导图社区线性代数

线性代数

考研线性代数相关知识点，根据李永乐课程总结而成

提示: 本内容由社区用户上传并分享。平台不对内容的真实性、合法性、知识产权归属及是否侵害第三方权利进行事前审核或保证。本内容可能包含受版权保护的图片、字体或其他第三方素材，使用前请自行确认授权范围。

编辑于2020-08-16 16:05:19

Jason

他的近期作品集查看更多>>

他的近期作品查看更多>>

Web开发实践
用于Web学习者和开发者使用，为Web前端开发的新手和有经验的开发者提供了一个清晰、全面的资源，帮助他们了解Web开发的核心技能和实践。感兴趣的小伙伴可以收藏一下~
大数据技术基础
随着TT的飞速发展，“大智物移云的时代已经来临。”大智物移云“分别指的是大数据、人工智能、物联网、移动互联、云计算技术。现在是一个计算无处不在、软件定义一切、网络包容万物、连接随处可及、宽带永无止境、智慧点亮未来时代。云技术是指实现云计算的一些技术，包括虚拟化、分布式计算、并行计算等；云计算除了技术之外更多的指一种新的IT服务模式，可以说目前提到较多的云计算30%是指技术，70%是指模式。大数据基础相关知识点，用于帮助同学们复习相关知识点。
面向对象程序设计Java
Java面向对象编程思维导图，主要是用于期末复习自学作参考，导图精简且有助于知识点的理解与记忆。

线性代数

社区模板帮助中心，点此进入>>

Jason

他的近期作品集查看更多>>

他的近期作品查看更多>>

相似推荐
大纲

线性代数

题型

选择题 2

填空 1

解答 1

行列式

行列式概念

数～不同行不同列元素乘积的代数和

二阶，三阶行列式

主对角线 - 负对角线

排序，逆序，逆序数

由 1 , 2 , .........n 组成的有序数组称为一个 n 阶排序，通常用 j1 ， j2 , .........jn 表示 n 阶排序列

一个排序中，如果一个大的数排在一个小的数的前面，就称这两个数构成了逆序

一个排列的逆序的总数称为这个排序的逆序数用 t ( j1 ， j2........ , jn ) 表示排列 j1 , j2.......jn 的逆序数

如果一个排序的逆序数是偶数，则称这个排序是偶排列，否则称为奇排列

逆排列为偶数时为正号，逆排序为奇数时为负号

主对角线减去负对角线可用用于计算三阶行列式

n 阶行列式定义

不同行不同列的几个元素的乘积的代数和，当 j1 , j2.....jn 是偶排序时，该项前面带正号；当 j1 , j2.......jn 是奇排列时，该项前面带负号

