材料力学- 弯曲

这一部分是关于弯曲的知识点，原本有很多页面不便分享，于是把部分章节放在一页上了。在线上学习的过程中记录笔记，思路也清晰了很多，与大家一起分享~内容较多，如有错漏，多多指正~

材料力学 第五章 弯曲应力

• 梁弯曲时的正应力
  • 最大正应力在边缘
  • 横力弯曲，Q≠0，M≠0
    • 剪力产生剪应力
    • 弯矩产生正应力
  • 纯弯曲，Q=0，M≠0
    • 只有正应力σ
  • 正应力分析
    • 变形
      • 平面假设
        • 梁的横截面变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。
      • 中性层
        • 梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层。
    • 几何条件:应变
      • bb=ρdθ，b'b'=(ρ+y)θ
    • 物理条件: 应力
      • 假设：纵向纤维横向无挤压作用，各条纤维仅受单向拉压受力，可以使用简单虎克定律。
    • 静力学关系
      • 微观应力与宏观合力的等效关系
        • N=0，推出中性轴通过截面形心
        • My=0，推出y，z轴为一对主轴
        • Mz=M，和Iz=∫y²dA，推出梁弯曲后，轴线的曲率计算公式
          • 弯曲刚度：E*Iz
    • 应力计算注意
      • 正应力的正负号
        • 确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置然后根据变形确定所求点的正应力是拉应力还是压应力。
      • 最大应力的计算
        • 某一个横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应力，应该首先判断可能产生最大正应力的那些截面（危险截面）
        • 然后比较所有危险截面上的最大正应力
      • 有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯曲的情形，如果是细长杆（L/h>5），也是近似适用。
      • 由于剪应力的存在，梁的横截面在变形之后将不再保持平面，而是要发生翘曲。对于细长梁（L/h>5），这种翘曲对正应力的影响是很小的，通常都可以忽略不计。
  • 梁弯曲时的强度计算
    • 塑性：屈服极限许用应力 脆性：强度极限许用应力
      • 脆性拉压强度条件
    • 计算步骤
      • 确定约束力
      • 画出梁的弯矩图，确定可能的危险截面
      • 确定可能的危险点（拉或压）
      • 强度计算
    • 细长梁，在一般受力情形下，剪应力远小于正应力，因而，剪应力对强度的影响可以忽略不计。
  • 适用范围
    • a.线弹性范围
    • b.平面纯弯曲
    • C.单一材料
• 横梁弯曲时的剪应力
  • 最大剪应力在中性轴
  • 须考虑的情况
    • 梁的跨度较短（1/h<5）；
    • 在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；
    • 铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、胶合面或铆钉等）
  • 剪应力分析
    • 1.假设
      • 方向：剪应力与剪力Q一致
      • 分布：沿截面宽度均布
    • 列静力平衡方程
      • 变量：Sz*是面积A*对中性轴z轴的静矩
      • Q=dM/dx=截面上的剪力
      • Iz，b是整个截面对中性轴的惯性矩、截面宽度
  • 几种剪应力分布
    • 矩形
    • 圆截面
      • • 最大剪应力发生在中性轴上各点处
        • 最大剪应力是平均剪应力的4/3倍
    • 薄壁圆截面
      • • 最大剪应力发生在中性轴上各点处
        • 最大剪应力是平均剪应力的2倍
    • 工字形截面梁
      • • b：腹板宽度
        • Iz：全截面对中性轴的惯性矩
        • Sz*：图示阴影面积对z轴的静矩
• 提高弯曲强度的措施（正应力小）
  • 合理的截面形式
    • 1.（中空）尽量使材料分布在远离中性轴的位置。
      • 同等面积下，抗弯刚度
    • 2.塑性材料，采用以中性轴对称的截面
      • 矩形：h＞b放置强度更好
      • 中性轴与H垂直
    • 3.脆性材料，采用不以中性轴对称的截面
      • 中性轴靠近许用强度小的一侧
  • 整体考虑
    • 采用等强度梁，改变梁的形状
  • 改善受力状态
    • 1.支座位置
      • 合理布置支座位置，使Mmax 尽可能小
      • 外伸梁好于简支梁
    • 2.加载方式
      • 合理布置外力作用，使Mmax尽可能小
      • 分布载荷优于集中载荷
  • 用超静定梁
  • 同类材料如钢材“E”值相差不多“σs”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。
    • 可选用不同的材料以提高刚度和稳定性
• 材料力学 第六章 弯曲变形
  • 梁的横截面位移
    • 挠度（deflection）
      • 横截面形心处的铅垂位移
    • 转角（slope）
      • 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度
      • 逆时针转为正
      • =挠曲线的倾角，即切线的角度
    • 轴向位移或水平位移（horizontal displacement）
      • 横截面形心沿水平方向的位移
      • 忽略不计
  • 梁的挠度曲线 （deflection curve）
    • 在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲形成的平面曲线
    • 挠曲线的微分方程
      • 推导
        • y'=tanθ≈θ
        • 力学中的曲率公式
