考研数二高等数学

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武忠祥高数基础班

第一章 函数 极限 连续

第一节 函数

一、函数的概念及常见函数

1、函数概念

1、定义

y=f(x),x∈Df

Rf=f(Df)={y|y=f(x),x∈Df}

2、两个基本要素

1、定义域

2、对应规则（依赖关系）

2、复合函数

1、定义

y = f(u),u=g(x)

Df ∩ Rg ≠ Ø

y=f[g(x)]

定义域

{x|x∈Dg，g（x）∈Df}

2、复合条件

前一个函数的定义域与后一个函数的值域相交不为空集

Df ∩ Rg ≠ Ø

3、反函数

1、定义

函数y=f(x),定义域为D，值域为Ry

任意y∈Ry，有唯一确定的x∈D

y=f(x)的反函数存在，为x=f-1(y)

2、注

1、单调函数一定有反函数，反之则不一定

2、f-1[f(x)]=x，f[f-1(x)]=x

3、一一映射（单射）函数存在反函数

4、初等函数

1、基本初等函数

1、幂函数

y=x^u（u为实数）

y=x

y=x^2

2、指数函数

y=a^x（a>0,a≠1）

y=e^x

3、对数函数

4、三角函数

cscx=1/sinx

secx=1/cosx

cotx=cosx/sinx，余切函数

定义域：x≠kπ（k∈Z）的一切实数

数集

R：实数集

Z：整数集合{..-1,0,1,...}

N：非负整数（自然数集）

Q：有理数集

N+或N*：正整数集

tanx=sinx/cosx，正切函数

定义域：x≠kπ+π/2（k属于Z）的一切实数

5、反三角函数

2、初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可以用一个式子表示的函数

二、函数的性质

1、单调性

1、定义

函数y=f(x)在某区间I上有定义,对于区间I上任意两点x1<x2,恒有f(x1)<f(x2)（或f(x1)>f(x2)），则称y=f(x)在该区间内单调增加（或单调减少）

2、注

函数单调性判定

1、单调性的定义

2、一阶导数的正负

2、奇偶性

1、定义

设函数y=f（x）的定义域D关于原点对称（即若x∈D，则有-x∈D），对于任意x属于D，如果恒有

f（-x）=f（x）——偶函数

f（-x）=-f（x）——奇函数

2、常见奇偶函数

1、奇函数

sinx

tanx

arcsinx

arctanx

ln(1-x)/(1+x)

ln(x+√(1+x^2))

(e^x-1)/(e^x+1)

f(x)-f(-x)

2、偶函数

x^2

|x|

cosx

f(x)+f(-x)

3、注

1、奇函数的图形关于原点对称，且若f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0

2、偶函数的图形关于y轴对称

3、奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数

4、偶函数*奇函数=奇函数，奇函数*奇函数=偶函数，偶函数*偶函数=偶函数

3、周期性

1、定义

1、周期函数

若存在实数T>0，对于任意x，恒有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为周期函数

2、最小正周期

使得上述关系式成立的最小正数T称为f(x)的最小正周期，简称为函数f(x)的周期

2、注

若f(x)以T为周期，f(ax+b)以T/|a|为周期

4、有界性

1、定义

1、有界函数

y=f(x)在集合X上有定义。若存在M>0，使得对于任意的x∈X，恒有|f(x)|<M，则f(x)在X上为有界函数

2、无界函数

对于任意的M>0,至少存在一个x0∈X,使得|f(x)|>M,则称f(x)为X上的无界函数

2、注

如果没有指明x的范围，则指的是其定义域

常考题型与典型例题

一、函数有界性、单调性、周期性以及奇偶性的判定

二、复合函数

第二节 极限

一、极限的概念

1、数列的极限

1、定义

∀ε>0,ョ正整数N，当n>N，恒有|xn-a|<ε

几何意义：对于a点的任何ε领域（a-ε,a+ε），一定存在N，当n>N，xn都落在(a-ε,a+ε)内，只有有限个（最多N个）在这个区间之外

2、注

1、ε用来刻画xn与a的接近程度

2、N用来刻画n趋向∞这个极限过程

3、数列{xn}的极限存在，极限值等于多少与数列的前有限项无关

2、函数的极限

定义

1、自变量趋于无穷大

1、x→+∞

∀ε>0,ョX>0，当x>X时，恒有|f(x)-A| < ε，则称常数A为f(x)当x→+∞时的极限

2、x→-∞

∀ε>0,ョX>0，当x<-X时，恒有|f(x)-A| < ε，则称常数A为f(x)当x→-∞时的极限

3、x→∞

∀ε>0,ョX>0，当|x|>X时，恒有|f(x)-A| < ε，则称常数A为f(x)当x→∞时的极限

2、自变量趋于有限值

1、极限

∀ε>0,ョδ>0，当0<|x-x0|<δ时，恒有|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→x0时的极限

