导图社区 01 线代-行列式
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民法分论
行列式
1. 考点#
计算
数字型(展开公式)
技巧
某一行k倍加到另一行，值不变
每一行都加到第i行
逐行相加
抽象型
行列式性质，恒等变形
矩阵公式、法则恒等变形（注意E恒等变形）
特征值，相似
行列式等于特征值的乘积
相似
应用
特征多项式
克拉默法则
A*,A^-1，相关，无关，正定
证明|A|=0
Ax = 0有非零解
反正法
A^-1找矛盾
r(A)<n
0是特征值
|A| = ∏λi
|A|=-|A|
代数余字式
其他注意点
A-mxn,B-nxs,如果AB = 0
B的列向量是Ax=0的解
r(A)+r(B)<=n
2. 概念
1. p
行列式是一个数，矩阵是表格
2. 排列
3. 逆序
4. 逆序数
5. n阶行列式
3. 性质
性质1
经过转置，行列式的值不变
性质2
两行(列)互换位置，行列式的值变号
注意矩阵的区别 矩阵初等行变换不改变不变号
性质3
某行(列)有公因子k，可以直接提取k
注意矩阵的区别 矩阵 kA = [kaij] 行列式 |kA| = k^n |A|
矩阵所有元素都为 k 的倍数，才能将 k 提出来 行列式要把每行的 k 都要提出来
性质4
某行(列)是两个元素之和，可以把行列式拆成两个行列式之和
|A+B| ≠ |A|+|B| 考的是E恒等变形
性质5
某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式值不变
用最多
直接判断
某两行(列)成比例，行列式为0
某一行(列)全为0，行列式为0
4. 行(列)展开公式
1. 展开公式
p
先用行列式的性质恒等变形，把比较多的a变成0，再用展开公式，会减小计算量
2. 先行概念
余子式
n阶行列式中划去aij所在的i行j列，剩下的元素构成的n-1阶行列式就称为aij的余子式，记为Mij
代数余子式
(-1)^(i+j) Mij 称为aij的代数余子式，记作Aij
比余子式多个(-1)^(i+j)
3. 定理
定理1
n阶行列式等于它的任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和
定理2
行列式的任一行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式乘积之和为0
比如第一行元素乘第二行元素的代数余子式，和为0
4. 必背公式
上(下)三角形
等于主对角线元素的乘积
a11a22a33...ann
副对角线(副上下三角)
(-1)^ n(n-1)/2 乘副对角线元素
(-1)^ n(n-1)/2 *a1n a2(n-1)...an1
拉普拉斯展开式
A,B分别为m阶和n阶矩阵
两种
A,B在主对角线上
行列式=|A||B|
A,B在副对角线上
行列式=(-1)^mn = |A||B|
范德蒙行列式
(1,xi,xi^2,xi^3...xi^(n-1))T
|A| = ∏(xi-xj) (1<=j<=i<n)
5. 主要方法
行列展开公式
行列式的零多
爪型处理
加边法
拆开法
5. 行列式的计算#
高频错误
|A+B| ！=|A|+|B| 考的是E恒等变形
注意矩阵的区别 矩阵初等行变换不变号
注意矩阵的区别,A为矩阵 矩阵 kA = [kaij] 行列式 |kA| = k^n |A|
数字型计算
一般行列式
每一行(列)都加到第i行(列)
每一行(列)都出现相反数，P10例1.5
目的做0 (P10例1.6)
某一行k倍加到另一行
特殊行列式
爪型
主对角线爪型p
可用主对角线元素将其化为主上(下)三角再运算p
副对角线爪型p
可用副对角线元素将其化为副上(下)三角再运算p
考的都是隐形的爪型， 要积累识别隐形爪型的经验
(P11例1.9)
三对角线型
第 i 行 k 倍加到 i+1 行，进行逐级相消
目的变成上三角
每一行加到第一行
第i行k倍加到第一行
最后变成展开公式加三角
用于4阶、5阶
(P12例1.9)
n阶考虑数学归纳法/递推法 P13
先在草稿纸上化简，根据结果再选择合适的归纳形式
第一数学归纳法
f(n) = af(n-1) +b
步骤
①验证n=1时，命题f(n)正确，
②假设n=k时，命题f(n)正确，
③证明n=k+1时，命题f(n)正确.
