导图社区 整数乘法
整数乘法的思维导图，整数乘法是四年级小数乘法、分数乘法以及五年级分小混合运算的基础，这是小高年级计算的地基！！
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整数乘法
九九乘法表
乘法计算的启蒙
校内知识
多位数乘法
整十、整百、整千···的乘法：将0放在最后，例如5×200=5×2×100=1000
多位数×一位数
多位数×多位数
竖式计算
乘法巧算
乘法凑整：凑成整十、整百、整千···
2×5=10
4×25=100
8×125=1000
三年级暑假班
乘法三定律
乘法交换律：a×b=b×a
乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）
乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c
提取公因数：乘法分配律的逆运算
直接提取
分步提取
运用倍数关系转化出公因数
基准数拆分转化出公因数
三年级秋季班重难点
高阳老师制作
整数乘法是四年级小数乘法、分数乘法以及五年级分小混合运算的基础，这是小高年级计算的地基！！
整数除法
九九乘法表逆运用
除法计算的启蒙
多位数除法
整十、整百、整千···的除法：末尾的0抵消，例如200÷100=2×100÷100=2
多位数÷一位数
多位数÷多位数
除法巧算
乘除法巧用小括号
添/去括号规则
括号前为乘号，括号里面的符号不用变
括号前为除号，括号里面的符号要变
×变÷
÷变×
为何添/去括号
凑整
抵消
商不变原理
被除数与除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不改变
延伸：分数基本性质、比的基本性质（五年级）
提取公除数（除数相同）：除法分配律的逆运算
运用商不变原理转化公除数
整数计算的延伸：定义新运算
什么是新运算
规定特殊符号特殊运算规则
计算顺序
先算括号内的
再算定义新运算
最后算四则运算：加减乘除
难点
从举例中寻找运算规律：通过+、-、×、÷，次方，三角形数，等差数列···找规律
延伸：归纳递推（五年级）
整数除法是四年级小数除法、分数除法，五年级比例计算以及小学数论的基础，这同样也是小高年级计算的地基！！
奇偶分析
认识奇偶数
奇偶数的启蒙：单双数
定义
奇数：不是2的倍数的数
偶数：是2的倍数的数
特征
奇数：个位1、3、5、7、9
偶数：个位0、2、4、6、8
奇偶性：一个数是奇数还是偶数的特性
三年级秋季重点
奇偶的运算规律
加减法（加减同性）
两个数
奇±奇=偶
偶±偶=偶
奇±偶=奇
同性得偶，异性得奇
多个数
奇数个奇数得奇数
偶数个奇数得偶数
只看奇数个数
乘法
遇偶则偶，全奇才奇
······是奇/偶 ······是偶/奇 奇≠偶 所以不可能
奇偶分析是小学数论的开篇讲次，后面还有整除、质合因倍、余数性质···在等着大家！！
植树问题综合
基本植树问题
两端都种：棵树=段数+1
两端都不种：棵树=段数-1
只有一端种：棵树=段数
封闭图形种树：棵树=段数
特殊型种树
种植多种树：分步考虑
车队问题：车长+间隔长
植树问题延伸
剪绳子：时间花在剪的次数上，次数=段数-1
类比两端都不种树
敲钟：时间花在间隔上，间隔数=敲的下数-1
爬楼问题：时间花在爬的层数上，爬的层数=楼层数-1
类比两端都种树
植树问题本质是分析间隔的应用题，训练孩子对于间隔的理解和认知。
周期问题进阶
周期问题基本定义
在数学中，多个元素组成一个组合，且这个组合重复出现，这样的问题叫做周期问题
周期问题基本解决方法
分组法
找周期：重复出现的部分（作为一组）
确定总数
总数÷每组数量=组数……余数
求出结果
求第几个：余几就是周期的第几个，余0就是周期最后一个
求有几个：每组包含个数×组数+余数包含个数
周期分类
单一周期问题
复合周期问题：分别找出周期
操作类周期：找到规律，运用规律分析周期
周期的延伸
日期中的周期
余数中的周期
运用周期进行巧算
周期问题是找规律的常用思维，我们在处理繁琐问题的时候，尝试从简单入手，寻找周期，这是化繁为简的好方法！
日期中的周期问题
日期中的常识
月份
2月
28天（平年）
29天（闰年）
大月（31天）：1、3、5、7、8、10、12月
小月（30天）：4、6、9、11月
年份
平年：365天
闰年：366天
四年一闰 、 百年不闰 、 四百年再闰 4的倍数 不是100的倍数 400的倍数
背后的天文知识：一年为365天多6个小时少一点
闰年的判断流程图
是否为100的倍数
是→是否为400的倍数
是：闰年
否：平年
否→是否为4的倍数
秋季重点
日期中的周期计算
找周期：第几天，包含当天；过几天，不包含当天
确定总天数
总天数÷7=组数……余数
余数
余几即为周期第几天
无余则是周期的最后
题型
普通型
跨月：每个月的天数相加
跨年
包含平年2月：365天
52周余1天
包含闰年2月：366天
52周余2天
秋季重难点
日期中的周期是周期问题在生活中的普遍应用！本讲是训练孩子运用数学知识解决生活问题的能力！在考查综合能力的今天，数学与生活的衔接能力是非常重要的！
图形计数进阶
数线段
什么是线段
两点之间笔直的线叫做线段
计数技巧
基本线段（单一的线段）数量依次加到1 如图：4+3+2+1=10（条）
不同的方向（横、竖、斜）要分类计数
数三角形
雷劈三角形
特征：共顶点+底边共线
