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第14章DNA的生物合成读书笔记
特征值和特征向量
定义
特征值特征向量
#n阶矩阵A，存在数λ以及n维非0列向量α使得Aα=λα
称λ为A的特征值
α是矩阵A属于λ特征值的一个特征向量
特征多项式
特征方程
求解方法
A具体
步骤一
通过|λE-A|=0求出特征值λi
求λi方法：行列变换求法很麻烦，观察非主对角线元素是否可消成0，得零的同时要有λi的公因式(λi-k)可提取
步骤二
(λiE-A)X=0求出λi对应的基础解系，且ki !=0 (即为λi的特征向量)
求特征向量方法：方法一：原始方法，初等行变换，x3赋值法√方法二：秩判断，λi代入|A|≡0，r(A)<n,令某一行(注意成比例行)为0再算
A抽象
利用公式进行推导特征值
找部分特征值
|A|=0
r(A)<n
0为一个特征值
题目提到正交向量
优先考虑正交向量相乘判断特征值 L 2013.23L：A= (kααT+tββT)-> Aα = kα
注意点
矩阵A有三个不同特征值 则r(A)>=2
0也可能会作为特征值避免认为r=3
公式
Aα = λα 则 kAα = kλα
Aα = λα 则 (A+kE)α = (λ+k)α
Aα=λ1α，(A+kE)α=λ2α，λ1,λ2的关系
Aα = λα 则 A^nα = λ^nα
注意Aα = λα，A^n-kE的特征值变形:已知A的λi,A+B=2E，求B的λi
Aα = λα 则 (A^n)^-1 α = 1/ λ^n α
逆《矩阵的特征值与矩阵的逆的特征值关系，互为倒数
Aα = λα 则 A*α = |A|/λ α
伴随《伴随矩阵特征值关系
定理
定理1
α1，α2，α3...αt是A属于λ的特征向量，(k1α1+k2α2+...ktαt)不为0时,仍是A...的特征向量
1.同一个特征值的特征向量加加减减，仍是...特征向量2.不同特征值的....加加减减一定不是A的特征向量
定理2
λ1，λ2...λm是矩阵A互不相同的特征值，α1，α2，α3...αm是分别对应的特征向量，则α1，α2，α3...αm线性无关
特征值不同，对应特征向量线无关
定理3
A为n阶，λ1，λ2...λn是矩阵A的特征值
∑λi = ∑aii
特征值相加等于迹
|A| = ∏λi
特征值相乘行列式∏λi = λ1*λ2*...*λn
特殊技巧
上下三角矩阵特征值就是主对角元素
矩阵秩为1，特征值为0,0，a11+a22+a33
推广，n阶矩阵秩为1
A= B+kE形式
B秩为1的时候，可快速得到A的特征值 P131
相似矩阵
n阶矩阵A、B，如果存在可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则B是A的相似矩阵
记作A~B
特殊公式 P134
已知P^-1AP = B
若Aα = λα =》B(P^-1 α) = λ(P^-1 α)
若Bα = λα =》A(Pα) = λ(Pα)
性质
A~A
A~B，则B~A
A~B，B~C则A~C
相似矩阵的传递性
A~B
A+kE~B+kE
=>|A+kE|=|B+kE|
=> r(A+kE) = r(B+kE)
=> λ<A+kE> = λ<B+kE>
A^n~B^n
P^-1 A^n P = B^n
A^n = PB^nP^-1
相似的应用，通过求B^n来求A^n一般的B是^矩阵
P1^-1AP = B, P2^-1BP2 = C
P^-1AP = C,其中P = P1P2
证明题，求AB相似,^矩阵当中介A~^,B~^ =>A~B
推论
A^n = PB^nP^-1考点之一，求A^n可以通过B^n来间接求
如果A可逆则 A^-1~B^-1
