张宇30讲-第6、第7讲：导数证明性应用

与张宇书上总结基本一致，还有所补充。

导数证明性应用

• (一)中值定理
  • 确定区间
    • 在数轴上标出所有可能的点以及对应的函数值，从而确定区间
  • 确定辅助函数
    • 就是所讨论的函数f(x)本身
    • 公式运用(肯定不复杂)
      • 乘积求导公式的逆用
        • • 常考
      • 商的求导公式逆用
    • 题干有提示
  • 确定所用定理
    • 平均值定理
      • 题型
        • 见到多个函数相加f(a)+f(b)+…,就÷其个数
    • 积分中值定理
      • 题型
    • 介值定理
      • 题型
    • 零点定理
      • • 函数导数皆成立
    • 导数零点定理
    • 费马定理
      • • 求最值的问题往往带有不等式
    • 罗尔定理
    • 拉格朗日
      • 形式
      • 题型
        • 题目中有f(x)与f'(x)的关系 或f(a)-f(b)的式子
        • 研究单调性
        • 积分不等式的题中给出f(x)一阶可导且某一端点值较简单（甚至为0）的题目
    • 柯西定理
      • 题型
        • 一般让一个函数抽象一个函数具体
        • 双中值，与拉格朗日中值定理结合
    • 泰勒公式
      • 公式
        • • 考题必然会在函数表达式或展开项式上做手脚，且一般只考到二阶
          • 拉格朗日余项
          • 佩亚诺(Peano)余项
        • 麦克劳林公式
      • 题型
        • 研究凹凸性
        • 积分不等式的题中给出f(x)二阶可导且某一端点值较简单（甚至为0）的题目
  • 确定点的信息
    • 用题中告知的信息
      • 如给出f(a)=0,则构建出f(x)-f(a)用拉式
      • 给出f''(x)>0,应该用泰勒公式处理二阶函数不等式问题
    • 用“连续”和“极限”
      • 连续定义：
      • 导数定义：
      • 保号性（不等式脱帽）
      • 等式两边取极限
    • 用积分
      • 积分中值定理
      • 原函数的定义
        • [F(x)]'=f(x)
      • 等式两边取积分
    • 用零点、介值定理
    • 用费马定理
    • 用奇偶性
      • f(x)为奇函数,则f(0)=0，f(x)为偶函数,则f'(x)=0
    • 用几何条件
      • 存在相等的最大值 f(a)=f(b)=最大值M
        • 若a≠b,则F(a)=f(a)-g(a)>0,F(b)=f(b)-g(b)<0,用介值可知：
    • 用行列式
      • 利用行列式的运算特点从题设行列式中得到点的信息
    • 杂项
      • 双中值
        • 画区间，两次拉式（或者一次拉式一次柯西）
      • 拉格朗日、泰勒变体形式，以及求θ(x)的极限
      • 反解中值，一般以比例形式出现
• (二)不等式问题
  • 建立不等式
    • 常规:作和差
    • 特殊(少见):作积商
  • 解析不等式
    • 用单调性
    • 用最值
    • 用凹凸性
      • • 推广：
    • 用中值定理
• （三）等式(方程的根、零点交点)
  • 证恒等式
    • 求导f'(x)恒=0
  • 根的个数
    • 至少1个
    • 至多1个（只有一个）
      • 单调性
    • 至多k+n个
      • 罗尔原话：
  • 方程列
  • 区间列