数量关系思维导图

省考考试内容，数量关系思维导图知识点梳理，详细列举了多种数量关系问题，包括浓度问题、经济利润问题、数列问题、约数倍数问题、行程问题、余数问题等，适合考生用于系统复习和掌握各类数量关系问题的解题技巧。

数量关系

• 排序根据湖北考情及自身掌握情况
• 排列组合/概率
  • 基本知识
    • 有序为排列，无序为组合；分步用乘法，分类用加法；从特殊入手，全部减不符
    • 概率
  • 特殊情况
    • 相邻问题
      • 把相邻的捆绑成一个元素；捆绑后总元素会变化，被捆绑的元素内部排列
      • 例：5人站一排，甲乙丙相邻；
    • 不相邻问题
      • 将无位置要求的元素排列，不相邻的元素插入空位中；需要注意顺序
      • 需要注意不相邻的元素是否有放在两边
      • 例：A…E五人排队，A与B不相邻；
    • 环形排列
      • n个元素环形排列，有
    • 错位排序
      • 1，2，3，4，5，6个元素错位排序分别对应0，1，2，9，44，265种情况
      • 例：5个厨子5道菜，自己不吃自己做的；44种排列
    • 平均分摊
      • 需要注意后续是否有顺序；无顺序，除去
      • 例：8人平均分两组；
      • 例：8人平均分两组，去不同城市；
    • 相同元素分配
      • 分配的元素是相同，可以构造媒人至少一个的要求
      • 例：9个相同的球装3个盒子，每盒至少一个，每盒至少两个，每盒没有限制 至少一个：C82=28；至少两个：C52=10；没有限制：C(11,2)=55种
    • 重复排列
      • 主要是号码车牌问题，注意首位能否为0
      • 例：电话号码后三位多少种；10*10*10
  • 其余情况
    • 两人同组概率
      • 先让一人任意选位子，在考虑另外蚁人语气同组情况
      • 例：班级5拍，每排4组，每组2座，A和B同一排概率； A先随便做一个，B在A同排，还有7个位子，7/39
    • 抽奖概率
      • 无论先抽还是后抽，概率一样
      • 例：5人抽一个奖，第二个人抽到概率；
    • 比赛问题
      • 需要注意负场位置
      • 例：甲乙比赛2：1，甲输的情况只能在第一第二场
• 几何问题
  • 常用公式
    • 周长
      • 各边长度相加
      • 长方形=2(a+b)；正方形=4a；圆=2πr；弧长
    • 面积
      • 各面面积相加
      • 长方形=ab；三角形=（底*高）/2；梯形=上下低之和乘高除2；圆=πr^2； 菱形=对角线乘积除2
    • 体积
      • 正方体、长方体、柱体=底面积乘高；锥体为圆柱体面积1/3；
  • 等比放缩
    • 边长（半径）n倍，周长n倍，面积n^2倍，体积n^3倍
  • 常考图形及定律
    • 正六边形：六个正三角形
    • 正三角形：两个直角三角形（30°和60°）
    • 圆：直径与任一点构成三角形为直角三角形；周长一定，圆面积最大
    • 矩形：四边形周长一定，正方形面积最大
    • 直角三角形：勾股定律；
    • 球；表面积一定，球体积最大
    • 长方体：最长边沿斜对角线且，切面周长面积最大
• 浓度问题
  • 核心
    • 浓度=溶质/溶液 溶液质量=溶质质量+溶液质量
    • 十字相乘或线段法
  • 溶液不变
    • 倒出部分溶液后，用水加满
    • 浓度为r的溶液，倒出a%，用水加慢，浓度变成r*（1-a%）
    • 例：芝麻粉，第一次吃1/2，注满水；第二次和1/3，加满水；第三次1/6，加满水；最后全部吃完，最后一次含量 100%*(1-50%)*(1-1/3)*(1-1/6)=5/18
  • 溶质不变
    • 溶液与水混合
    • 抓住溶质不变，溶质可以设值
    • 例：白糖水若干，第一次加一定量水，变成3%；第二次加同样水，变成2%，第三次加同样水，变成多少 设溶质为6，第一次加完后溶液为200，第二次加完后溶液为300，第三次浓度=6/400=1.5%
