第3章 点、直线、平面的投影

第3章 点、直线、平面的投影的思维导图，如直线的投影的一般情况下，直线的投影仍为直线，空间位置由直线上任意两点决定，一起来看更多知识吧。

第3章 点、直线、平面的投影

• 点的投影
  • 点在三投影面体系中的投影
    • 符号规定
      • 空间点：用大写字母表示，如A、B、C等
      • 水平投影：用同名的小写字母表示，如a、b、c等
      • 正面投影：用相应的小写字母右上角加一撇表示，如a'、b'、c'等
      • 侧面投影：用相应的小写字母右上角两撇表示，如a"、b"、c"等
    • 点的投影特性
      • 点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴，即aa'⊥OX
      • 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a'a"⊥OZ
      • 点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aaₓ=a"az
    • 点的坐标与投影的关系
      • 作投影图
      • 作直观图
  • 特殊位置点的投影
    • 三个坐标值中有一个坐标值为零时，该点必在投影面上
    • 三个坐标值有两个坐标为零时，该点定在坐标值不为零的那条投影轴上
  • 两点的相对位置和重影点
    • 空间两点的相对位置
      • 指空间两点的左右、前后和上下位置关系，可以用坐标的大小来判断
      • 规定X坐标大者为左，反之为右；Y坐标大者为前，反之为后；Z坐标大者为上，反之为下
    • 重影点
      • 需判别可见性
      • 区分应是前遮后、上遮下、左遮右，被遮挡的点要在同面投影符号旁边加圆括号，以区别其可见性
• 直线的投影
  • 概述
    • 一般情况下，直线的投影仍为直线，空间位置由直线上任意两点决定
  • 直线的空间位置
    • 一般位置直线
      • 对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线
      • 投影特性
        • 三个投影都倾斜于投影轴，且小于实长
        • 三个投影与相应投影轴的夹角均不反应对各投影面的倾角
    • 特殊位置直线
      • 投影面的平行线
        • 一面平行，两面倾斜
        • 投影特性
          • 在所平行的投影面上的投影是倾斜的且反映实长
          • 投影与两投影轴的夹角反映直线对另外两个投影面的真实倾角
          • 另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长度小于实长
      • 投影面的垂直线
        • 一面垂直，两面平行
        • 投影特性
          • 在所垂直的投影面上的投影积聚为一点
          • 另外两个投影面上的投影的分别垂直于相应的投影轴，并反映线段实长
  • 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角
    • 据前所知，一般位置线段在各投影面上的投影均不反应实长，也不反应对投影面的倾角
    • 直角三角形法
  • 点与直线、直线与直线的相对位置关系
    • 点与直线 直线上的点分割线段成定比其投影后不变
    • 直线与直线
      • 平行两直线
        • 空间两直线平行，则它们的同面投影必然相互平行，反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则两直线在空间也一定互相平行
      • 相交两直线
        • 两直线相交时，它们在各个投影面上的同面投影也必然相交，并且交点符合点的投影规律
      • 交叉两直线
        • 在空间既不平行也不相交的两直线，交叉直线的投影不具备平行或相交直线的投影特性,在空间不相交，其同面投影可能相交
  • 直角投影定理
    • 空间两直线垂直相交，如果其中一条直线平行于某一投影面，则此两条直线在投影面上的投影互相垂直；反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中一条是该投影的平行线，则两直线在空间互相垂直
• 平面的投影
  • 平面的投影表示法
    • 不在同一直线上的三个点
    • 一直线和直线外一点
    • 两相交直线
    • 两平行直线
    • 任意平面图形，如三角形，平行四边形等
  • 各种位置平面的投影特性
    • 一般位置平面
      • 与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实形，而是小于原平面的类似形
    • 投影面垂直面
      • 垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面
      • 平面在另两个投影面上的投影均小于原平面的类似形
    • 投影面平行面
      • 是平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面
      • 投影特性
        • 平面在所平行的投影面上的投影反映实形
        • 平面在另两个投影面上的投影均积聚为一条直线，且平行于相应的投影轴
  • 平面上的点和直线
    • 点和直线在平面上的几何投影条件
      • 若某点位于平面内的一条已知直线上，则此点必定在该平面上
      • 一直线通过平面上的两已知点，则此直线必在该平面上
      • 一直线过平面上的一已知点且与平面上一已知点平行，则此直线必在该平面上
  • 直线与平面、平面与平面的相对位置
    • 直线与平面平行
      • 若一直线与某平面内的任一直线平行，那么此直线与该平面平行，反之亦然
    • 平面与平面平行
      • 若一平面内两相交直线与另一平面内的相交直线对应平行，则此两个平面互相平行
    • 直线与平面相交
      • 一般位置直线与特殊位置平面相交
      • 一般位置平面与投影面的垂直线相交
    • 平面与平面相交
    • 直线与平面垂直
      • 如果一条直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。反之，如果一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。
      • 若一平面为投影面的垂直面，则与这个平面垂直的直线一定是该投影面的平行线
    • 平面与平面垂直
      • 如果一条直线垂直于一个平面，则过此直线的所有平面都垂直于该平面
      • 若两空间平面垂直相交且两平面都垂直于某一个投影面时，两平面的积聚性投影一定互相垂直，且交线为该投影面的垂直线