注

x→x0，但x≠x0.极限是否存在，如果存在，极限值等于多少与f（x）在x=x0处有没有定义，如果有定义，函数值等于多少无关，只与x=x0的去心领域函数值有关

即x→x0，极限值与f(x)在x=x0处的定义、值无关

2、左极限

∀ε>0,ョδ>0,x0-δ<x<x0.....

3、右极限

∀ε>0,ョδ>0,x0<x<x0+δ.....

定理

x→x0时，函数f(x)极限存在的充要条件

左极限及右极限存在并且相等

注

左、右极限求极限的问题常见有以下三种

1、分段函数在分界点处的极限，分界点两侧函数表达式不同

1、当x→0，求极限，|x|/x

2、e^∞型极限

1、当x→0，求极限，e^(1/x)

2、当x→∞，求极限，e^x

3、当x→-∞，求极限，e^(-x)

3、arctan∞型极限

1、当x→0，求极限，arctan1/x

1、当x→∞，求极限，arctanx

二、极限的性质

1、有界性

1、数列

1、如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界

反之不成立

xn=(-1)^n

2、有界是数列收敛的必要条件

3、无界数列一定发散，但发散数列不一定无界

2、函数

x→x0，f(x)的极限存在，则f(x)在x0某去心领域有界（局部有界）

反之不成立

f(x)=sin1/x

2、保号性

1、数列

n→∞,limxn=A

1、如果A>0(或A<0)，则存在N>0，当n>N时，xn>0(或xn<0)

极限值大于0，则N项后的数值均大于0

不可以改为大于等于0，原因：

极限值趋于0可以从左、右两边趋于0，则xn可以是负值

例子：(-1)^n/n

2、如果存在N>0,当n>N时，xn>=0(或xn<=0)，则A>=0（或A<=0）

N项后的数值均大于等于0，极限值大于等于0

不可以改为大于0，原因：

xn大于0，极限值可以为0

例子：1/n

注意1为严格不等号和2为非严格不等号

2、函数

x→x0,limf(x)=A

极限值大于0，x0的去心领域里，f(x)大于0

x0的去心领域里，f(x)大于等于0，则极限值大于等于0

3、极限值与无穷小之间的关系

三、极限的存在准则

1、夹逼准则

1、ョN，n>N时，xn<=yn<=zn，且n→∞，limxn=limzn=a，则limyn=a

2、多于在n项和的数列极限

2、单调有界准则

1、单调有界数列必有极限

2、多用在递推关系:xn+1=f(xn)所定义的数列极限

注

函数极限也有对应的以上两条存在准则

四、无穷小量

1、无穷小量的概念

若函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，则称f(x)为x→x0（或x→∞）时的无穷小量

1、x→x0或x→∞

2、f(x)的极限为0

3、无穷小量

2、无穷小的比较

limα(x)=0,limβ(x)=0,且β(x)≠0，limα(x)/β(x)=

1、高阶

0，记α(x)=O(β(x))

2、低阶

∞

3、同阶

C，C≠0

4、等价

1，记α(x)~β(x)

