导图社区 线性代数-矩阵
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第14章DNA的生物合成读书笔记
矩阵
概念
mxn个数排列成m行n列的一个表格
m=n时，叫n阶矩阵
元素全为0位零矩阵O
矩阵是表格，行列式是数
矩阵的运算
加法
同形矩阵对应位置分别相加
数乘
kA=k×A每一个位置元素
乘法
运算法则
A+B = B+A
(A+B)+C = A+(B+C)
A+O = A
A-A=O
数乘矩阵
k(mA) = (km)A = m(kA)
(k+m)A = kA+mA
k(A+B) = kA+kB
1A = A, 0A=O
(AB)C = A(BC)
A(B+C) = AB + AC
(B+C)A = BA + CA
注
AB!=BA(多数)
AB=0 =!> A=0或B=0
AB = AC 且A!=0 =!> B=C
转置
(A+B)T = AT+BT
(kA)T = kAT
(AB)T = BTAT
(AT)T = A
常规矩阵
单位矩阵
主对角线全为1，其他全为0
对角矩阵
非主对角元素都是0的矩阵，记作^
数量阵
kE
上下三角矩阵
对称矩阵
AT = A
反对称矩阵
AT = -A
重点矩阵
伴随矩阵
定义
由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的矩阵
记作A*，注意排列方式
运算公式
A*A = AA* = |A|E
如果A可逆
四个新公式P41
(A*)^-1 = (A^-1)* = 1/|A| A
|A|!=0
(A*)T = (AT)*
|A*| = |A|^(n-1)
(kA)* = k^(n-1)A*
(A*)* = |A|^(n-2)A
n>=2
A* = |A|A^-1
求法
定义法
注意：（1）不要丢+-号（2）不要排错队，竖着写，避免得到伴随的转置
公式法
注意：A可逆且A逆容易求
伴随矩阵的秩r(A*)
n r(A)=n
1 r(A)=n-1
0 r(A)<n-1
例： r(A)=0,1,2,3,4,5r(A*)=0,0,0,0,1,5
可逆矩阵
A是n矩阵，存在n阶矩阵B，使得AB = BA = E则称A是可逆矩阵(非奇异矩阵)，B是A的逆矩阵
记作A^-1 = B
定理
定理1
若A可逆，则A的逆矩阵唯一
A^-1
定理2
A可逆 <=> |A|!=0
定理3
A,B为n阶可逆矩阵，且AB=E, 则BA=E
定理4
A是n阶，如果AB=E,则A可逆，且B是A的逆矩阵
充分必要条件
存在矩阵B，使得AB=E (BA=E)
|A|!=0或r(A) =n或A的行(列)向量线性无关
A的特征值全不为0
非齐次方程组Ax=b有唯一解
齐次方程组只有唯一解
性质
(kA)^-1 = 1/k A^-1
若A,B可逆，则(AB)^-1 = B^-1A^-1
(A^2)^-1 = (A^-1)^2
若AT可逆，(AT)^-1 = (A^-1)T
A^-1 ^-1 = A
|A^-1| = 1/|A|
一般(A+B)^-1 != A^-1+B^-1
法一
A^-1 = 1/|A| A*
法二
初等变换：(A|E)--初行变-->(E|A^-1)
由上向下变成上三角
由下往上变对角
行×k变主线为1
法三
求B 使AB = E = BA, A^-1 = B
定义法B=(E+A)^-1(E-A),求(B+E)^-1?