          • （任一截面x点的弯矩和曲率的关系）
        • 数学中的曲率公式
          • （y=f1（x）上任一点的曲率）
          • • 略去了y'2项
      • 符号
      • 条件
        • 略去剪力的影响
        • 服从胡克定律
  • 积分法求弯曲变形
    • 积分
      • 一次积分得转角方程
      • 再次积分得挠度方程
    • 积分定解条件
      • 边界条件
        • 简支梁处
          • y=0
        • 悬臂梁处
          • y=0
          • θ=0
        • 弹簧简支
          • y=Δ（弹簧变形）
      • 连续条件
        • 杆
          • y相等，θ相等
        • 铰链连接处
          • y相等
  • 叠加法求弯曲变形
    • 组合方法
      • 1.增减载荷法
      • 2.逐段钢化
        • 将杆件系统分解为n段，分n次变形。假设每次只有一段变形，其它段均作为刚性处理，然后进行叠加，求得变形量。
      • 等价积分法
        • 先取微分长度，形成微集中力dP=adx，代换
      • 等价悬臂梁法
        • 仅适合简支梁受到对称荷载
        • 由于对称：梁在C点的转角为0，可以视为一悬臂梁在C点固定，在A点受集中力作用。A点所产生的位移恰好与C点的位移数值相同。
        • yA=-yC
      • 利用对称性
        • 仅适合求简支梁中点位移
        • 将P力分解为关于中截面的对称和反对称力（P/2）之和的形式。再采用等价悬臂梁法
    • 叠加原理
      • 几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。
      • 适用条件
        • 叠加原理仅适用于线性函数。要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满足：
        • 1.材料为线弹性材料；
        • 2.梁的变形为小变形；
        • 3.结构几何线性。
      • 特征
        • 1.各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度、转角的总和。
        • 2.梁在简单荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。
        • 3.叠加法适宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。
  • 刚度校核
    • ymax≤[y]
    • θmax≤[θ]
  • 静不定悬臂简支梁
    • 水平方向不受力
    • 简支梁处利用叠加原理，位移代数和为0
  • 提高弯曲刚度的方法
• 材料力学 第四章 弯曲内力
  • 弯曲变形（梁）
    • 外载荷作用在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线--挠曲线。梁发生平面弯曲
    • 受力特点
      • 力偶或垂直于轴线的外力作用在一个通过轴线平面内。
    • 变形特点
      • 杆件的轴线由直线变为曲线
    • 梁的计算简图：
      • 简支梁
      • 外伸梁
      • 悬臂梁
  • 横截面上的内力
    • 符号规定
      • 注意：对截面形心取矩
    • 载荷集度q、剪力Q、弯矩M之间的微分关系
      • Q图曲线的切线斜率为q(x)
      • M图曲线的切线斜率为Q(x)
      • M图曲线的凹凸向与q(x)符号有关
      • 没有分布载荷作用, 即q=0时
        • 这一段剪力Q为水平直线
        • 弯矩图M为斜直线
          • Q>0，M的斜率为正，
          • Q<0，M的斜率为负。
      • 有均布载荷即q=C时
        • 这一段剪力图Q为斜直线
        • 弯矩图M为二次抛物线
          • 当q为正（向上）时，抛物线为凹曲线(开口向上)，凹的方向与M坐标正方向一致
          • 当q为负（向下）时，抛物线为凸曲线(开口向下)，凸的方向与M坐标正方向一致
      • 集中力P作用点剪力图有突变，突变值等于P，弯矩图有拐点。
      • 集中力偶M作用点，弯矩图有突变，突变值等于M。
    • 1 截面法
      • 内力方向设正
      • 由平衡方程：合力为零，合力矩为零
      • 简便求法：外力简化法
        • 剪力——截面一侧所有竖向分力的代数和
        • 弯矩——截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
        • 当内力的方向设正时，外力的方向和内力的方向相反则取正号
    • 2 微分关系
      • 确定约束力
      • 确定控制面
      • 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值
        • 假定剪力和弯矩都为正方向
      • 建立Q-x和M-x坐标系，将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。
      • 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状和极值，进而画出剪力图与弯矩图。
    • 注意
      • 铰B处没有集中力，剪力Q应是连续的
      • 中间铰B处，弯矩M应等于零。
  • 平面刚架及曲杆内力图
    • 刚架的组成——横梁、立柱与刚节点。
      • 节点处的平衡关系
      • 内力的计算和剪力弯矩图的作法原理上与横梁相同。可以顺时针逐段按直梁画.
      • 弯矩图画杆件弯曲变形凹入的一侧（画在杆件受压一侧）。