5、无穷小的阶

若limα(x)/[β(x)]^k=C≠0，则称α(x)是β(x)的k阶无穷小

3、无穷小的性质

1、有限个无穷小的和仍是无穷小

2、有限个无穷小的积仍是无穷小

3、无穷小与有限量的积仍是无穷小

注

前两条有限二字不能少

五、无穷大量

1、无穷大量的概念

2、常用的一些无穷大量的比较

3、无穷大量的性质

1、两个无穷大量的积仍为无穷大量

2、无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量

4、无穷大量与无界变量的关系

无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量

5、无穷大量与无穷小量的关系

f(x)是无穷大，1/f(x)是无穷小

f(x)是无穷小，f(x)≠0，1/f(x)是无穷大

常考题型与典型例题

一、极限的概念、性质及存在准则

二、求极限

1、利用基本极限求极限

1、常用的基本极限

2、1^∞型极限常用结论

2、利用等价无穷小代换求极限

1、代换原则

1、乘除关系可以换

2、加减关系在一定条件下可以换

2、常用的等价无穷小

3、利用有理运算法则求极限

4、利用洛必达法则求极限

1、洛必达法则

2、洛必达法则适应类型

3、、使用洛必达法则应该注意的几个问题

5、利用泰勒公式求极限

定理

几个常用的泰勒公式

6、利用夹逼原理求极限

7、利用单调有界准则求极限

8、利用定积分定义求极限（见第五章）

拉格朗日中值定理

三、无穷小量阶的比较

0/0型极限三大方法

1、洛必达法则

2、等价无穷小代换

3、泰勒公式

第三节 函数的连续性

一、连续性的概念

定义

连续

定义1

设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若Δx→0,limΔy=lim[f(x0+Δx)-f(x0)]=0,则称y=f(x)在点x0处连续

定义2

设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若x→x0,limf(x)=f(x0)，则称y=f(x)在点x0处连续

注

以上两个定义是等价的

左连续

定义3

若x→x0-,limf(x)=f(x0),则称y=f(x)在点x0处左连续

右连续

定义4

若x→x0+,limf(x)=f(x0),则称y=f(x)在点x0处右连续

区间上的连续

(a,b)

f(x)在(a,b)内每点都连续⇔f(x)在(a,b)内连续

[a,b]

f(x)在(a,b)内连续，在x=a处右连续，在x=b处左连续⇔f(x)在[a,b]上连续

定理

f(x)连续⇔f(x)左连续且右连续

二、间断点及其分类

1、间断点的定义

定义5

若f(x)在x0的某去心邻域有定义，但在x0处不连续，则称x0为f(x)的间断点

2、间断点的分类

第一类间断点：左右极限都存在

可去间断点

左极限 = 右极限

跳跃间断点

左极限 ≠ 右极限

第二类间断点：左右极限中至少有一个不存在

无穷间断点

1/x

震荡间断点

sin1/x

三、连续性的运算与性质

定理

定理1

连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数

定理2

连续函数的复合仍为连续函数

定理3

基本初等函数在其定义域内是连续的

定理4

初等函数在其定义区间是连续的

注意

此处指的是定义区间而非定义域

定义区间——在某个区间上的函数都是有定义的

孤立的点不构成区间

不能用定义域的反例

√(cosx+1)

定义域：0,±2π，±4π....

该函数在0点附近没有定义

该函数没有定义区间——孤立的点不构成区间

四、闭区间上连续函数的性质

定理

定理5

有界性定理

若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界

定理6

最值定理

若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值

定理7

介值定理

若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对f(a)与f(b)之间任一数C，至少存在一个ξ∈(a,b),使得f(ξ)=C

推论

若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可取到介于它在[a,b]上最小值与最大值之间的一切值

定理8

零点定理

若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)<0,则必ョξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0

常考题型与典型例题

1、讨论函数的连续性及间断点的类型

2、有关闭区间上连续函数性质的证明题

第二章 导数和微分

一、导数与微分的概念

1.导数的概念

关于变化率的问题都可以用导数

定义

定义1（导数）

定义2（左导数）

定义3（右导数）

定义4（区间上可导及导函数）

y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称f(x)在区间(a,b)内可导.

f'(x)为f(x)在(a,b)内的导函数，简称导数

(a,b)内可导，且a+、b-处可导，则f(x)在区间[a,b]可导

定理

定理1

可导⇔左右导数都存在且相等

2.微分的概念

定义

定义5（微分）

设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义

如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可以表示为

Δy=AΔx+ο (Δx)，（Δx→0）

其中A为不依赖于Δx的常数，则称函数f(x)在点x0处可微

称AΔx为函数f(x)在点x0处相应于自变量增量Δx的微分

记为dy=AΔx

定理

定理2

函数y=f(x0在点x0处可微的充分必要条件是f(x)在点x0处可导，且有

dy=f'(x0)Δx=f'(x0)dx

在点x处，常记为dy=f'(x)dx

注

f'(x)≠0→dy与Δx同阶无穷小

3.导数与微分的几何意义

1）导数的几何意义

导数f'(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率

切线方程：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

法线方程：y-f(x0)=-1/f'(x0)(x-x0)

