高中数学2-3

本导图详细梳理了高中数学选修2-3的内容，包括计数原理与统计概率，方法全面，要点突出，适合同学们的复习提升。

高中数学2-3

• 计数原理
  • 计数原理
    • 概念
      • I. 分类计数原理
        • • 注意事项：
          • （1）每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件；
          • （2）每种情况内任两种方式都不同时存在；
          • （3）不同情况之间没有相同方式存在。
      • II. 分布计数原理
        • • 注意事项：
          • （1）步骤可以分出先后顺序，每一步骤对实现目标是必不可少的；
          • （2）每步的方式具有独立性，不受其他步骤影响；
          • （3）每步所取的方式不同，不会得出（整体的）相同方式。
  • 排列组合
    • 1、概念
      • 排列
        • 排列，一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(permutation)。特别地，当m=n时，这个排列被称作全排列(all permutation)。
        • 排列数
          • 表示方式
          • *性质
            • i.
            • ii.
            • iii.
      • 组合
        • 一般地，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
        • 组合数
          • 表示方式
          • 必须掌握的性质
            • i.
            • ii.
          • 其他性质
          • *重复组合
            • 一般地，从n个不同的元素中，每次取出r个可以重复的元素并成一组，叫做从n个不同的元素每次取出r个元素的允许重复的组合，即重复组合，其组合总数记作
    • 2、模型
      • 代数模型
        • 1. 相邻与不相邻问题
          • I. 相邻问题---捆绑法
            • 方法：将相邻的元素捆绑在一起，作为一个整体排序，内部有顺序的，需要乘上内部顺序
            • 结论: n个不同元素排成一列，m个元素相邻，符合条件的排列数为
          • II. 不相邻问题---插空法
            • 方法：先将其他元素排好，在将不相邻的元素拿来插空
            • 结论：n个不同元素排成一列，m个元素不相邻，符合条件的排列数为
        • 2. 重复问题
          • 方法：倍缩策略，先分清楚哪些元素重复、重复几次，按照全部有顺序排列，然后在将重复的次数以此消除（做除法）
          • 结论：设全集S一共有n个元素，其中元素有类各不相同，为a1,a2…an，且各不相同元素的重复数为n1,n2,…,nn,即n=n1+n2+…+nn,将S排成一列，则S的排列数一共有
            • 特别的，若相同的元素相邻，则排法数为
          • 例题：2个红球、3个黄球、4个白球，同色求不加以区分，将这九个球排成一列有几种不同方法？
        • 3. 顺序一定问题
          • 方法：插空策略、倍缩策略、空位策略[n个元素顺序一定，再加入m个元素]
            • （1）n个元素排定，则流出n+1个空位，依次插空，每插入一个元素多出一个空位，有
            • （2）n个元素排定，（n+m）个元素全排列则重复了n！，倍缩策略得到
            • （3）(n+m)个空位，一定顺序排放n个元素，其余m元素全排列，则
          • 结论：n个不同的元素分成k组，每个元素个数记为n1,n2,…,nk,则n=n1+n2+…+nk，若按每组内的元素顺序一定进行排列，则排法总数为
        • 4. 环排问题
          • 看做先确定一个人，再排其他人，所以这个情景下的上述结论中总数为（n-1）
        • 5. 特殊元素、特殊位置问题
        • 6. 选派问题
        • 7. 分组问题
          • 有差异个体分组问题