• 行程问题
  • 一般行程
    • 路程=速度*时间
    • m/s=3.6km/h
  • 相遇追及问题
    • 相遇距离=速度和*时间，追及距离=速度差*时间
    • 例：AB相距1755相向而飞，45分钟相遇，A速度是B1.25倍，速度差是多少 AB速度和=2340km/h 速度比是5：4，速度差=2340/9=260
    • 多次相遇：两端出发，N次相遇，可走2N-1个全程
    • 例：甲乙相距100米，相向而行，共走600米，相遇几次 6=2n-1
  • 环形运动
    • 同一起点同向而行，追上一次多跑一圈，路程差=1圈
    • 例：甲乙400米环形，甲出发一分钟乙出发，乙出发2分钟追上甲，又过8分钟第二次追上甲，此时乙比甲多250米，两人出发地间隔 第一次相遇看作同时相向出发，第二次相遇，多跑一圈，400米，但实际只多跑250米，所以乙在甲前面150米跑
    • 同一起点背向而行，相遇一次，路程和=1圈
  • 流水问题
  • 间隔发车
    • 汽车间距=（汽车速度+行人速度）相遇时间 汽车间距=（汽车速度-行人速度）追及时间 汽车间距=汽车速度*汽车发车时间间隔
    • 例：某人下山缆车，发现每隔半分钟看见对面上山缆车，每隔几分钟发一架缆车 设缆车速度1 （1+1）*1/2=1
  • 火车过桥
    • 注意火车车长
    • 例：一火车经2隧道1桥梁，第一个隧道600米，用时18秒；第二个隧道480米，用手15秒。桥梁长800米，火车通过时速度为原来一半，则需要多久 （600+L）/18=（480+L）/15 火车长L=120 速度V=40m/s 过桥时间=（800+120）/20=46秒
  • 平均速度
    • 平均速度为例：S=vt，
    • 例：甲到乙111米，1/4平路，1/2上坡，1/4下坡；平路速度20，上坡15，下坡30，则甲到乙往返平均速度 往返上下坡距离相等 平均速度=（2*10*30）（10+30）=20 和平地速度相等，平均速速为20
• 最值问题
  • 和定最值
    • 和一定情况下求某个元素的极限情况
    • 元素可以相等：问第一名最少，可以算平均数，然后分配余数
    • 元素不能相等：问什么设什么
    • 例：4人考试总分200，乘积为整数不相等，只有1人几及格，最后一名最多多少 x+x+1+x+2+60=200 x≈45.8 最多45.8，所以整数最多为45 能够相等：（200-60）/3=46……2 46 47 47 最后一名46 200分，第一名最少多少分：x+x-1+x-2+x-3=200 x=51.5 整数最少52分
  • 函数最值
  • 最不利问题
    • 构造最不利的情形，加1即可
    • 例：五种种兴趣班最少一个，随机调查，最少调查多少样本有4个报名的相同
  • 乘积最值
    • 天平杠杆，重量越重，力矩越靠近平衡点（越短）才能平衡
    • 例：30人平均分70，全部为整数，不及格最多为多少 不及格*平均分1+及格*平均分2=2100，不及格平均分最高59，及格平均分100， 59x+100（30-x）=2100 x=21人
  • 三段最值
    • 热水、冷水、温水混合；热水多，冷水也应该多；两端同多，两端同少
    • 例：80%，50%，20%个100克，配成50%100克，最多用多少80% 0.8x+0.2（100-x）=50 x=50
• 工程问题
  • 核心
    • 工程总量=效率*时间
    • 赋值、方程
  • 已知时间，设最小公倍数为总量
  • 已知效率比，直接赋值为效率
  • 已知不同的工作情况，可根据工作量相同列方程
  • 多人合作：效率和不变
  • 中途休息：休息部分单独计算
• 容斥问题
  • 一般容斥
    • 全部人数-圈外人数=人次之和-重复部分（保证每人只被计算一次）
    • 圈内人数=只参加一种+只参加两种+…所有都参加的
    • 符合A和B不是只符合A和B，还包括符合ABC
  • 容斥最值
    • 反向构造，相交的部分小，则反向应尽量相斥
