高数18讲-第10、11、12讲：一元函数积分学的应用

该框架图是在30讲上的升华和补充，更全面，更详细，与张宇课上所讲内容基本一致。

一元函数积分学的应用

• 物理应用
  • 变力沿直线做功
  • 抽水做功
    • • A(x)为水平截面面积
      • x为水运动的距离
  • 平板一侧受到的水压力
    • • x 表示水深
  • 细杆质心
• 几何应用
  • 平面图形的面积
    • 直角坐标系下
    • 极坐标系下
    • 常用图形面积
      • 摆线
        • 面积3r²π
        • 绕x轴旋转后的体积5π²r²
        • 绕y轴旋转后的体积6π³r³
      • 心形线 r=a(1+cosθ)
      • 伯努利双纽线 r²=a²cos2θ
        • a²
      • 阿基米德螺线 r=aθ
  • 旋转体的体积
  • 函数的平均值
    • 平均高：
  • “平面上的曲边梯形”的形心坐标公式
  • 平面曲线的弧长
    • 直角坐标系下
    • 极坐标系/参数方程下
  • 旋转曲面的表面积
    • 直角坐标系下
    • 极坐标系下
  • 平行截面面积为已知的立体体积
• 证明性应用
  • 积分等式
    • 常用积分等式
    • 积分中值定理
    • 夹逼准则
      • 极限号里面是积分号的式子大多是用夹逼准则
        • 也常用到保号性：
  • 积分不等式
    • 用函数的单调性
      • ①将某一限(取上限或下限)变量化，②移项构造辅助函数，由辅助函数的单调性来证明不等式，
        • 此方法多用于所给条件为“f(x)在[a,b].上连续”的情形，
          • 连续必定可积，不一定可导
    • 处理被积函数
      • 保号性：
        • 常用：
      • 用拉格朗日中值定理
        • 积分不等式的题中给出f(x)一阶可导且某一端点值较简单（甚至为0）的题目
      • 用泰勒公式
        • 积分不等式的题中给出f(x)二阶可导且某一端点值较简单（甚至为0）的题目
      • 用放缩法
        • 利用常见不等关系处理被积函数，进一步用积分保号性.
      • 用分部积分法
      • 用换元法
        • 见到复合函数，考虑换元法
    • 用夹逼准则求解一类 积分的极限问题
    • 曲边梯形面积的连续化与离散化问题