2）微分的几何意义

微分dy=f'(x0)dx在几何上表示曲线y=f(x)的切线上的增量

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)在几何上表示曲线y=f(x)上的增量

Δy≈dy

4.连续、可导、可微之间的关系

二、导数公式及求导法则

1.基本初等函数的导数公式

2.求导法则

1.有理运算法则

2.复合函数求导法

3.隐函数求导法

设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的可导函数，为求得y'，可在方程F(x,y) = 0两边对x求导，可得到一个含有y'的方程，从中解出y'即可

4.反函数的导数

若y=f(x)在某区间内可导，且f'(x)≠0，则其反函数x= φ(y)在对应区间内也可导,且

5.参数方程求导法

6.对数求导法

如果y=y(x)的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数取对数，然后两边对x求导。

三、高阶导数

1.高阶导数的概念

定义

定义6

注

如果函数f(x)在点x处n阶可导，则在点x的某邻域内f(x)必定具有一切低于n阶的导数

2.常用的高阶导数公式

第四个叫莱布尼茨公式，可以与中学的二项次做对比：(a+b)^n

注

解高阶导数也可以用泰勒公式和幂级数展开，此处不做详细介绍

常考题型与典型例题

一、导数定义

给定某点的导数值或确定在某点函数可导

凑导数形式

条件

取特殊函数

二、复合函数、隐函数、参数方程求导

特别注意二阶导数

三、高阶导数

1.用公式

2.求一阶、二阶导数，归纳一般规律

四、导数应用

1.导数的几何意义

2.相关变化率（数一数二要求、数三不要求）

①将相关两个量的关系建立起来

②等式两边对t求导

第三章 微分中值定理及导数应用

一、微分中值定理

定理

定理1.费马引理

如果函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么

f'(x0)=0

定理2.罗尔定理

若 1）f(x)在[a,b]上连续

2）f(x)在(a,b)上可导

3）f(a) = f(b)

则ョξ∈(a,b)，使f'(ξ)=0

定理3.拉格朗日中值定理

若 1）f(x)在[a,b]上连续

2）f(x)在(a,b)内可导

则ョξ∈(a,b)，使(f(b)-f(a)) / (b-a) = f'(ξ)

推论

如果在(a,b)内恒有f'(x) = 0，则在(a,b)内f(x)为常数

定理4.柯西中值定理

若 1）f(x)，F(x)在[a,b]上连续

2）f(x)，F(x)在(a,b)内可导，且F'(x)≠0

则ョξ∈(a,b)，使(f(b)-f(a)) / (F(b)-F(a)) = f'(ξ) / F'(ξ)

定理5.皮亚诺型余项泰勒公式

定理6.拉格朗日型余项泰勒公式

注

中值定理

中值定理的本质

建立函数与一阶导数的关系

关系

推广：罗→拉→柯

特例：罗←拉←柯

泰勒公式

皮亚诺型——局部泰勒公式

极限

极值

拉格朗日型——整体泰勒公式

最值

不等式

不同点

1）条件不同

1）皮亚诺：x0点n阶可导

2）拉格朗日：含x0的区间（a,b）内n+1阶可导

2）余项不同

1）皮亚诺余项

皮亚诺余项代表用多项式逼近f(x)时的误差

2）拉格朗日余项

本质

1）f(x)——f'n(x)，即建立函数与高阶导函数的关系

2）多项式逼近f(x)

常用的泰勒公式

1.拉格朗日型

2.皮亚诺型

二、导数应用

1.函数的单调性

定理7

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导

（1）若在(a,b)内f'(x) > 0，则f(x)在[a,b]上单调增

（1）若在(a,b)内f'(x) < 0，则f(x)在[a,b]上单调减

2.函数的极值

定义

若ョδ>0，使得

∀x∈U(x0,δ)恒有f(x)≥f(x0),则称f(x)在x0取极小值

∀x∈U(x0,δ)恒有f(x)≤f(x0),则称f(x)在x0取极大值

定理

定理8（可导函数取得极值的必要条件）

若f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则

f'(x0)=0

定理9（极值的第一充分条件）

定理10（极值的第二充分条件）

注

驻点

导数等于0的点

极值点和驻点的关系

驻点不一定是极值点

x^3

极值点也不一定是驻点

|x|

如果f(x)可导，则极值点一定是驻点，但驻点未必是极值点

可能的极值点

f'(x)=0

f'(x)不存在

3.函数的最大值与最小值

定义

设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有定义，x0∈[a,b].