    • 一定要注意占谁的比，总数还是部分数
    • 例：70%喜欢A，75喜欢B，喜欢B中至少（至多）多少喜欢A 100人，不喜欢A30，不喜欢B25，同时喜欢人数最多时存在最多值，70/75 同时喜欢人数最少时候100-30-25（70+75-100）=45存在最少值，45/75
  • 一般为2到3个量，不理解可画图
• 周期循环
  • 求余数
    • 去掉周期循环数余数
    • 注意，闰年和平年，闰年52周零2天，平年52周余1天
    • 例：3A、4B、5C、7D循坏排列，第136是什么 163/19=7……3 第三是A
  • 求最小公倍数
    • 多个循环周期
    • 注意：每隔5天（实际为每6天）和每5天区别
    • 例：甲4天值日一次，乙每隔5天值日一次，两个每12天共值日一次
• 牛吃草问题
  • 分成两类，吃掉每日生草量的叫白吃牛，一直吃原有草的叫干活牛
  • 白吃牛=每日草生长量=（时间*牛数-时间*牛数）/时间差
  • 原有草量=干活牛*时间=（牛数-白吃牛）*时间
  • 问时间，时间=原有草/干活牛；问牛数=原有草/时间+白吃牛
  • 例：80人开采6月或60人开采10月，不枯竭，多少人 白吃牛=（60*10-80*6）/（10-6）=30； 原有草=（60-30）*6=180 40人可开采多少=180/（40-30）=18 9天开采完多少人=180/9+30=50
• 计算问题
  • 平方差公式
  • 完全平方公式
• 日期星期
  • 几月几号推断：一个月按30天，少加多减
  • 星期几推断：将时间段分为若干循环的星期+额外的n天
  • 例：闰年2月有9个休息日，该月最后一天为周几 额外一天肯定是周六或周日，最后一天可能为周六、周日
• 年龄问题
  • 时间如何改变，年龄差不变，年龄增量不变
  • 注意与实际吻合
• 平均数问题
  • 平均速度为例：S=vt，
  • 调和平均数＜=算数平均数
  • A=B*C ； 售价=单价*数量，两次商品总售价相同，平均单价为调和平均数
  • 例：小张每次购买固定量的面粉，小赵每次购买固定金额的面粉，两次同时购买同一种面粉，但两次面粉价格不同；则小张两次面粉的均价高
• 不定方程
  • 奇偶性、整除性、代入法、消元法、尾数法、质合法、赋0.1法
  • 2是唯一一个偶数质数
  • 3、9看和，2.、5看末
  • 求A+B+C，可赋0
  • a，b能被x整除，a+b，a-b也可以
• 鸡兔同笼
  • 工资报酬、对错得分、阶梯收费、元素分配
  • 列方程；小数=（理论最大值-实际数值）/单个差值
  • 例：12人和10人餐桌28，最多332人；10人餐桌数量=（12*28-332）/(12-10)=2
• 盈亏问题
  • 人分配坐车、住宿等
  • 列方程；分配对象数=（盈数+亏数）/分配标准差
  • 例：坐3人，剩下50人，坐4人，多3辆车；车辆数=（50+12）/(4-3）=62
• 比赛问题
  • 循环赛场次
    • 单循环赛，n个队伍有Cn2场比赛；双循环，单循环两倍
  • 淘汰赛场次
    • 2n个队伍轮有n场比赛，决出冠军共有2n-1场比赛，每场淘汰一个，最后一个冠军
  • 淘汰赛轮次问题
    • 若队伍接近2^n，则一共n轮；将队伍数除2，直至剩余2队，有n轮剩余队伍为奇数，即有n轮存在轮空，也意味着某队最多轮空n次。
  • 已赛和未赛
    • 连线法，已完成=改点发出射线数
    • 例：8名单循环，没人只对局一次，七人赛过7.6.5.4.3.2.1，另外一人几盘 4盘，8点相互连线
• 经济利润
  • 单件商品销量
    • 成本*利润率=利润 成本+利润=售价 成本（1+利润率）=售价 定价*折扣=实际售价
  • 多件商品售价
    • 总成本/总收入/总利润=数量*单个商品成本/售价/利润
  • 分批销售
    • 利用收入列方程（问什么设什么）：总收入等于各批收入之和
    • 例：400件，7月进价1.6倍卖出200，8月进价1.3倍卖出100，9月0.7倍全部卖出，总获利15000，问进价 1.6x*200+1.3x*100+0.7x*100=400x+15000 x=125 以总收入列方程简单点
