线性代数

干货满满！线性代数知识点总结分享！该图是根据作者闭关修炼知识结构归纳整理的知识要点，包括行列式的七个性质、行列式的计算、具体型方程组求解等内容。掌握上述知识点，轻松高分通过考试！

线性代数

第一章 行列式

二阶与三阶行列式

主对角线和副对角线

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式

全排列和对换

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列

逆序与逆序数

先后次序与标准次序不同时，构成1个逆序

奇排列和偶排列

对换

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

奇排列对换成标准排列的兑换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的兑换次数为偶数（标准排列是偶排列）

n阶行列式的定义

-1的t次方，t为排列p1p2p3...pn的逆序数 偶排列为正，奇排列为负

特殊的行列式

主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角行列式 行列式的值为对角线上元素相乘

以副对角线为界的三角行列式，符号由阶数决定。 （-1）^n(n-1)/2

对角行列式——无论元素在主对角线上还是副对角线上，行列式的值均为对角线上元素相乘

爪型（三线型）行列式——书P13

书P14～15页例题

行列式的性质

对行成立的性质，对列也成立

DT＝D，（DT）T＝D

两行互换，值变号

两行对应相等，行列式的值为零

某一行都乘以k，等于用k乘以D

某一行有公因数k，k提外面 n阶行列式所有元素均有公因子k，k外提n次

两行对应成比例，D=0

某一行全为0，D＝0

行列式加减（只有和的那一行分开，其余行保持不变）

某一行×一个数，加到另一行上去，D不变

行列式按行（列）展开

余子式和代数余子式

代数余子式多一个（-1）^（i+j）

行列式等于任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和

降阶

选0比较多的行/列展开

异乘变0定理

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式的乘积之和等于零

简化运算（书P20）

补充知识

拉普拉斯定理

取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和＝D

克莱姆法则

对于齐次方程组，方程个数＝未知数个数 系数行列式≠0，只有0解

对于齐次方程组，方程个数＝未知数个数 当且仅当系数行列式＝0时，齐次线性方程组有非零解

Xi＝Di/D 字母在分母上，注意是否为0

对称与反对称行列式

对称行列式

主对角线无要求，Aij等于Aji

计算：各行/列相加

反对称行列式

主对角线全为零，Aij＝-Aji

奇数阶D＝0，偶数阶无特殊性质

第二章 矩阵及其运算

线性方程组和矩阵

行数和列数均相等的两个矩阵称为同型矩阵 同型矩阵的对应元素相等，则称两矩阵相等

元素都是0的矩阵称为零矩阵（不同型的零矩阵也不相等）

对角矩阵（对角阵）：除对角线以外的元素都是0 ∧＝diag（λ1，λ2，...,λn） n阶单位矩阵（单位阵）：对角线上元素均为1——恒等变换

投影变换和旋转变换（书P29）

注：永远不要把矩阵放在分母上

矩阵的运算

矩阵的加减法

同型矩阵才能相加减

A-B＝A+(-B)

