第三章 一元函数积分概念、计算及应用

第三章 一元函数积分概念、计算及应用

一元函数积分概念、计算及应用

• 一元函数积分
  • 不定积分
    • 形式
    • 不定积分与微分关系
      • 互为逆运算
    • 性质
  • 定积分
    • 形式
    • 几何意义
      • 所围图形的面积和
      • 特点：x轴上方为正；下方为负
    • 可积性
      • 必要条件：f(x)在[a,b]区间上有界
      • 充分条件
        • f(x)在[a,b]区间上连续
        • f(x)在[a,b]区间上有界且只有有限个间断点
        • f(x)在[a,b]区间上单调
    • 基本性质
      • 线性性质
      • 区间可加性
        • 应用于：区间之间的加、减运算
      • 比较定理
        • 多用于证明题
          • 方法一：构建形成减函数
          • 方法二：转化为同区间，不同函数
      • 对称区间积分性质
        • 奇函数
        • 偶函数
        • 周期函数
    • 推论
      • 估值定理
      • 积分中值定理
      • 连续非负函数的积分性质
    • 基本定理
      • 变限积分
        • 变上限
        • 变下限
        • 上下限均变
        • 若积分限里含有x的函数，记得多其求导
      • 原函数存在定理
        • f(x)在【a，b】上有第一类间断点，不存在原函数
    • 牛顿莱布尼兹公式
      • 注意：积分区间以及原函数的意义
    • 求n项和式数列的极限
      • 能够抽象
• 计算（不定积分/定积分）
  • 常规积分表
  • 积分法则
    • 分项积分
      • 应用于简单相加函数
    • 分段积分
      • 针对题目给出的分段函数
      • 由于所求函数导致的分段，须格外注意区间问题
    • 换元积分
      • 凑微分法
        • 常见公式表
      • 第二类换元法
        • 变量替换法
          • 三角替换法
            • 遇到高阶三角函数，先降次
          • 幂函数替换
          • 指数替换
          • 倒换法
            • 分母次数高于分子
    • 分部积分法
      • 基本准则
      • 子主题
  • 几类特殊积分
    • 有理函数积分
    • 无理函数积分
      • 形式
        • 包含根号
      • 解法
        • 常规直接令为t
    • 三角函数有理式积分
      • 解法
        • 最笨的办法
          • 万能公式
  • 特殊技巧类
• 反常积分
  • 类型
    • 无穷区间上的反常积分
    • 无界函数的反常积分
  • 几类常见的反常积分
  • 计算
• 几何应用
  • 面积
    • 直角坐标系
      • 在x轴区间积分
        • 
      • 在y轴区间积分
    • 极坐标
    • 参数方程
  • 弧长与弧微分
    • 直角坐标系
      • 弧微分
      • 弧长
    • 参数方程
      • 形式
      • 弧微分
      • 弧长
    • 极坐标
      • 形式
        • 参数方程形式
      • 弧微分
      • 弧长
  • 曲率与曲率半径
    • 基本公式
      • 曲率
      • 曲率半径
    • 性质
      • 凸函数
        • 凹的一侧位于切线下方
      • 凹函数
        • 凹的一侧位于切线上方
    • 参数方程
      • 
    • 直角坐标方程
  • 空间体积
• 平面曲线的弧长与弧微分
• 罗尔定理