法四
分块矩阵求
主线
副线
法五
初等矩阵的求逆
证明矩阵(A..)可逆
存在B 使AB = E = BA => A^-1 = B
反证法
(A..)不可逆，则|(A...)|==0（结合方程组有无解）
|(A...)|!=0
初等变换、初等矩阵
初等变换
左行A右列
k×A的某一行(列) (k!=0)
A的某两行(列)互换
A的某行(列)加到另一行(列)
初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
类型
倍乘初等矩阵----E(i(k))
互换初等矩阵----E(i,j)
倍加初等矩阵----E(ij(k))
等价矩阵
A经过有限次初等变换变成B，A与B等价
等价充分必要条件
存在可逆矩阵P与Q，使PAQ = B
行阶梯矩阵
行最简矩阵
初等矩阵初等变换后仍是初等矩阵
初等矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是初等矩阵
初等矩阵左乘(右乘)A，相当于对A做初等行变换(列变换)
初等矩阵的逆
倍加矩阵--逆-->倍加数变成相反数
互换矩阵--逆-->不变
倍乘矩阵--逆-->倍数变倒数
初等矩阵的n次方
倍加矩阵--N-->倍加数的n倍 (nk)
倍乘矩阵--N-->倍乘数的n次方
互换矩阵
N为偶数---->单位矩阵
N为奇数---->矩阵不变
A可逆的充分必要条件时它能表示成一些初等矩阵的乘积 PN..P2P1A = E
题型
给定下标，找行(列)变换 P48L2.20
运用到初等矩阵的逆 P48L2.21
一段A变换的描述得到E，求A*... P48L2.23
分块矩阵
正交矩阵<二次型>
AAT = ATA = E则A是正交矩阵
A是正交矩阵 <=> A^-1 = AT
正交矩阵一定是可逆的！！！
正交矩阵行列式为 1 -1
(行)列向量两两垂直
注意几何意义
行(列)向量是单位向量 P52
可以直接用于判断一个矩阵是否是正交矩阵
对称矩阵求特征向量构造正交矩阵常见错误 P52L2.28
矩阵行列式
|AT| = |A|
|kA| = k^n|A|
|AB| = |A||B|
AB都是n阶|A^2|=|A|^2
|A^-1| = |A|^-1
分块矩阵行列式
AB在主线
|A||B|
AB在副线
(-1)^mn|A||B|
一般 |A+-B| != |A|+-|B|
其他矩阵
或r(A)=r(B)
形如aij = aji的矩阵
公式
形如aij = -aji,aii = 0的矩阵
非主对角元素都是0
正交矩阵
非零行主元都是1
主元所在列其他元素都是0
用法
求矩阵的秩
其他
如果有零行，则零行在底部
非零行的主元，列指标随行指标递增
将矩阵用若干纵线横线分成许多小块
每小块称为原矩阵的子矩阵（子块）
子块看成原矩阵的一个元素
加
乘
n次方
逆
转置矩阵
矩阵的秩
k阶行列式
mxn矩阵A 中，任取k行k列（k<=m,k<=n）,交叉的k^2个元素构成一个k阶行列式，称其为A的k阶子式
mxn矩阵A中，存在r阶子式不为零，r阶以上子式均为零，则矩阵A的秩为r，记为r(A),r(零矩阵)=0
特性
r(A)<=min(m,n)
r(A)=r <=> 矩阵A中非零子式最高阶数是r
r(A)<r <=> A中每一个r阶子式全为零
r(A)>=r <=> A中有r阶子式不为零
r(A)=0 <=> A=O
r(A)≠0 <=>r(A)>=1
A不是零矩阵，则r(A)>=1
若A为n阶矩阵
r(A)=n <=> |A|≠0 <=> A可逆
r(A)<n <=> |A|=0 <=> A不可逆
r(A) = r(AT); r(ATA) = r(A)
r(ATA) = r(A)联想同解
k ≠ 0时，r(kA) = r(A); r(A+B) <= r(A)+r(B)
r(0E-A)=r(A)
r(A-E)=r(E-A)
r(AB) <= min( r(A), r(B) ) max( r(A), r(B) ) <= r(A, B) <= r(A) + r(B)
若A可逆，则r(AB) = r(B), r(BA) = r(B)
若A是mxn，B是nxs，AB=O
r(A)+r(B) <= n
B的列向量是Ax=0的解
A为n阶，B!=0意味着Ax=0有非零解也就意味着|A|=0
A(A+kE)=0
A有特征值0或k
分块矩阵r(A,O O,B) = r(A)+r(B)
定理7：经过初等变换的矩阵的秩不变
定理8：三秩相等
A的秩r(A) = A的行秩r(α1...αm) = A的列秩r(β1...βn)
1.将A按行按列分块 Amxn = [α1...αm]T = [β1...βn]2.行秩、列秩根据行列分块后极大线性无关组判断
伴随矩阵可逆矩阵
重要公式
若A可逆
A^-1(A^-1)* = |A^-1|E
伴随矩阵的秩
概念运算
6个符号
设ab都是列向量
矩阵：abT,baT,aaT数：bTa,aTb,aTa
abT,baT,aaT，秩为1的矩阵
r(A)=1A^2 = 迹xA
A^n = 迹^(n-1) xA
为内积，也为对应不得零的特征值
abT baT是转置关系
aaT,bbT是对称矩阵
迹关系
a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)
ai,bi为列向量
|abT|=0
r(abT)=0或1
分块矩阵P35
可能用到的情况
A^n，A^-1
向量、方程组
行列向量求法
n次方P35
只有主对角线运算的n次方，没有关于副对角线的公式
逆P35
主对角线，副对角线都有
矩阵的n次方
秩为1矩阵的n次方P38
A^n = k^(n-1)Ak = A的迹一般选择题
主对角线为1的上三角矩阵n次方
转换成 (E+B)^n 的形式
E^n+nE^(n-1)B+n(n-1)/2 E^(n-2)B
三角块矩阵的i次规律P38
三阶的平方四阶的三次方都有快速求法
相似
P^-1AP=B =>A~B
P^-1A^nP=B^n =>A^n~B^n
求A^n,用过B^n来求，而B一般为^,A~^P为A的特征向量，^为特征向量
分块
考点
分块矩阵技巧
