微分中值定理及其应用

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第四章 微分中值定理及其应用

微分中值定理及作用

概念

极值点

极大值

极小值

微分中值定理

费马定理

驻点

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

利用导函数研究函数性态

函数为常数的充要条件

两个函数差为常数的条件

两个函数恒等的条件

函数单调性

判别

单调区间求法步骤

求出驻点与不可导点

从小到大分为若干区间

讨论每个区间上导函数的符号

极值点

判别

第一充要判别：两侧导函数异号

第二充要判别：一阶导数为0，二阶不为0，则

注意：极值点有时候处于区间两端点上

求法步骤

求出驻点与不可导点

考查这些点两侧导函数符号

也可利用第二充要判别

选择一种方法即可

完成求解

凹凸性

定义

，反之凹函数

判别

求法步骤

二阶导数为0点与二阶导数不存在点

由小到大划分区域

讨论每个区间内符号

拐点

定义

必要条件

判别

求法步骤

二阶导数不存在点与二阶导数为0点

考察两侧二阶导数符号

渐进线

垂直渐近线

x=a（a也可为0）

一元函数最大值与最小值

求法步骤

求出f(x)的驻点

算出驻点处f(x)的值

算出f(x)不可导点的值

求出两侧端点的f(x)值

比较上述值，得出最大值、最小值

极值点一定是驻点，但是驻点不一定之极值点