计数技巧：三角形数=底边线段条数
特殊类型
多个底边（不交叉） 每组个数×组数
多个底边（有交叉） 每组个数×组数+底边之间新增的部分
添线法
简单图形计数+填线后新增的部分
数长方形
底部线段数量×左侧线段数量=总数 （3+2+1） × （3+2+1）=36个
特殊型
方法1：（红+蓝）+绿色对应新增的部分
方法2：（红+蓝）+（绿+蓝）-蓝（容斥原理，寒假班重点）
特殊长方形：正方形
按边长分类枚举
正着的正方形 边长为：1、2、3、4···
斜着的正方形 边长为：根号2、根号5···
图形计数的进阶是由“数”过渡到“算”，通过找到图形的规律，运用技巧算出图形的总数。这是我们学习更多的几何计算的基础。
统计图
条形统计图
特点：看高低
画图过程
1、根据图纸的大小，画出两条互相垂直的线条，作为纵轴和横轴
2、在水平射线(横轴)上适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔。
3、在纵轴上确定单位长度，并标出数量的标记和计量单位。
4、根据数据的大小，画出长短不同的直条，并标上标题。
5、若条形太小可适当在条形内画上颜色等区分。
折线统计图
特点：看变化趋势
1、根据统计资料整理数据。
2、先画横轴，后画纵轴，纵、横轴都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量。
3、根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
扇形统计图
特点：看比重
百分数初步认识：n％表示总共100份，某个类别占了n份。
统计图三兄弟（条形图、折线图、扇形图）是最常用的统计图，统计图是对于数据的整理和分析，也锻炼了孩子们的计算和逻辑思维能力。
平均数问题
平均数的意义
反映整体水平
平均数公式
总数÷份数=平均数
平均数×份数=总数
总数÷平均数=份数
份数可以为人数、天数等等
移多补少
平均数问题是小学三年级经典应用题之一，训练孩子对于平均的理解，其中的移多补少是对于平均概念的深入应用。
盈亏问题初步
基本定义
盈：多、剩、余；亏：少、缺、差
通过盈和亏，运用差量分析逆推总数，这样的数学问题叫做盈亏问题。
基本步骤
确定分什么、分给谁（“每”字后面）
怎么分：画横线图
差量分析
（大盈-小盈）÷每份之差
（大亏-小亏）÷每份之差
（盈+亏）÷每份之差
分给谁，就先求谁
基本题型特征
分什么，就讨论什么的多和少
每次分配，需要平均分
特殊题型需要转化为基本题型
盈亏问题是差量分析的应用，后面还会有鸡兔同笼等一系列的应用题运用差量分析，这是锻炼孩子的逆向思维能力。
和差倍问题
和差问题
定义：已知两者“和”“差”求各自是多少
画线段图
和差公式
大数=（和+差）÷2
小数=（和-差）÷2
特殊题型
暗和问题
特点：“和”未知
分析“和”的变化，找到解题所需要的“和”
暗差问题
特点：“差”未知
运用数射线找“差”
原来的“差”：a+b
原来的“差”：a+c+b
原来的“差”：a+b-c
现在的“差”：a+b+c
数射线是数轴的基础
同增同减差不变
和倍问题
定义：已知两者“和”“倍”求各自是多少
和倍公式（先求1倍量）
1倍量=和÷（n+1）
n倍量=1倍量×n
多去少补（转化为整段数）
多去
少补
多者和倍
差倍问题
定义：已知两者“差”“倍”求各自是多少
差倍公式（先求1倍量）
1倍量=差÷（n-1）
多者差倍
暗和暗差问题关键是把和差倍统一为统一时间点（现在或原来）
和差倍问题是运用多个量之间的“和”“差”“倍”的数量关系，画图分析，求出未知量。和差倍中的线段图其实就是方程思想中的未知数，和差倍的学习是日后列方程解应用题的铺垫。
年龄问题
年龄的基本规律
年龄差不变
年龄和的变化=变化的年龄×人数
每向前一年，每人减1岁
每向后一年，每人加1岁
年龄的倍数关系
时间向后推算，倍数趋近“1”
年龄的题型
年龄和差
运用年龄差不变，寻找“暗差”
运用数射线，寻找“暗差”
年龄和倍
将和统一到倍数那一年
年龄差倍
将差统一到倍数那一年
当当型
数射线有了新名字：年龄轴，标出0点
同时变小或变大，年龄差不变，将年龄差看做一段。
倍倍型
特殊性：多个倍的条件
画线段图，运用差不变来求解一段量
年龄问题是和差倍问题延伸应用，运用年龄的特点寻找暗和、暗差。然后再运用和差倍知识解决年龄问题。
行程问题之相遇
基本行程
行程三宝
路程：走了多远（单位：米、千米）
时间：走了多久（单位：秒、分、时）
速度：走的快慢（米/秒、米/分、千米/时）
基本公式
路程=速度×时间
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
相遇问题
相遇三宝
路程和：两人一共走了多远
速度和：两人速度相加
时间和：两人一共走了多久
路程和=速度和×时间
速度和=路程和÷时间
时间=路程和÷速度和
相遇问题的关键：寻找路程和
常用工具：行程图
行程问题是小学高年级的应用题重点，行程问题的简单题目是单人的行程。两人（多人）行程是小学思维逻辑拓展的重点，相遇问题就是两人（多人）行程的开篇讲次。
逻辑推理
真假判断
相反事情（矛盾）
一真一假
相同事情
同真同假
假设法
假设A事情成立
推导出矛盾
假设不成立（相反则假设成立）
条件推理
列表法
连线法
梳理信息，巧用排除法
逻辑推理是小学的思维训练的趣题板块，训练学生的逻辑分析能力，熟练运用假设法。假设法是中学反证法的基础。
