微分中值定理及其应用

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第四章 微分中值定理及其应用

• 微分中值定理及作用
  • 概念
    • 极值点
      • 极大值
      • 极小值
    • 微分中值定理
      • 费马定理
        • 驻点
      • 罗尔定理
      • 拉格朗日中值定理
      • 柯西中值定理
• 利用导函数研究函数性态
  • 函数为常数的充要条件
  • 两个函数差为常数的条件
  • 两个函数恒等的条件
  • 函数单调性
    • 判别
    • 单调区间求法步骤
      • 求出驻点与不可导点
      • 从小到大分为若干区间
      • 讨论每个区间上导函数的符号
  • 极值点
    • 判别
      • 第一充要判别：两侧导函数异号
      • 第二充要判别：一阶导数为0，二阶不为0，则
    • 注意：极值点有时候处于区间两端点上
    • 求法步骤
      • 求出驻点与不可导点
      • 考查这些点两侧导函数符号
      • 也可利用第二充要判别
      • 选择一种方法即可
      • 完成求解
  • 凹凸性
    • 定义
      • ，反之凹函数
    • 判别
    • 求法步骤
      • 二阶导数为0点与二阶导数不存在点
      • 由小到大划分区域
      • 讨论每个区间内符号
  • 拐点
    • 定义
    • 必要条件
    • 判别
    • 求法步骤
      • 二阶导数不存在点与二阶导数为0点
      • 考察两侧二阶导数符号
  • 渐进线
    • 垂直渐近线
      • x=a（a也可为0）
• 一元函数最大值与最小值
  • 求法步骤
    • 求出f(x)的驻点
    • 算出驻点处f(x)的值
    • 算出f(x)不可导点的值
    • 求出两侧端点的f(x)值
    • 比较上述值，得出最大值、最小值
• 极值点一定是驻点，但是驻点不一定之极值点