高数第十六讲：无穷级数

高等数学第十六讲无穷级数思维导图笔记整理。

无穷级数

• 数项级数的判敛（4分）
  • 前n项和与级数收敛
    • 前n项和极限存在则级数收敛
    • 级数收敛则通项极限趋于0（反之不成立）
  • 判敛法
    • 正项级数
      • 子级数收敛=部分和数列有界
      • 比较判别法
      • 比较判别法的极限形式
      • 比值判别法
      • 根式判别法
    • 交错级数
      • 莱布尼茨判别法
        • 通项趋于0
        • 数列单调不增
    • 任意项级数
      • 绝对收敛
      • 条件收敛
  • 常用结论（16个）
• 幂级数的收敛域（4分）
  • 概念
    • 幂级数
    • 收敛点和发散点
    • 收敛域
  • 具体型问题
    • 三步法
  • 抽象型问题
    • 阿贝尔定理
    • 结论1
    • 结论2
• 展开问题（10分）
  • 考法
    • 函数展开
    • 积分展开
    • 导数展开
    • 无穷小比阶
  • 工具
    • 先积后导
    • 先导后积
    • 重要展开公式
• 傅里叶级数
  • 狄利克雷收敛定理（4分）
  • 周期为2l的周期函数的傅里叶级数与系数公式（10分）
• 求和问题（10分）（必考点）
  • 直接套公式
  • 用先积后导或先导后积求和函数
  • 用所给微分方程求和函数（简单题）
  • 建立微分方程求和函数（有难度）
  • 综合题（求和前扣个帽子）
    • 导数（斜率）
    • 积分（面积）
    • 方程或数列极限（预测）