            • 例如将6本不同的书， （1）平均分给甲乙丙三人 则C(6，2)·C(4，2)C·(2，2) （2）平均分给3个人 由于使用上述步骤时是有序的，也就是甲A乙B丙C与甲C乙B丙A是不同的，但在此题中，1A1B1C与1C1B1A是等效的，于是造成了多余，所以要除去“111”的全排列3! ，所以答案为：  （3）分给甲乙丙三人，一人一本，一人两本，一人三本 由于各组得数不一样，所以不能交换，于是不用除以3！：C(6，2)·C(4，2)·C(2，2) （2）分给3个人，一人一本，一人两本，一人三本 就是要求在上述基础上进行排序，所以还要乘上3！：C(6，2)·C(4，2)·C(2，2)·3！
            • 平均分配
              • 有组名---分给甲乙丙
              • 无组名---分成三组
            • 不平均分配
              • 有组名---分给甲乙丙
              • 无组名---分成三组
          • 无差异个体分组问题（隔板法）
          • 搭配分组问题
            • 分布计数原理
              • 如6个护士3个医生往3个学校各分2个护士1个医生，共
        • 8. 数字问题
          • 方法：首先注意特殊数字
            • “0”不在首位
            • 奇数偶数看个位数值
            • 被“3”“6”“9”整除考虑对个数位数字之和除以3的余数进行分类
            • 被“5”整除，对个位数为“0”“5”进行分类
      • 几何模型
        • I. 空间问题
          • 注意考虑反面
        • II. 平面几何问题
        • III. 点的运动问题
          • 方法：点的定向选择移动，满足总的运动步数m、某种选择（一般会有两种选择）的步数n（显然n小于等于m）固定，但具体步骤不固定，故有C(m,n)中选择
          • 例题
            • 距离最短问题
              • A到C再到B的最短路程共有几种走法？
                • Step 1 :A--->C C(2,1)=2 Step 2 :C---> B C(5,2)=10 所以共20种
                  • c到B是横3竖2，在这五步中随便选择2步向上即可
            • 二元方程类
              • 有15根火柴，规定每次取3根或2根，则取完这堆火柴的方法共有多少种？
        • IV. 涂色问题(用m中颜色给由n个区域组成的结构图涂色，相邻区域颜色不相同)
          • 直线型结构
          • 环形、扇形结构
          • 星型结构
            • 先涂中间，再当做环状结构
          • 全连通结构（任意两个区域都联通）
          • 其余类型：使用计数原理
  • 二项式定理
    • 1、概念
    • 2、模型
• 概率和统计案例
  • 概率
    • 随机变量及其概率分布
      • 1. 随机变量（用大写拉丁字母X、Y、Z或小写希腊字母ζ、η、ξ表示）
      • 2. 分布列的写法
        • i. ξ的可能取值为（）
        • ii. 分别列出P(ξi)=( )
        • iii. 所以ξ的分布列为
    • 独立性
      • 实件的独立性
        • 一般的，若P(A|B)=P(A),则称事件A、B独立，且有P(AB)=P(A)·P(B)
      • 条件概率
    • 分布
      • 超几何分布
      • 二项分布
      • *正态分布
    • 随机变量的均值和方差
      • 离散型随机变量的均值
        • 定义：
        • 重要公式
          • I. 超几何分布
          • II. 二项分布
      • 离散型随机变量的方差与标准差
        • 重要公式
          • 二项分布
          • 超几何分布
  • 统计案例
    • 独立性检验
      • 1. 注意abcd的对应
      • 2. 独立性检验的原理是假设事件无关（记为事件H。），然后通过计算χ²验证H。成立的概率，有P(χ²）的把握说明事件之间有关，但无论P(χ²）怎样小都不能说明H。成立！
    • 回归方程