若对于任意x∈[a,b],恒有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值（或最小值），称x0为f(x)在[a,b]上的最大值点（或最小值点）

函数最值得两种问题

（1）求连续函数f(x)在[a,b]上的最值

第一步

求出f(x)在(a,b)内的驻点和不可导的店x1,x2,...xn

第二步

求出函数值f(x1),f(x2),...f(xn),f(a),f(b)

第三步

比较以上各点函数值

注

若连续函数f(x)在(a,b)内仅有唯一极值点，若在这点取得极大值（极小值），则必为最大值（最大值）

（2）最大最小值的应用题

1）建立目标函数并确定其定义域

2）按上述三步求其最大值（或最小值）

4.曲线的凹凸性

定义

定义（凹凸性）

定义（拐点）

连续曲线弧上的凹与凸的分界点称为曲线弧的拐点

定理

定理11

设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，那么

（1)若在（a,b）内有f"(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的

（2)若在（a,b）内有f"(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的

即f"(x)>0为凹，f"(x)<0为凸

定理12（拐点的必要条件）

设y=f(x)在点x0处二阶可导，且点(xo,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，则f"(x0)=0

定理13（拐点的第一充分条件

定理14（拐点的第二充分条件）

5.曲线的渐近线

定义

水平渐近线

垂直渐近线

斜渐近线

函数能否写成y=ax+b+α(x)，α(x)→0，x→+∞

6.函数的作图

步骤

1）定义域

2）y'

3）y''

4）渐近线

利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点及渐近线可以做出函数曲线

7.曲线的弧微分与曲率

1.曲率

2.曲率半径

3.弧微分

4.曲率圆与曲率中心

常考题型与典型例题

1.求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点

极值

1、确定可能的极值点

导数为0的点

导数不存在的点

2、极大值与极小值的判定方法

1、x0去心邻域可导，x0处导数为0或者函数在x0处连续

左负右正为极小值，左正右负为极大值

2、一阶导数存在且为0，二阶导数存在且不为0

二阶导数小于0则为极大值，二阶导数大于0则为极小值

3、画图

注意函数不存在的点

拐点

判定方法

x0的去心邻域处函数二阶可导，二阶导数为0或者函数在x0处连续，左右两侧异号，该点为拐点，同号则不是拐点

三阶导数存在且不等于0，二阶导数等于0，则该点为拐点，不存在则无法判定

画图

2.求渐近线

水平渐近线

x趋向无穷，y趋向一个常数

垂直渐近线

y趋向无穷，x趋向一个常数

斜渐近线

当x趋向无穷，y/x=a（常数），y-ax=b（常数），则有渐近线y=ax+b

函数能否用线性方程+无穷小代替

即函数能否写成y=ax+b+α(x)，α(x)→0，x→+∞

3.方程的根

第一种

连续函数的零点定理

连续

异号

单调性

看导数正负

第二种

罗尔定理

利用原函数+罗尔定理

4.不等式的证明

方法

1.单调性

x∈[a,b],f(x)>g(x),令F(x)=f(x)-g(x),求F(a)和F'(x)

2.拉格朗日中值定理

f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)

3.最大最小值

Fmin≥0

常用不等式

5.中值定理证明题(难点+重点)

1.拉格朗日中值定理

2.罗尔定理

构造辅助函数

3.柯西定理

构造辅助函数

第四章 不定积分

一、不定积分的概念与性质

1.原函数

F'(x)=f(x)