  • 资金往来
    • 应该收回的钱=拿出去的钱+应得的收益-应承担的损失；无须考虑资金往来过程，注意整体
    • 例：甲乙投资，甲向乙借15000，并以共同名义投资25000，只收回10000，甲愿意承担2/3损失。收回投资中，乙得多少 亏损15000 甲承担10000，乙承担5000，乙付出15000，乙收回10000
• 数列问题
  • 等差数列
  • 计数数列
    • 1+3+……+2n-1=n*n
• 约数倍数
  • 平方数有奇数个约数，其余只有偶数个约数，质数的平方只有3个约数
  • 例：369个A，412个B，合并分批且批次尽量少，如果只有一批同时包含A和B，则该批多少人来自B 781最小约数 781=11*71 ；412/71=5……57 剩余的57人与A部门共组一个批次
• 余数问题
  • 余同去余
    • 余数相同
    • 最小公倍数+余数
      • 例：除3余下1，除5余1，除6余1；30n+1
  • 合同加和
    • 除数与余数和相同
    • 最小公倍数+和
      • 例：除7余1，除6余2，除5余3；210n+8
  • 差同减差
    • 除数与余数差相同
    • 最小公倍数-差
      • 例：除7余5，除6余4，除3余1；42n-2
• 统筹规划
  • 最优方案
    • 工程统筹
      • 比较效率，做到擅长的，先分工后合作
      • 例：甲乙共同做AB，家单独做A13天，单独做B7天；乙单独做A11天，单独做B9天，最短时间完成，最后一天两队共同工作多长时间可以完成 甲擅长B，乙擅长A；前七天，甲完成B，A项目总量17*11=143，乙完成A7*11=91，剩余52；合作阶段，甲乙效率和24，52/24=2又1/6，最后一天共同完成1/6
    • 运输统筹
      • 比较各种运输方式耗能，优先低耗能且尽量不空载，最后一部分货物需要多种方式比较
      • 例：89吨甲到乙，大卡载重7，每次油耗17，小卡载重4，每次油耗9；最小油耗 89/7=12……5；大卡车运输13次油耗为13*14=182；大卡车运11次，小卡车3次，油耗为11*14+3*9=181
    • 经济统筹
      • 比较各种方案单价，优先低单价且尽量不浪费
      • 例：A,B需要在甲、乙个加工一道工序，A在甲3小时，乙1小时；B在甲1小时，乙3小时，甲最多11小时，乙最多9小时，A例如按300，B利润400，最大利润 3件B，例如按400*3=1200；2件B，剩余时间3件A，利润1700
    • 空瓶换酒
      • n个空瓶换一瓶酒，m个空瓶能喝到m/（n-1）瓶酒
      • 6空瓶换1瓶，买了109个瓶，期间不断用空瓶换就，一共喝了多少酒 109/5+109=130瓶
      • 可枚举
    • 选项为方案，可代入
• 植树问题
  • 一般植树
    • 两端植树
      • 总棵树=路长/间隔+1
    • 一段植树或环形植树
      • 总棵树=路长/间隔
    • 两端不植树
      • 总棵树=路长/间隔-1
  • 注意，道路两端植树，要乘2
  • 重合棵树
    • 1，求出两次植树的间隔数
    • 2，求得两次间隔的最大公约数
    • 3，考虑两端植树，无须移动树=最大公约数-1+两端情况
    • 例：一侧种25棵树，两端均有，间隔相等，增种10棵，多少棵不移动 25棵间隔24空，35棵间隔34空，最大公约数为2，2-1+2=3棵不移动
• 钟表问题
  • 分钟速度6°/分钟，时针速度0.5°/分钟，追击问题，每分钟可追5.5°
  • 例：没表就放弃吧，这种题选C
• 方阵问题
  • 方阵总人数=最外层每边人数^2
  • 每层人数=每边人数*4-4
  • 相邻两层人数差为8
  • 例：边长25和15人组成矩形阵，最外两圈人数 2*（25+15）-4=76，76+76-8=144
• 标一法
  • A到B多少种走法
    • 先标1，后累加