计数原理

• 计数原理
  • 概念
    • 分类计数原理
      • • 注意事项：
        • （1）每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件；
        • （2）每种情况内任两种方式都不同时存在；
        • （3）不同情况之间没有相同方式存在。
    • 分布计数原理
      • • 注意事项：
        • （1）步骤可以分出先后顺序，每一步骤对实现目标是必不可少的；
        • （2）每步的方式具有独立性，不受其他步骤影响；
        • （3）每步所取的方式不同，不会得出（整体的）相同方式。
• 排列组合
  • 1、概念
    • 排列
      • 排列，一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(permutation)。特别地，当m=n时，这个排列被称作全排列(all permutation)。
      • 排列数
        • 表示方式
        • *性质
    • 组合
      • 一般地，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
      • 组合数
        • 表示方式
        • 必须掌握的性质
        • 其他性质
        • *重复组合
          • 一般地，从n个不同的元素中，每次取出r个可以重复的元素并成一组，叫做从n个不同的元素每次取出r个元素的允许重复的组合，即重复组合，其组合总数记作
  • 2、模型
    • 代数模型
      • 相邻与不相邻问题
        • 相邻问题---捆绑法
          • 方法：将相邻的元素捆绑在一起，作为一个整体排序，内部有顺序的，需要乘上内部顺序
          • 结论: n个不同元素排成一列，m个元素相邻，符合条件的排列数为
        • 不相邻问题---插空法
          • 方法：先将其他元素排好，在将不相邻的元素拿来插空
          • 结论：n个不同元素排成一列，m个元素不相邻，符合条件的排列数为
      • 重复问题
        • 方法：倍缩策略，先分清楚哪些元素重复、重复几次，按照全部有顺序排列，然后在将重复的次数以此消除（做除法）
        • 结论：设全集S一共有n个元素，其中元素有类各不相同，为a1,a2…an，且各不相同元素的重复数为n1,n2,…,nn,即n=n1+n2+…+nn,将S排成一列，则S的排列数一共有
          • 特别的，若相同的元素相邻，则排法数为
        • 例题：2个红球、3个黄球、4个白球，同色求不加以区分，将这九个球排成一列有几种不同方法？
      • 顺序一定问题
        • 方法：插空策略、倍缩策略、空位策略[n个元素顺序一定，再加入m个元素]
          • （1）n个元素排定，则流出n+1个空位，依次插空，每插入一个元素多出一个空位，有
          • （2）n个元素排定，（n+m）个元素全排列则重复了n！，倍缩策略得到
          • （3）(n+m)个空位，一定顺序排放n个元素，其余m元素全排列，则
        • 结论：n个不同的元素分成k组，每个元素个数记为n1,n2,…,nk,则n=n1+n2+…+nk，若按每组内的元素顺序一定进行排列，则排法总数为
      • 环排问题
        • 看做先确定一个人，再排其他人，所以这个情景下的上述结论中总数为（n-1）
      • 特殊元素、特殊位置问题
      • 选派问题
      • 分组问题
        • 有差异个体分组问题
          • 例如将6本不同的书， （1）平均分给甲乙丙三人 则C(6，2)·C(4，2)C·(2，2) （2）平均分给3个人 由于使用上述步骤时是有序的，也就是甲A乙B丙C与甲C乙B丙A是不同的，但在此题中，1A1B1C与1C1B1A是等效的，于是造成了多余，所以要除去“111”的全排列3! ，所以答案为：  （3）分给甲乙丙三人，一人一本，一人两本，一人三本 由于各组得数不一样，所以不能交换，于是不用除以3！：C(6，2)·C(4，2)·C(2，2) （2）分给3个人，一人一本，一人两本，一人三本 就是要求在上述基础上进行排序，所以还要乘上3！：C(6，2)·C(4，2)·C(2，2)·3！
          • 平均分配
            • 有组名---分给甲乙丙
            • 无组名---分成三组
          • 不平均分配
            • 有组名---分给甲乙丙
            • 无组名---分成三组
        • 无差异个体分组问题（隔板法）
        • 搭配分组问题
          • 分布计数原理
            • 如6个护士3个医生往3个学校各分2个护士1个医生，共
      • 数字问题
        • 方法：首先注意特殊数字
          • “0”不在首位
          • 奇数偶数看个位数值
          • 被“3”“6”“9”整除考虑对个数位数字之和除以3的余数进行分类
          • 被“5”整除，对个位数为“0”“5”进行分类
    • 几何模型
      • 空间问题
        • 注意考虑反面
      • 平面几何问题
      • 点的运动问题
        • 方法：点的定向选择移动，满足总的运动步数m、某种选择（一般会有两种选择）的步数n（显然n小于等于m）固定，但具体步骤不固定，故有C(m,n)中选择
        • 例题
          • 距离最短问题
            • A到C再到B的最短路程共有几种走法？
              • Step 1 :A--->C C(2,1)=2 Step 2 :C---> B C(5,2)=10 所以共20种
                • c到B是横3竖2，在这五步中随便选择2步向上即可
          • 二元方程类
            • 有15根火柴，规定每次取3根或2根，则取完这堆火柴的方法共有多少种？
      • 涂色问题(用m中颜色给由n个区域组成的结构图涂色，相邻区域颜色不相同)
        • 直线型结构
        • 环形、扇形结构
        • 星型结构
          • 先涂中间，再当做环状结构
        • 全连通结构（任意两个区域都联通）
        • 其余类型：使用计数原理
• 二项式定理
  • 1、概念
  • 2、模型

概率和统计案例

• 概率
  • 随机变量及其概率分布
    • 1. 随机变量（用大写拉丁字母X、Y、Z或小写希腊字母ζ、η、ξ表示）
    • 2. 分布列的写法
      • i. ξ的可能取值为（）
      • ii. 分别列出P(ξi)=( )
      • iii. 所以ξ的分布列为
  • 独立性
    • 实件的独立性
      • 一般的，若P(A|B)=P(A),则称事件A、B独立，且有P(AB)=P(A)·P(B)
    • 条件概率
  • 分布
    • 超几何分布
    • 二项分布
    • *正态分布
  • 随机变量的均值和方差
    • 离散型随机变量的均值
      • 定义：
      • 重要公式
        • I. 超几何分布
        • II. 二项分布
    • 离散型随机变量的方差与标准差
      • 重要公式
        • 二项分布
        • 超几何分布
• 统计案例
  • 独立性检验
    • 1. 注意abcd的对应
    • 2. 独立性检验的原理是假设事件无关（记为事件H。），然后通过计算χ²验证H。成立的概率，有P(χ²）的把握说明事件之间有关，但无论P(χ²）怎样小都不能说明H。成立！
  • 回归方程