行列式的性质

经转置行列式值不变

行性质与列性质对等

某行有公因数 k 可以把 k 提出，特别的某行元素全为 0 ，则 D=0

两行互换行列式的值变号，特别的两行相同或者两行成比例 D ＝ 0

某行所有元素都是两个数的和，则可把行列式写成两个行列式之和

某行的 k 倍加到另一行，行列式的值不变（加出 0 或公因数）

注意事项

不要与矩阵初等变换相混

例如增广矩阵两行互换位置不变号增广矩阵某行乘以不得 0 的 k ，值不变

不要与矩阵运算相混

解题技巧

奇数阶的反对称矩阵行列式值等于 0

展开公式

某一行的所有元素与另一行相应的元素余子式乘积之和等于0

行列式按行按列展开公式

余子式

aij的余子式Mij，即去掉第i行，第j列后的式子

代数余子式

Aij=(-1)^(i+j)Mij

其值与aij的数值大小无关与其位置有关

某一行的所有元素与另一行相应的元素代数余子式乘积之和等于0

重要公式

主对角线上下半三角行列式的值等于对角线上的数的乘积

负主对角线上下半三角行列式的值等于对角线上的数的乘积

拉普拉斯公式，有一条对角线上的一端等于0，则不需要考虑这一条对角线，只需用另一条对角线上的数相乘就行

范德蒙公式（第一行全是1，后面每一行与其后面的行成平方的关系）

特殊行列式

爪型行列式（关于对角线对称）

第一行的-1倍分别加到其它各行

解题方式

升阶

行列式的还是保持不变

加边

所求行列式是加边后行列式的一部分

克莱默公式

如果系数行列式D=|A|不等于0,则方程组有唯一解，且x1=D1/D,x2=D2/D.....xn=Dn/D

推论一

若齐次方程组的系数行列式不为0,则方程组只有一组零解

推论二

若齐次方程组有非零解，则方程系数行列式必为0

矩阵

基础，易混淆

概念，运算

mxn个数排成如下m行n列的一个表格成为一个mxn矩阵，当m=n时，称为n阶矩阵或n阶方阵，简称A，如果一个矩阵所有元素都是0，称这个矩阵为零矩阵，简称0。如A和B都是mxn矩阵，称A和B是同型矩阵。设A和B都是mxn矩阵，如aij=bij(任意i=1,2,.....m,j=1,2...n)称A和B相等，记A=B。

mxn矩阵

n阶矩阵或n阶方阵

零矩阵

同型矩阵

矩阵相等

设A=[aij]为n阶矩阵，其所有元素构成的行列式称为方阵A的行列式，记为|A|

注意

仅方阵才有行列式，记为|A|

A=0与|A|=0不要混

矩阵的加法

A=[aij] B=[bij]均为mn矩阵

A+B=[aij+bij]

数与矩阵相乘

数k与矩阵相乘

kA=[kaij]

运算法则

加法

A,B,C同型

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C

A+O=0+A+A

数乘

k(mA)=m(kA)=（mk)A

(k+m)A=kA+mA

k(A+B)=kA+kB

1A=A 0A=0

乘法

A- mxs, B-sxn AB=C-mxn

ai1b1j+ai2b2j+......+aisbsj=cij

注意小心

1.AB不等于BA

2.由AB=0不能推出A=0或B=0

3由AB=AC，且A不等于0不能推出B=C

单位矩阵E

运行法则

（AB)C=A(BC)=ABC

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

AE=A EA=A

A n阶

AA=A^2 A....A=A^k

转置

设A=[aij]mxn,将A的行列互换得到nxm的矩阵 [aji]nxm称为A的转置矩阵，记为AT

a,b-n维列向量

列向量乘以一个行向量得到一个矩阵

任意两行成比例

矩阵行列式等于0

行向量乘以一个列向量得到一个数

主对角线上的数之和叫做迹

秩为1的矩阵它的三个特征向量

矩阵的迹

另外两个都等于0

定理（行列式乘法公式）

设A,B都是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|

伴随矩阵，可逆矩阵

伴随矩阵

A-n阶矩阵，行列式|A|所有的代数余子式Aij所构成的如下矩阵A*称为矩阵A的伴随矩阵

定理

AA*=A*A=|A|E

AA*/|A|=A*A/|A|=E

a在第一行，A在第二行代数余子式乘积之和等于0

A-1=A*/|A|

二阶伴随矩阵计算

主对角线互换，副对角线变号

伴随矩阵公式

|A*|=|A|^(n-1)

|A||A*|=||A|E||

|A||A*|=|A|^(n)|E|=|A|^n

(A*)*=|A|^(n-2)A

(A*)-1=(A^(-1))*=A/|A|

伴随矩阵的秩r(A*)=

r(A)=n

r(A)=n-1

r(A)<n-1

可逆矩阵

定义

对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵

如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的，记作A^(-1)

定理

A可逆的充分必要条件是|A|不等于0

A,B是n阶矩阵，如AB=E，则A的逆矩阵为B

逆矩阵公式法则

如A可逆，则A^(-1)也可逆，且（A^(-1))^(-1)=A

如A可逆且K不等于0，则kA可逆且(kA)^(-1)=A^(-1)/k

如A，B均可逆，则AB也可逆，且（AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)

特别的(A^2)^(-1)=(A^(-1))^2,(A^n)^(-1)=(A^(-1))^n

如果（A^T)^(-1)=(A^(-1))^T (AA^(-1))^T=E^T (A^(-1))^(T))A^T=E (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T

注意

如A可逆，则|A^(-1)|=1/|A| |AA^(-1)|=|E| |A||A^(-1)=1

当A,B，A+B都可逆时，一般（A+B)^(-1)不等于A^(-1)+B^(-1)