矩阵的数乘

与矩阵加减法统称为矩阵的线性运算

所有元素与数k相乘

矩阵与矩阵相乘

Am×sBs×n＝Cm×n 条件：中间相等 结果：取两头

（1）一般情况下，AB≠BA，若AB＝BA，则称方阵A与B可交换 （2）AB＝0不能推出A＝0或B＝0 （3）AB＝AC，若A≠0，则B＝C

矩阵乘法虽然不满足交换律，但是满足结合律和分配律 矩阵与零矩阵相乘为零矩阵，单位矩阵在相乘时相当于1

A、B不可交换时，A²B²≠（AB）² （A+B）²＝A²+2AB+B² 、（A-B）（A+B）＝A²-B²仅当A、B可交换时成立

纯量阵λE与任何同阶方阵可交换

只有方阵的幂才有意义，运算法则和实数类似

矩阵的转置

（AB）^T＝B^TA^T （λA）^T＝λA^T

对称矩阵

满足A^T＝A的n阶方阵称为对称矩阵

若A、B同阶对称，则A+B、A-B、kA仍对称，但A×B一般不对称

若A、B和AB都对称，则A、B可交换

方阵的行列式

n阶方阵A的元素组成的行列式，记作detA或者｜A｜

运算性质

（1）｜A^T｜＝｜A｜ （2）｜λA｜＝λ^n｜A｜ （3）｜AB｜＝｜A｜｜B｜

一般AB≠BA，但是｜AB｜＝｜BA｜

伴随矩阵

AA*=A*A=｜A｜E

任一方阵都有伴随方阵

求伴随矩阵

（1）求所有元素的代数余子式 （2）按行求的代余子式按列放构成矩阵

按行求，按列放

对任意方阵A，｜A*|＝|A|^（n-1）

逆矩阵

对于n阶矩阵A、B，如果有AB＝BA＝E，则称A可逆，B是A的逆矩阵 B是唯一的（不是所有方阵都可逆）

定理

（1）矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0

（2）A^（-1）＝A*/|A|

（3）若A可逆，数λ≠0，则λA＝A^（-1）/λ

（4）A逆的逆＝A （AB）^（-1）＝B^（-1）A^（-1）

（5）A转置的逆＝A逆的转置

（6）A可逆，则|A^（-1）|＝|A|^（-1） 且A*也可逆，（A*）^（-1）＝A/|A|

求法

解矩阵方程：书P41

初等变换法（只做行变换）求逆矩阵：书P63

应用

如果∧＝diag(λ1，λ2，...，λn)，则∧^k＝diag(λ1^k，λ2^k，...，λn^k)

对角阵的逆矩阵等于对应元素全部取倒数后的矩阵

如果A＝P∧P^（-1），则A^k＝P∧^kP^（-1）

克拉默法则

与第一章克莱姆法则类似 Aj是把系数矩阵A中第j列的元素用方程右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵

矩阵分块法

书P46~P52 P53例题

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

矩阵的初等行变换 （所有行换成列也成立）

（1）对换两行 （2）以数k≠0乘某一行中的所有元 （3）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去

初等行（列）变换统称为初等变换

矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B， 则称A与B等价，记作A~B

特殊矩阵

行阶梯形矩阵

可以画出一条从第一行某元左方的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线，它的左下方的元全为0，每段竖线的高度为一行，竖线的右方的第一个元为非零元

行最简形矩阵

行阶梯形矩阵满足（1）非零行的首非零元为1 （2）首非零元所在的列的其它元均为0

标准形

对行最简形矩阵做初等列变化，使其成为左上角是一个单位矩阵，其余元均为0的矩阵

对于m×n矩阵A，总可经过初等变换把它化为标准形 （其中单位矩阵的阶数是行阶梯形矩阵中非零行的行数）

设A、B为m×n矩阵

（1）A、B行等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA＝B

（2）A、B列等价的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ＝B

（3）A、B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使PAQ＝B

初等矩阵

定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 （初等矩阵、它的逆矩阵和它的转置矩阵均可逆）

三种初等变换对应三种初等矩阵（书P61-62）

对矩阵A施行一次初等行变换，相当于对A左乘相应的m阶初等矩阵 对矩阵A施行一次初等列变换，相当于对A右乘相应的n阶初等矩阵

性质

方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，...Pn，使A等于P1P2...Pn，即A是若干个初等矩阵的乘积

方阵A可逆，则A的行最简形和标准形是单位阵

推论：方阵A可逆的充分必要条件是A与单位阵等价

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩

矩阵的秩

定义

引理：设A与B行等价，则A与B中非零子式的最高阶数相等

矩阵A非零子式的最高阶数称为A的秩，记作R（A），零矩阵的秩为0

对于n阶矩阵（方阵）A，当|A|≠0时R（A）=n可逆（满秩矩阵）， 当|A|=0时R（A）＜n不可逆

对于行阶梯形矩阵（不是最简形！），它的秩＝非零行的行数，即非零元的个数

性质

（1）若矩阵A、B等价，则R（A）=R（B）【A、B同型】 若P、Q可逆，则R（PAQ）=R（A）

（2）0≤R（Am×n）≤min{m，n}

（3）矩阵A与它的转置矩阵秩相等

（4）AB=0，若A列满秩，则B=0；若B行满秩，则A=0

（5）max{R（A），R（B）}≤R（A，B）≤R（A）+R（B）

（6）R（A+B）≤R（A）+R（B）， R（AB）≤min{R（A）,R（B）}（矩阵相乘，秩不会变大）

（7）若Am×nBn×l=0，则R（A）+R（B）≤n

线性方程组的解

定理

n元线性方程组Ax=b

（1）无解的充分必要条件是R（A）＜R（A，b）

（2）有唯一解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）=n

（3）有无限多解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）＜n

（4）有解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）

n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R（A）＜n

非齐次求解步骤

写出增广矩阵B=（A，b）， 化为行阶梯形

R（A）≠R（B），则无解

R（A）=R（B）

R(A)=n，则有唯一解

R（A）≠n，则有无穷多解， 包含n-R（A）个自由变量的通解

齐次求解步骤 （一定有0解）

R（A）=n，只有0解

R（A）＜n，有无穷多个解

例题！（书P77）

第四章 向量组的线性相关性

向量组及其线性组合

线性组合

给定向量组A：a1，a2，...，am，对于任何一组实数k1，k2，...，km， 表达式k1a1+k2a2+...+kmam称为向量组A的一个线性组合

一组数使向量b是向量组A的线性组合，称向量b能由向量组A线性表示

向量b能由A线性表示的充分必要条件是R（A）=R（B） A=（a1，a2，...，am）B=（a1，a2，...，am，b）

若向量组A、B能相互线性表示，则这两个向量组等价

向量组B能由向量组A线性表示的充分必要条件是R（A）=R（A，B） 向量组B能由向量组A线性表示，则R（A）≥R（B）

向量组A、B等价的充分必要条件是R（A）=R（B）=R（A，B） 这里的R既可理解为矩阵的秩，也可理解成向量组的秩

总结

向量组B能由向量组A线性表示↔有矩阵K，使B=AK↔方程AX=B有解

向量组的线性相关性

线性相关和无关

给定向量组A：a1，a2，...，am，如果存在不全为0的数k1，k2，...，km， k1a1+k2a2+...+kmam=0（·），则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关