分块矩阵，如果A1~B1, A2~B2则 [A1(11),A2(22)]~[B1(11),B2(22)]
相似必要条件
矩阵相似一定会有的性质，反过来不一定成立
|λE-A| = |λE-B|
特征多项式相同,即特征值也相等
r(A) = r(B)
|A|=|B|=∏λi
根据特征值求行列式
∑aii = ∑bii =∑λi
矩阵的迹一定相等
A~B则 特征值、秩、行列式、迹都相同
相似充要条件
用于判断给定两个矩阵是否相似
矩阵A,B特征值一致且可相似对角化
也就是矩阵A,B对相似于同一个对角矩阵
？矩阵A,B特征值一致，且特征值不重复，A,B一定相似
不同特征值的特征向量一定线性无关
K重特征值至多有K个线性无关的特征向量
相似对角化
概念
如果A~^，则称矩阵A可相似对角化
不是所有A都有^相似(看定理4)^对角矩阵：除主对角线外都是0
注
A~^ =》P^-1AP = ^
^对角线即为A的特征值
P列向量即为A特征值对应的特征向量
特征值与特征向量位置一定是对应的仅限^矩阵，普通矩阵A~B没有这个性质
结论
A有n个不同的特征值
A是对称矩阵(AT = A)
=>A有n个线性无关的特征向量 <=>A~^
定理4
A~^ <=> A有n个线性无关的特征向量
AP~P^
如果A有n个不同的特征值λ1，λ2...λn，则A一定可相似对角化且A~主对角线为λi的^
特征值有重根的时候不一定和^相似
例：A矩阵和^相不相似？
先看A是不是对称矩阵
对称---一定相似
不对称
求A特征值，看特征值是否相同
不同---一定相似
同---求秩
r(λiE-A) = n-k,判断特征向量个数
定理5
A~^ <=>
λ是A的k重特征值，则λ有k个线无关的特征向量
r(λiE-A) = n-k
鉴定K重特征值有没有K个无关向量
k为λi对应的特征向量个数
题
给定矩阵A，求可逆矩阵P使P^-1AP=^
需要求A的特征向量，求^实际上就是求A特征值
1.求出矩阵A的特征值
2.求出对应特征向量
3.构造可逆矩阵P=(α1，α2，α3)
对应^ (λ1,λ2,λ3), λ1α1+λ2α2+λ3α3 = (α1，α2，α3)[(λ1,0,0),(0,λ2,0),(0,0λ3)]
判断矩阵是否能够相似对角化
两个判断
1.A有n个不同λ
2.存在k个λ相同，λ有k个无关α
注：（1）k用秩来求（2）对角矩阵主线就是λ，顺序随意
带参数的矩阵A，求可逆矩阵P使P^-1AP=^ P145,P144
预处理
求出所有未知数在转到1
证明题，两种
A~^,B~^
实对称矩阵A~B<=>λa=λb
实对称矩阵(对称矩阵)
定理6
实对称矩阵必可相似对角化
不论是否有重根
定理7
实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量是正交的
内积为0--》齐次方程组---》求α可用来求剩余的特征向量：通过正交求齐次方程组再求特征向量例：与(1,1,-2),(0,2,1)都正交，设(x1,x2,x3)与之相乘为0，构成方程组...
定理8
实对称矩阵一定可以用正交矩阵Q相似对角化，Q^-1AQ = QTAQ = ^
(了解)实对称矩阵特征值一定是实数
证明两个实对称矩阵相似
证明特征值相等即可
给定矩阵A，用正交矩阵Q使Q^-1AQ=^
带参数时，需要先预处理，求出参数
3.将特征向量改造成两两垂直单位向量
1。特征值不同，则向量已正交，只需单位化
2。特征值有重根
（1）特征值已经正交，只需单位化
（2）特征值不正交，Schmidt正交化
单位化后构造Q^-1AQ==QTAQ=^
考点
特征值、特征向量计算
具体
定义法
抽象
A~B 特征值向量转换
相似
和对角矩阵相似
求P
给定具体矩阵
求^
求A^n
子主题
实对称矩阵
A必与对角矩阵相似
特征值不同特征向量相互正交
