后,结果不变
x. y互换字母:积分值与用什么字母表示无关
若把x与y对调后,区域D不变(积分区域常是个圆)
常用于被积函数是抽象的或复杂的,无法直接计算
计算
后积先定限,限内画条线,先交写下限,后交写上限
直角坐标系
注:积分区域的下限都必须小于上限
极坐标系
一般不讨论积分次序,几乎所有的计算都是先积r后积θ
极坐标系与直角坐标系选择的一般原则
1、看被积函数是否为常见形式:
2、 再看被积函数是否是圆或圆的一部分
3、 如果上述两个条件均满足,优先考虑极坐标系,否则优先直角坐标系
出题角度
极直互化
考研常常反其道而行之出这类题
用好x=rcosθ y=sinθ
面好区域D图形,确定上下限
积分次序
用于有原函数但是求不出初等函数形式的原函数
直角坐标系下交换积分次序
极坐标系下交换积分次序
用二重积分处理一元积分的问题
涉及概念的计算
三重积分
密度为f(x,y,z)的空间物体的质量
可积函数必有界、积分的线性性质、积分的可加性、积分的保号性
对称性
2倍:积分函数关于x轴或y轴或z轴对称
计算方法
先一后二(投影法)最常用
第一步就是先求投影面积
先二后一(截面法)
是旋转体,z的范围通常是知道的
或积分的函数f(x,y,z)只是关于z的函数
旋转体的截面天生就是个圆,此时用极坐标系很好解决问题。
柱面坐标系
为柱体、椎体、旋转抛物面与其他曲面所围立体
或被积函数为f(x²+y²)形式
球面坐标系
要根据球面表达式求出r的取值范围
第一型曲线曲面积分
求第一型曲线曲面积分,除了计算方法常用的技术方法有: 1:将边界方程带入被积函数 2:利用对称性 3.有形心且面积或长度好求的条件下考虑形心公式
曲线积分
密度为f(x,y,z)空间曲线的质量
普通对称性、轮换对称性
计算:化为定积分
特殊情况
曲面积分
密度为f(x,y,z)空间曲面的质量
计算:化为二重积分
③
1.有些立体(比如球体,柱体)方程开了根号之后会有两个方程,得把这两种情兄分别计算 2.对于类似柱面x²+y²= 1,不往xoy面投影,因为z不知道, 可以往xoz, yoz投影 3.计算第一型曲面积分经常要观察立体关于坐标面的对称性以简化计算
应用
几何量
重心(质心)与形心
做题时先看图形是否对称
空间物体
密度r(x,y,z)=1时,重心=形心
形心公式的逆用
求三重积分:
求第一型曲线积分
使用条件: ①形心已给,且面积、体积、长度好算的情况下 ②规则几何体的条件下
转动惯量
引力
第二型曲线曲面积分
物理意义:变力F= P(x,y)i + Q(x, y)j + R(x, y)k沿L指定方向的做功
化为定积分
①先找出L的参数方程
②
格林公式(针对平面曲线)
意义:建立了第二型曲线积分和其围成曲面的二重积分的联系
公式
则有
说明: 1. 如何区分是第-型曲线积分还是第二型曲线积分?我们要看被积元素,如果是ds就是第一型,如果是dx,dy就是第二型 2.对坐标的曲线积分的积分区间的下限是起点,上限是终点, 所以对于第二型曲线积分而言,下限不一定小于上限! !
D为封闭区域(可以是单连通也可以是复连通),L为D取正向的边界曲线
1.单连通:取逆时针方向为正向,如果是逆向的,在二重积分前面要加上负号
2复连通:外逆内顺为正向(用于内有“奇点”的题)
说明:
1.若不能构成一条封闭的曲线,则应该添加一些辅助线使之构成封闭区域,最后把新加入的辅助线的曲线积分减去即可
2.若在D的某些区域内, P对y的偏导,Q对x的偏导无意义,则应把这一部分包起来,对所形成的复连通区域使用Green公式,再对包线单独求曲线积分,最后相减即可
3.二元函数全微分求积:
若
则曲线积分
求法:
1.先写出从(0,0)到(xy)的第二型曲线积分
2将其分成先从(0,0)到(x,0),再从(x,0)到(x,y)的积分
4.用曲线积分求图形面积:
斯托克斯公式(针对于空间曲线)
意义:
cosg是单位法向量,法向量 与Z轴夹角为锐角时,它为正
化为二重积分
③确定正负号,若平面的法向量与z轴夹角为锐角则取“+”,否则取“一”。
④
高斯公式法
求曲面所围成的体积: