概率论与数理统计-第4章-随机变量的数字特征

该资料为材料专业学生复习使用。

随机变量的数字特征

• 表示随机变量某种特征的数字 是随机变量局部但重要的特征
• 数学期望
  • 反映随机变量取值的平均水平
  • 离散型
    • E(x)=∑xi×Pi
    • 泊松分布
      • 即λ
    • 二项分布
      • X~B(n,p) E(x)=np
  • 连续型
    • 均匀分布
    • 正态分布
      • E(x)=μ
    • 指数分布
  • 随机变量函数
    • 单随机变量函数
      • 离散型
      • 连续型
        • f(x)表示x的概率密度
    • 多随机变量函数
      • 离散型
      • 连续型
  • 性质
• 方差
  • 度量随机变量取值与数学期望的的离散程度 开方得到均方差（标准差）
  • 计算
    • 方差相当于是随机变量X的函数
    • 简化计算
    • 应用
      • 二项分布
        • 二项分布由0-1分布+方差性质推导得到
      • 泊松分布
        • D(x)=λ
      • 均匀分布
      • 指数分布
      • 正态分布
        • D(x)=σ² 由标准正态分布+方差性质推导得到
  • 性质
    • 若随机变量X,Y独立，则有D(Ax+By)=A²D(x)+B²D(y)中间必须为加号，若为减号，则收进系数内
  • 契比雪夫不等式
    • 3σ原则
• 协方差
  • 定义及常用公式
  • 意义
    • 反映两个随机变量之间线性相关程度的数字特征，具有量纲 不相关表示没有线性关系，但是其他关系不清楚
  • 性质
• 相关系数
  • 定义
    • 标准化随机变量
  • 性质
  • 意义
    • 与协方差的关系
      • 都是表示两个随机变量之间线性相关程度的数字特征 协方差有量纲，相关系数没有量纲
  • 不相关与独立性
    • 一般情况
      • 独立是指没有任何关系，不相关是指线性不相关
    • 特殊情况
      • 二维正态分布中，ρ=0，则X,Y相互独立所以存在等价状况
• 矩、协方差矩阵与多维正态分布的性质
  • 矩
    • 单随机变量
    • 多随机变量
    • 内容
      • 原点矩
      • 中心矩
  • 协方差矩阵
  • 多维正态分布的性质
    • 性质1-复合性
    • 性质2-充要条件
    • 性质3-充要条件衍生
    • 性质4-独立与相关