无公式（干单位矩阵，把单位矩阵变形）

求逆

定义法

AB=E

用伴随

A^(-1)=1A*/|A|

一般用于二阶，三阶

初等行变换

（A|E)--由上往下----由下往上----(E|A^(-1))

分块

正对角线

矩阵对角线都加上逆

副对角线

副对角线交换然后加上逆

对角矩阵

两个正对角线上的对角矩阵相乘等于两个对角矩阵相应的数相乘

注意

n1n2=n2n1

对角矩阵的n次方等于将n次方直接应用于矩阵里面的数

对角矩阵的逆等于对角矩阵上的数的倒数

初等变换，初等矩阵

初等变换

矩阵的初等行（列）变换

用非0常数k乘A某行（列）的每个元素

倍乘

互换A中的A的两行（列）元素的位置

互换

把A中某行（列）中所有元素的K倍加到另一行（列）对应的元素上

倍加

初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

初等矩阵P左乘矩阵A，其乘积PA就是矩阵A做一次与P同样的行变换

左----行变换

右----列变换

三种变换形式初等矩阵对应逆矩阵

累加变换的初等矩阵的逆矩阵是他累加后那个值的相反数

互换初等矩阵的逆矩阵就是他自己

倍乘变换后的初等矩阵等于其倍乘后的那个数的倒数

初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵

注意

两处初等变换后的矩阵等于两个初等矩阵的乘积

PA=B

A--行变换--B

pt....p2p1A=B

Pt....p2p1E=P 记p(可逆)=pt.....p2p1（初等）

A--》B 同时E--》P

（A,E)-->(B,P)

A可逆的充分必要条件是A可表示为若干初等矩阵的乘积

行阶梯矩阵

如果有零行在矩阵的底部

每个非零行的主元（即该行最左边第一个非0元）所在列下面元素都是0

行最简

一个行阶梯矩阵

非零行的主元都是1，且主元所在列的其他元素都是0

分块矩阵

分块矩阵的应用

求逆矩阵

n次方

分块矩阵的运算

加法

乘法

转置

求对角矩阵的逆，n次方等

正对角矩阵的逆等于对角线上的矩阵分别的逆

副对角线矩阵的逆等于对角线上的矩阵交换后的逆

方阵的行列式

|AT|=|A|

|KA|=K^n|A|

|AB|=|A||B|

|A^2|=|A||A|

|A*|=|A|^(n-1)

|A^(-1)|=1/|A|

拉普拉斯公式

向量（难点）

概念，运算

n个数a1,a2,....an构成的有序数组称为n维向量

列向量

行向量

ai称为向量的第i个分量（i=1,2.......n)

如果向量的所有分量都是0，称其为零向量，记作O=（0，0..............0)T

a=b等价于a和b分别对应的分向量都相同

a+b=(a1+b1,a2+b2,..........an+bn)^T

ka=(ka1,ka2,......kan)^T

0a=(0,0,.....0)^T=0

-a=(-a1,-a2,......-an)^T

加法与数乘满足

a+b=b+a

(a+b)+a=a+(b+a)

a+0=a

a+(-a)=0

1a=a

k(la)=(kl)a

k(a+b)=ka+kb

(k+l)a=ka+la

线性表示

线性表示（出）（组合）

定义

m个n维向量a1,a2,....am及m个实数k1,k2,....kn称k1a1+k2a2+....kmam是向量a1,a2,.....an的一个线性组合,k1,k2....km称为这个线性组合的系数

如果向量b能表示a1,a2,....am线性组合，即存在一组数k1,k2,....km使b=k1a1+k2b2+........kmam，则称向量b可以由a1,a2....am线性表示（出）

定理

向量b可以由a1,a2,...am线性表示等价ka1+ka2+...kmam=b---->有解等价于该向量组的秩等于其增广矩阵的秩

定义

矩阵等价

A初等变换后可以变成B

向量组等价

设向量组[Ⅰ]a1,a2,....a5[Ⅱ]b1,b2....bt若[Ⅰ]中每个向量ai(i=1,2...5)均可由[Ⅱ]线性表示若向量组[Ⅰ]和[Ⅱ]可以互相线性表示，则称向量组[Ⅰ]和[Ⅱ]等价