线性代数

考研线性代数相关知识点，根据李永乐课程总结而成

线性代数

• 题型
  • 选择题 2
  • 填空 1
  • 解答 1
• 行列式
  • 行列式概念
    • 数～ 不同行不同列元素乘积的代数和
    • 二阶，三阶行列式
      • 主对角线 - 负对角线
    • 排序，逆序，逆序数
      • 由 1 , 2 , .........n 组成的有序数组称为一个 n 阶排序，通常用 j1 ， j2 , .........jn 表示 n 阶排序列
      • 一个排序中，如果一个大的数排在一个小的数的前面，就称这两个数构成了逆序
      • 一个排列的逆序的总数称为这个排序的逆序数 用 t ( j1 ， j2........ , jn ) 表示排列 j1 , j2.......jn 的逆序数
      • 如果一个排序的逆序数是偶数，则称这个排序是偶排列，否则称为奇排列
        • 逆排列为偶数时为正号，逆排序为奇数时为负号
      • 主对角线减去负对角线可用用于计算三阶行列式
    • n 阶行列式定义
      • 不同行不同列的几个元素的乘积的代数和，当 j1 , j2.....jn 是偶排序时，该项前面带正号；当 j1 , j2.......jn 是奇排列时，该项前面带负号
  • 行列式的性质
    • 经转置行列式值不变
      • 行性质与列性质对等
    • 某行有公因数 k 可以把 k 提出，特别的某行元素全为 0 ，则 D=0
    • 两行互换行列式的值变号，特别的两行相同或者两行成比例 D ＝ 0
    • 某行所有元素都是两个数的和，则可把行列式写成两个行列式之和
    • 某行的 k 倍加到另一行，行列式的值不变（加出 0 或公因数）
    • 注意事项
      • 不要与矩阵初等变换相混
        • 例如 增广矩阵两行互换位置不变号增广矩阵 某行乘以不得 0 的 k ，值不变
      • 不要与矩阵运算相混
    • 解题技巧
      • 奇数阶的反对称矩阵行列式值等于 0
  • 展开公式
    • 某一行的所有元素与另一行相应的元素余子式乘积之和等于0
    • 行列式按行按列展开公式
      • 余子式
        • aij的余子式Mij，即去掉第i行，第j列后的式子
      • 代数余子式
        • Aij=(-1)^(i+j)Mij
          • 其值与aij的数值大小无关与其位置有关
    • 某一行的所有元素与另一行相应的元素代数余子式乘积之和等于0
    • 重要公式
      • 主对角线上下半三角行列式的值等于对角线上的数的乘积
      • 负主对角线上下半三角行列式的值等于对角线上的数的乘积
      • 拉普拉斯公式，有一条对角线上的一端等于0，则不需要考虑这一条对角线，只需用另一条对角线上的数相乘就行
      • 范德蒙公式（第一行全是1，后面每一行与其后面的行成平方的关系）
      • 特殊行列式
        • 爪型行列式（关于对角线对称）
          • 第一行的-1倍分别加到其它各行
    • 解题方式
      • 升阶
        • 行列式的还是保持不变
      • 加边
        • 所求行列式是加边后行列式的一部分
  • 克莱默公式
    • 如果系数行列式D=|A|不等于0,则方程组有唯一解，且x1=D1/D,x2=D2/D.....xn=Dn/D
    • 推论一
      • 若齐次方程组的系数行列式不为0,则方程组只有一组零解
    • 推论二
      • 若齐次方程组有非零解，则方程系数行列式必为0
• 矩阵
  • 基础，易混淆
  • 概念，运算
    • mxn个数排成如下m行n列的一个表格成为一个mxn矩阵，当m=n时，称为n阶矩阵或n阶方阵，简称A，如果一个矩阵所有元素都是0，称这个矩阵为零矩阵，简称0。如A和B都是mxn矩阵，称A和B是同型矩阵。设A和B都是mxn矩阵，如aij=bij(任意i=1,2,.....m,j=1,2...n)称A和B相等，记A=B。
      • mxn矩阵
      • n阶矩阵或n阶方阵
      • 零矩阵
      • 同型矩阵
      • 矩阵相等
    • 设A=[aij]为n阶矩阵，其所有元素构成的行列式称为方阵A的行列式，记为|A|
      • 注意
        • 仅方阵才有行列式，记为|A|
        • A=0与|A|=0不要混
    • 矩阵的加法
      • A=[aij] B=[bij]均为mn矩阵
        • A+B=[aij+bij]
    • 数与矩阵相乘
      • 数k与矩阵相乘
        • kA=[kaij]
    • 运算法则
      • 加法
        • A,B,C同型
          • A+B=B+A
          • (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C
          • A+O=0+A+A
      • 数乘
        • k(mA)=m(kA)=（mk)A
        • (k+m)A=kA+mA
        • k(A+B)=kA+kB
        • 1A=A 0A=0
      • 乘法
        • A- mxs, B-sxn AB=C-mxn
          • ai1b1j+ai2b2j+......+aisbsj=cij
      • 注意小心
        • 1.AB不等于BA
        • 2.由AB=0不能推出A=0或B=0
        • 3由AB=AC，且A不等于0不能推出B=C
      • 单位矩阵E
      • 运行法则
        • （AB)C=A(BC)=ABC
        • A(B+C)=AB+AC
        • (A+B)C=AC+BC
        • AE=A EA=A
        • A n阶
          • AA=A^2 A....A=A^k
      • 转置
        • 设A=[aij]mxn,将A的行列互换得到nxm的矩阵 [aji]nxm称为A的转置矩阵，记为AT
      • a,b-n维列向量
        • 列向量乘以一个行向量得到一个矩阵
          • 任意两行成比例
          • 矩阵行列式等于0
        • 行向量乘以一个列向量得到一个数
        • 主对角线上的数之和叫做迹
        • 秩为1的矩阵它的三个特征向量
          • 矩阵的迹
          • 另外两个都等于0
    • 定理（行列式乘法公式）
      • 设A,B都是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|
  • 伴随矩阵，可逆矩阵
    • 伴随矩阵
      • A-n阶矩阵，行列式|A|所有的代数余子式Aij所构成的如下矩阵A*称为矩阵A的伴随矩阵
      • 定理
        • AA*=A*A=|A|E
          • AA*/|A|=A*A/|A|=E
          • a在第一行，A在第二行代数余子式乘积之和等于0
          • A-1=A*/|A|
      • 二阶伴随矩阵计算
        • 主对角线互换，副对角线变号
      • 伴随矩阵公式
        • |A*|=|A|^(n-1)
        • |A||A*|=||A|E||
        • |A||A*|=|A|^(n)|E|=|A|^n
        • (A*)*=|A|^(n-2)A
        • (A*)-1=(A^(-1))*=A/|A|
      • 伴随矩阵的秩r(A*)=
        • n
          • r(A)=n
        • 1
          • r(A)=n-1
        • 0
          • r(A)<n-1
    • 可逆矩阵
      • 定义
        • 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵
        • 如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的，记作A^(-1)
      • 定理
        • A可逆的充分必要条件是|A|不等于0
        • A,B是n阶矩阵，如AB=E，则A的逆矩阵为B
      • 逆矩阵公式法则
        • 如A可逆，则A^(-1)也可逆，且（A^(-1))^(-1)=A
        • 如A可逆且K不等于0，则kA可逆且(kA)^(-1)=A^(-1)/k
        • 如A，B均可逆，则AB也可逆，且（AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)
          • 特别的(A^2)^(-1)=(A^(-1))^2,(A^n)^(-1)=(A^(-1))^n
        • 如果（A^T)^(-1)=(A^(-1))^T (AA^(-1))^T=E^T (A^(-1))^(T))A^T=E (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T
        • 注意
          • 如A可逆，则|A^(-1)|=1/|A| |AA^(-1)|=|E| |A||A^(-1)=1
          • 当A,B，A+B都可逆时，一般（A+B)^(-1)不等于A^(-1)+B^(-1)
            • 无公式（干单位矩阵，把单位矩阵变形）
      • 求逆
        • 定义法
          • AB=E
        • 用伴随
          • A^(-1)=1A*/|A|
            • 一般用于二阶，三阶
        • 初等行变换
          • （A|E)--由上往下----由下往上----(E|A^(-1))
        • 分块
          • 正对角线
            • 矩阵对角线都加上逆
          • 副对角线
            • 副对角线交换然后加上逆
        • 对角矩阵
          • 两个正对角线上的对角矩阵相乘等于两个对角矩阵相应的数相乘
          • 注意
            • n1n2=n2n1
            • 对角矩阵的n次方等于将n次方直接应用于矩阵里面的数
            • 对角矩阵的逆等于对角矩阵上的数的倒数
  • 初等变换，初等矩阵
    • 初等变换
      • 矩阵的初等行（列）变换
        • 用非0常数k乘A某行（列）的每个元素
          • 倍乘
        • 互换A中的A的两行（列）元素的位置
          • 互换
        • 把A中某行（列）中所有元素的K倍加到另一行（列）对应的元素上
          • 倍加
    • 初等矩阵
      • 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
      • 初等矩阵P左乘矩阵A，其乘积PA就是矩阵A做一次与P同样的行变换
        • 左----行变换
        • 右----列变换
        • 三种变换形式初等矩阵对应逆矩阵
          • 累加变换的初等矩阵的逆矩阵是他累加后那个值的相反数
          • 互换初等矩阵的逆矩阵就是他自己
          • 倍乘变换后的初等矩阵等于其倍乘后的那个数的倒数
      • 初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵
      • 注意
        • 两处初等变换后的矩阵等于两个初等矩阵的乘积