线性无关↔·式成立且k1，k2，...，km全为0

特例：对于只含一个向量a的向量组，a=0时线性相关，a≠0时线性无关

含两个向量的向量组线性相关↔两向量共线 含三个向量的向量组线性相关↔三向量共面

向量组中两向量成比例，必相关 含0向量的任一向量组必相关

向量组A线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵R（A）＜向量个数m 线性无关的充分必要条件是R（A）=m

若为n个n维向量，则R（A）＜m↔|A|=0↔相关 R（A）=m↔|A|≠0↔无关

系数向量组与方程解的关系

齐次

相关↔只有零解

无关↔有非零解

非齐次

线性组合↔方程有解

不是线性组合↔方程无解

性质

部分相关，整体相关；整体无关，部分无关

设向量组A：a1，a2，...，am线性无关，而向量组B：a1，a2，...，am，b线性相关，则向量组b必能由向量组A线性表示，且表达式唯一

m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关， 特别的n+1个n维向量一定线性相关

向量组的秩

定义

最大线性无关向量组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作RA

只含0向量的向量组没有最大无关组 规定它的秩为0

若向量组A线性无关，则A自身就是它的最大无关组，它的秩=它所含向量的个数。 向量组A和它自己的最大无关组A0等价（能互相线性表示）

等价定义--设向量组A0是A的一个部分组，且满足： （1）向量组A0线性无关（2）向量组A的任一向量都能由A0线性表示 那么向量组A0就是A的一个最大无关组

定理

两向量组等价则它们的秩相等，逆命题不一定成立

矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩

矩阵的一个最高阶非零子式Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组， Dr所在的r行即是A的行向量组的一个最大无关组

书P93、94例题

同解方程，线性关系相同

线性方程组解的结构

解向量的性质

若X1,X2为齐次方程组的解，则X=X1+X2也是齐次方程组的解

若X1为齐次方程组的解，则X=kX1也是齐次方程组的解

若X1,X2为非齐次方程组的解，则X=X1-X2为对应齐次线性方程组的解

若X1为非齐次方程组的解，X2为齐次方程组的解， 则X=X1+X2仍是非齐次线性方程组的解

定义定理

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该方程组的基础解系（一般不唯一）

设m×n矩阵A的秩R（A）=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩Rs=n-r

设n元齐次线性方程Ax=0与Bx=0同解，证明R（A）=R（B）

R（A^TA）=R（A）

Ax=b的通解=Ax=b的一个特解+Ax=0的基础解系的线性组合

齐次线性方程组求解的步骤

系数矩阵A化为行最简形→得出基础解系→得出通解

非齐次线性方程组求解的步骤

非齐次方程的通解=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个通解

书P99、103页例题

向量空间

看书P104109

基变换公式和坐标变换公式

第五章 相似矩阵及二次型

向量的内积、长度及正交性

内积

[x,y]=X1Y1+X2Y2+...+XnYn 当X与Y都是列向量时，有[x,y]=x^Ty

性质

（1）对称性 （2）线性性质 （3）当x=0时，[x,x]=0;当x≠0时,[x,x]＞0 （4）施瓦茨不等式：[x,y]²≤[x,x][y,y]

长度

||x||=√[x,x]=√X1²+X2²+...+Xn²

（1）当x≠0时，||x||＞0；当x=0时，||x||=0 （2）||λx||=|λ| ||x||

||x+y||≤||x||+||y||

若a≠0，取x=a/a的长度，称为把a单位化

正交性

当[x,y]=0时，称向量x与y正交。显然当x=0时，x与任何向量正交

一组两两正交的非零向量称为正交向量组

若n维向量a1，a2,...,an是一组两两正交的非零向量， 则a1，a2,...,an线性无关

如果e1,...,er两两正交，且都是单位向量， 则称e1,...,er是向量空间V的一个标准正交基

我们给向量空间取基时常常取标准正交基

施密特正交化（书P117）

正交阵

如果n阶矩阵A满足A^TA=E（即A^（-1）=A^T）， 那么称A为正交矩阵，简称正交阵

方阵A为正交矩阵的充分必要条件是 A的列/行向量都是单位向量，且两两正交

（1）若A为正交矩阵，则A^（-1）=A^T也是正交矩阵，且|A|=1或-1 （2）若A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵

若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换 正交变换的优良特性：经正交变换线段长度不变

方阵的特征值与特征向量

定义

设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx（1）成立， 那么数λ称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量

（1）式也可写成（A-λE）x=0 方程有非零解的充分必要条件是|A-λE|=0 方程称为矩阵A的特征方程，左端是A的特征多项式

设n阶矩阵A的特征值为λ1，λ2,...,λn，则 （1）特征值的和为A中所有元素之和 （2）λ1λ2...λn=|A|→A是可逆矩阵的充分必要条件是 它的n个特征值全不为0

定理

设λ是方阵A的特征值

（1）λ²是A²的特征值

（2）当A可逆时，1/λ是A^（-1）的特征值

若λ是方阵A的特征值，则φ（λ）是φ（A）的特征值 φ（λ）是λ的多项式，φ（A）是矩阵A的多项式

设λ1，λ2,...,λm是方阵A的m个特征值，p1，p2,...,pm是依次对应的特征向量， 如果λ1，λ2,...,λm各不相等，则p1，p2,...,pm线性无关

对应于两个不同特征值的线性无关的特征向量组，合起来仍是线性无关的 （这一结论对m≥2个特征值也成立）

相似矩阵

定义

设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P^（-1）AP=B， 则称B是A的相似矩阵，或者矩阵A与B相似

对A进行运算P^（-1）AP=B称为对A进行相似变换

可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

A与B相似，则A、B一定等价，逆命题不一定成立 若A、B均可逆，则A逆与B逆相似

定理

若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同， 从而A与B的特征值亦相同

推论：若n阶矩阵A与对角阵∧=diag(λ1，λ2,...,λm)相似， 则λ1，λ2,...,λm即是A的n个特征值（对角阵不唯一，除非A的特征值全相等）

n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的 充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

对n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P，使P^（-1）AP=∧为对角矩阵， 这就称为把A对角化（A可相似对角化）

推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似 （当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量， 从而不一定能对角化）

书P126例题

对角矩阵的对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序一致

对称矩阵的对角化

定理

对称矩阵的特征值为实数

设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P^（-1）AP=P^TAP=∧， 其中∧是以A的n个特征值为对角元的对角阵

推论：设A是n阶对称矩阵，λ是A的特征方程的k重根， 则矩阵A-λE的秩R（A-λE）=n-k，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量

性质

设λ1，λ2是对称矩阵的A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量。 若λ1≠λ2，则p1与p2正交

将对称矩阵A对角化

（1）求出A的全部互不相等的特征值和它们的重数 （2）求方程(A-λiE）x=0的基础解系，再把它们正交化、单位化 （3）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵P，便有P^（-1）AP=P^TAP=∧，其中∧中对角元的排列顺序应与P中列向量的排列次序相对应 【书P129例题】

二次型及其标准型

定义

含有n个变量X1,X2,...,Xn的二次齐次函数f=a11X1²+a22X2²+...+annXn²+ 2a12X1X2+2a13X1X3+...+2an-1,nXn-1Xn称为二次型

只含平方项的二次型（f=k1Y1²+k2Y2²+...+knYn²），称为二次型的标准形 如果标准形的系数k1,k2,...,kn只在1，-1，0三个数中取值， 则称上式为二次型的规范形

二次型可用矩阵记作f=x^TAx，其中A为对称矩阵

任一二次型唯一地确定一个对称矩阵 任一对称矩阵唯一地确定一个二次型 （一 一对应）

对称阵A叫做f的矩阵，也把f叫做A的二次型 对称阵A的秩就叫做二次型f的秩

设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使B=C^TAC， 则称矩阵A和B合同

可推出A、B均为对称矩阵，且R（A）=R（B）

要使二次型f经可逆变换x=Cy变成标准形，即把对称阵A合同对角化： 对于对称阵A，寻求可逆矩阵C，使C^TAC为对角阵

定理（书P133）

推论：任给n元二次型f（x）=x^TAx（A^T=A）， 总有可逆变换x=Cz，使f(Cz)为规范形

书P134例题

用配方法化二次型为标准型

书P135~136例题

正定二次型

定理

惯性定理（书P137）

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性系数， 负系数的个数称为负惯性系数

n元二次型f=x^TAx为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正， 即它的规范形的n个系数全为1，亦即它的正惯性系数等于n

推论：对称矩阵A为正定的充分必要条件是 A的特征值全为正

对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正 对称阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正

定义

设二次型f(x)=x^TAx，如果对任何x≠0都有f(x)＞0，则称f为正定二次型，并称对称阵A是正定的；如果对任何x≠0都有f(x)＜0，则称f为负定二次型，并称A是负定的

书P138题目