2.不定积分

∫f(x)dx=F(x)+C

3.不定积分的几何意义

∫f(x)dx=F(x)+C在几何上表示一族积分曲线

这族积分曲线对应于横坐标x处的切线都相互平行

4.原函数存在定理

定理1

若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数

函数的变上限积分就是一个原函数

定理2

若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上没有原函数

第二类间断点可能有原函数

5.不定积分的性质

二、不定积分基本公式

三、三种主要积分法

1.第一换元积分法

定理

常见的凑微分形式

2.第二换元积分法

定理

常用的三种变量代换

3.分部积分法

1）分部积分公式

2）分部积分法所适用的函数类

两类不同函数相乘

第一行把多项式以外的函数凑进微分号

第二行把多项式函数凑进微分号

第三行把指数函数或三角函数凑进微分号都可以，但把指数凑进去更简单

pn(x)为x的n次多项式

3）分部积分法中u，v的选取

四、三类常见可积分函数积分

1.有理函数积分

1）一般方法（部分分式法）

2）特殊方法（加项减项拆或凑微分降幂）

2.三角有理式积分

1）一般方法（万能代换）

即设tanx/2 = t

2）特殊方法（三角变形，换元，分部）

3.简单无理函数积分

常考题型与典型例题

求不定积分（换元、分部）

1.对于分段函数，若被积函数是连续函数，则只需原函数连续，可得原函数可导且导数为被积函数。

要点：原函数在分界点连续

第五章 定积分与反常积分

第一节 定积分

一、定积分的概念

1.定积分的定义

注

1）λ→0与n→∞不等价

2.定积分存在的充分条件

1）f(x)在[a,b]上连续

2）f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点

3）f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点

3.定积分的几何意义

1）f(x)≥0

2）f(x)≤0

3）f(x)有正有负

二、定积分的性质

1.不等式性质

2.中值定理

三、积分上限的函数

四、定积分的计算

1.牛顿 — 莱布尼茨公式

2.换元积分法

3.分部积分法

何时用

两类函数相乘

如何用

参见第四章那8类不定积分

4.利用奇偶性和周期性

5.利用已有公式

常考题型与典型例题

一、定积分的概念、性质及几何意义

定积分定义与夹逼原理

第一条，将下限0改为常数a，这个式子也是对的。第二条不行

二、定积分的计算

点火公式/华里士公式

奇偶性的使用

定积分的几何意义的使用

利用已有公式

换元法

三角代换

x-1=sint，然后利用奇偶性，再利用点火公式

或者可以利用几何意义，根号内为圆的公式

累次积分交换次序

二重积分

三、变上限定积分

三种类型

1、套用公式

2、上下限至少一个，被积函数也有

拆分

换元

3、上下限没有，被积函数有

换元，将被积函数内的换到上下限上去

第二节 反常积分

一、无穷区间上的反常积分

二、无界函数的反常积分

常考题型与典型例题

一、反常积分的敛散性

定义

P积分

二、反常积分的计算

换元法

分部积分法

第六章 定积分的应用

一、几何应用

1.平面图形的面积

1.坐标轴

2.极坐标

更高层的思想

给定平面区域D，求面积。对应为1在该域的二重积分

2.旋转体体积

1.绕x轴旋转一周

2.绕y轴旋转一周

更高层的思想

r为点到直线的距离

3.曲线弧长（数三不要求）

坐标轴

参数方程

极坐标

4.旋转体侧面积（数三不要求）

二、物理应用（数学三不要求）

1.压力

2.变力做功

3.引力

第七章 微分方程

一、常微分方程的基本概念

1.微分方程

含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，简称方程

2.微分方程的阶

微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶

3.微分方程的解

满足微分方程的函数，称为该方程的解

4.微分方程的通解

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解

5.微分方程的特解

微分方程的不含任意常数的解，称之为特解

6.初始条件

确定特解的一组常数称之为初始条件

7.积分曲线

方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线

二、一阶微分方程

1.可分离变量的方程

能表示为g(y)dy = f(x)dx的方程，称为可分离变量的方程

求解方法

2.齐次微分方程

求解方法：令u=y/x

3.一阶线性微分方程

求解方法：常数变易法

4.伯努利方程（仅数学一要求）

求解方法

5.全微分方程（仅数学一要求）

求解方法

1）偏积分

2）凑微分

3）线积分

充要条件

三、可降阶的高阶方程（数三不要求）

积分化解