      • PA=B
        • A--行变换--B
        • pt....p2p1A=B
        • Pt....p2p1E=P 记p(可逆)=pt.....p2p1（初等）
        • A--》B 同时E--》P
          • （A,E)-->(B,P)
      • A可逆的充分必要条件是A可表示为若干初等矩阵的乘积
    • 行阶梯矩阵
      • 如果有零行在矩阵的底部
      • 每个非零行的主元（即该行最左边第一个非0元）所在列下面元素都是0
      • 行最简
        • 一个行阶梯矩阵
        • 非零行的主元都是1，且主元所在列的其他元素都是0
  • 分块矩阵
    • 分块矩阵的应用
      • 求逆矩阵
      • n次方
    • 分块矩阵的运算
      • 加法
      • 乘法
      • 转置
      • 求对角矩阵的逆，n次方等
        • 正对角矩阵的逆等于对角线上的矩阵分别的逆
        • 副对角线矩阵的逆等于对角线上的矩阵交换后的逆
  • 方阵的行列式
    • 方阵的行列式
      • |AT|=|A|
      • |KA|=K^n|A|
      • |AB|=|A||B|
      • |A^2|=|A||A|
      • |A*|=|A|^(n-1)
      • |A^(-1)|=1/|A|
      • 拉普拉斯公式
• 向量（难点）
  • 概念，运算
    • n个数a1,a2,....an构成的有序数组称为n维向量
      • 列向量
      • 行向量
      • ai称为向量的第i个分量（i=1,2.......n)
      • 如果向量的所有分量都是0，称其为零向量，记作O=（0，0..............0)T
      • a=b等价于a和b分别对应的分向量都相同
      • a+b=(a1+b1,a2+b2,..........an+bn)^T
      • ka=(ka1,ka2,......kan)^T
      • 0a=(0,0,.....0)^T=0
      • -a=(-a1,-a2,......-an)^T
      • 加法与数乘满足
        • a+b=b+a
        • (a+b)+a=a+(b+a)
        • a+0=a
        • a+(-a)=0
        • 1a=a
        • k(la)=(kl)a
        • k(a+b)=ka+kb
        • (k+l)a=ka+la
  • 线性表示
    • 线性表示（出）（组合）
      • 定义
        • m个n维向量a1,a2,....am及m个实数k1,k2,....kn称k1a1+k2a2+....kmam是向量a1,a2,.....an的一个线性组合,k1,k2....km称为这个线性组合的系数
        • 如果向量b能表示a1,a2,....am线性组合，即存在一组数k1,k2,....km使b=k1a1+k2b2+........kmam，则称向量b可以由a1,a2....am线性表示（出）
      • 定理
        • 向量b可以由a1,a2,...am线性表示等价ka1+ka2+...kmam=b---->有解等价于该向量组的秩等于其增广矩阵的秩
      • 定义
        • 矩阵等价
          • A初等变换后可以变成B
        • 向量组等价
          • 设向量组[Ⅰ]a1,a2,....a5[Ⅱ]b1,b2....bt若[Ⅰ]中每个向量ai(i=1,2...5)均可由[Ⅱ]线性表示若向量组[Ⅰ]和[Ⅱ]可以互相线性表示，则称向量组[Ⅰ]和[Ⅱ]等价
  • 相关，无关
    • 线性相关
      • 定义
        • 对m个n维向量a1,a2....am,若存在不全为0的实数k1,k2....km使k1a1+k2a2+......kmam=0成立，则称向量组a1,a2....am线性相关，否则称其为线性无关
          • 任意两个向量成比例，或者线性相关，就线性相关
      • 定理
        • n维向量a1,a2....am线性相关等价于存在不全为0的k1,k2,...km使ka1+k2a2+....kmam=0等价于存在不全为0的k1,k2,...km使[a1,a2,.....am][x1,x2......xm]^T=0等价于[a1,a2,.....am][x1,x2,...xm]^T=0有非0解等价于r(a1,a2,...am)<m
      • 推论
        • n维向量a1,a2,....am相关等价于|a1,a2,...am|=0
        • 齐次方程组方程少未知数多必有非零解
        • 如a1,a2,....as线性相关，则a1,a2....as...at必线性相关
        • a1=[a11,a21,a31]^T a2=[a12,a22,a32]^T a3=[a13,a23,a33]^T无关，则b1=[a11,a21,a31,a41,a51]^T,b2=[b12,b22,b32,b42,b52]^T,b3=[b13,b23,b33,b43,b53]^T必无关
          • 低维向量线性无关，高维向量也线性无关
          • 高维向量线性无关变成低维向量后可能变成线性相关，也可能变成线性无关
      • 定理3
        • 向量组a1,a2....as(a>=2)线性相关等价于至少有一个向量ai可由其余向量a1....a(i-1) a(i+1)...as线性表示
      • 定理4
        • 如n维向量a1,a2,...as线性相关，而，a1,a2....as,b线性相关，则b必能由a1,a2,....as线性表示且表示法唯一
  • 秩（向量组，矩阵）
  • 向量空间
• 方程组（重点）
• 特征值（重点）
• 二次型（重点 与特征值有关）