令y'=p,y''=p'，将原方程化为一阶微分方程

四、高阶线性微分方程

1.线性微分方程的解的结构

齐次方程

非齐次方程

定理

定理1

线性无关

两个之比不为常数

定理2

定理3

定理4

2.常系数齐次线性微分方程

3.常系数非齐次线性微分方程

多项式*e^λx

e^αλ * 多项式 * 三角函数

4.欧拉方程（仅数学一要求）

5.差分方程（仅数学三要求）

1.一阶常系数线性齐次差分方程

2.一阶常系数线性非齐次差分方程

常考题型与典型例题

一、微分方程求解

1.x与y对调

2.变量代换

3.变换为齐次方程，y/x

4.可分离变量的方程

5.二阶微分齐次方程的通解公式

6.二阶微分非齐次方程的特解与通解

7.给出特解，求微分方程的常系数数值

8.给出齐次通解，求非齐次的通解/特解

9.对四个定理的应用

二、综合题

1.结合一阶、二阶导数

2.结合洛必达法则

若为二阶导数，洛必达只可用一次。若为二阶连续导数，洛必达可用两次

3.结合导数的极限定义

4.结合变上限定积分

三、应用题

最喜欢出应用题的地方

定积分的应用

微分方程的应用

第八章 多元函数微分学

第一节 多元函数的基本概念

一、多元函数的极限（重极限）

二元函数

z=f(x,y)

二元函数的极限

注

1）（x，y）→（x0，y0）是以“任意方式”

任意方式可理解为以任意条曲线逼近定点

2）保留

1.局部有界性

2.保号性

3.有理运算

4.极限与无穷小的关系

5.夹逼性

此为二元函数所保留的一元函数在极限上的一些性质

二、多元函数的连续性

1.连续的概念

2.连续函数的性质

性质1

多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数

性质2

多元连续函数的复合函数也是连续函数

性质3

多元初等函数在其定义区域内连续

性质4（最大值定理）

有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得最大值与最小值

最大值定理可推出有界性定理

性质5（介值定理）

有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

介值定理可推出零点定理

三、偏导数

1.偏导数的定义

偏导数本质上是一元函数的导数

2.二元函数偏导数的几何意义

3.高阶偏导数

定义

定理1

四、全微分

定义

可微

全微分：dz = AΔx+BΔy，可微：Δz = f(x+Δx,y+Δy) - f(x,y) = AΔx+BΔy+ο(ρ)

用定义判定可微性

可微的充要条件，即定义判定可微

定理

定理2（可微的必要条件）

可微→可导（可偏导）

定理3（可微的充分条件）

偏导数连续→可微

五、连续、可偏导以及可微之间的关系

一元函数与多元函数在连续、可偏导及可微上的区别

常考题型与典型例题

多元函数连续、偏导数、全微分的概念及其之间的关系

偏导数

1.定义

2.先代后求

连续

代入特殊曲线，如y=kx以证明不存在

关系

第二节 多元函数的微分法

一、复合函数的微分法

定理

定理4

全微分形式的不变性

二、隐函数微分法

类型

1）

2）

常考题型与典型例题

一、复合函数偏导数与全微分

求具体点高阶导数

先求导再代入

先代入再求导

二阶及以上，求出一阶后代入，再求二阶（两次求导对象不一样，先x后y或先y后x）

二、隐函数偏导数与全微分

求偏导

1、左右求偏导

2、公式法

3、微分形式

第三节 多元函数的极值与最值

一·、无约束极值

定义

定理

必要条件

偏导+极值点 → 偏导数为0

拓展

偏导数为0的点是驻点

f(x,y)可导

极值点→驻点

驻点 推不出 极值点

可能的极值点

驻点

f'x,f'y至少有一个不存在

充分条件

二阶连续偏导，一阶偏导数为0，根据二阶偏导数判定极值

二、条件极值及拉格朗日乘数法

所求出的点是可能的极值点（注意是可能而非肯定）

三、最大最小值

建立目标函数z=f(x,y)，然后按照1的三步曲求解

常考题型与典型例题

一、求极值（无条件、条件）（主要求无条件，因为条件极值只有必要条件）

二、求连续函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大最小值

三、最大最小值应用题

第九章 二重积分

一、二重积分的概念及性质

1.二重积分的概念

定义

λ为n个小区域Δσ中最大的直径

几何意义

曲顶柱体

2.二重积分的性质

性质1（不等式性质）

性质2（中值定理）

二、二重积分的计算

1.利用直角坐标计算

先y后x

先x后y

2.利用极坐标计算

注——适合用极坐标计算的二重积分的特征

被积函数

积分域

3.利用对称性和奇偶性计算

1）积分域关于y轴对称

2）积分域关于x轴对称

4.利用变量对称性计算

核心是定积分的值与积分变量的记号无关

常考题型与典型例题

一、累次积分交换次序及计算

累次积分

①画域

②重新定限

二、二重积分计算

直角坐标

极坐标

对称性和奇偶性

变量对称性