第二数学归纳法
f(n) = af(n-1) +bf(n-2)
①验证n=1和n=2时命题f(n)都正确，
②假设n<k时，命题f(n)，正确，
③证明n=k时，命题f(n)，正确.
抽象行列式
大概三种题型，解法
行列式的性质恒等变形
P15 L1.11
矩阵公式、法则恒等变形，E恒等变形
添加E，使成为AA^-1,带入原式
特征值；相似；|A| = ∏λi 运用
题型
|A+B|型
行列式的恒等变形
矩阵的性质
E恒等变形
由于 |A+B| 没有运算法则，利用E作恒等变形是常用技巧
P15 L1.13
相似，|A| = ∏λi 运用
惯性思维
P16 L1.17
求解特征值
若见到p
由特征值公式p
恒等变形p
可求出A的三个特征值p
含有参数a求特征值
如果A的特征值为λ
A+2E 的特征值为 λ+2
A-2E 的特征值为 λ-3
P17 练习(2)
注意
若A为正交矩阵，则p
若 |A|>0，则 |A| = 1
若 |A|<0，则 |A| = -1
P1６ L1.1４
矩阵行列式
核心公式：AA* = A*A = |A|E
|A| = λ1 λ2 λ3
λ1 + λ2 + λ3 = a11 + a22 + a33
6. 应用
1. 特征多项式
|A| = ∏λi 运用
2. 克拉默法则
求Xi
结合齐次/非齐，唯一解，非零解，无穷解
3. A*,A^-1，相关，无关，正定
7. 克拉默法则
1. 使用范围
n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组p
系数行列式|D|!=0，方程组有唯一解
则 Xi = |Di|/|D| (i=1,2,..n)
因为计算量比较大，一般情况下不是用来 解方程组的，而是用来做一些小的证明题
2. 推论
n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组
推论1 若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则方程组只有零解
|A|！=0 （|D！=0|） xi = |Di|/|D| =0(一定为0) 也就意味着r(A) = n (唯一解就是零解)
推论2 若齐次线性方程组的系数行列式有非零解，则系数行列式|A|=0
也就是r(A)<n
考点：证某个行列式|A| = 0， 可以通过构造一个齐次线性方程组证明有非0解
齐次线性方程组有非零解，充要条件是|A|=0
3. 注
多用于证明题
计算量大，不一定是用来解方程组的
简易解方程组方法是初等行变换
8. 证明|A|=0
P20 L1.21
如果要证 |AB| = 0，即证明 ABx = 0,有非零解
可以通过证明 Bx = 0,有非零解来做
Bx = 0 的非零解是 ABx = 0 非零解的子集
如α∈{BX=0解}，Bα=0 可以推出ABα = A0 = 0，知 α 必是 ABx = 0的解.
A — m×n 如 m<n , 则Ax =0 必有非0解
一个齐次线性方程组，方程的个数少于未知数的个数，必有非零解
P26 3(3)
反证法
设A是 m×n 矩阵，B是 n×s 矩阵，若AB=O
见到 AB=0 应当有两种思路
（1）B的列向量是齐次方程组Ax= 0的解
克拉姆法则
（2）r(A)＋r(B) ≤ n
9. 矩阵的秩
1. 一般考题求秩
给定秩小于几，一定也会给秩大于几，结合在一起求秩
矩阵A中非0子式的最高阶数
A中有r阶子式不为0
每r+1阶(若还有)子式全为0
示例
r(A)< 5
A中5阶子式全为0
r(A)≥2
A中有2阶子式不为0
矩阵秩的求法
对矩阵进行初等行变换阶梯化后非零行数即为矩阵的秩
注解
矩阵的秩本质上即为方程组约束条件的个数
r(A) = 0的充分必要条件是 A = 0
r(A) ≥ 1的充分必要条件是A ≠ 0
r(A) ≥ 2的充分必要条件是 A 至少两行不成比例
r(A)=n <=> |A|!=0 <=> A可逆
r(A)<n <=> |A|=0 <=>A不可逆
若 A 是 m×n 矩阵，则 r(A) ≤ min(m,n)
3. 矩阵秩的性质
题中出现 ATA 或 AAT 时，一般使用性质1.
若题中出现 A+B, A-B 或 r(A) + r(B) 时，一般使用性质2.
如果A可逆
r(AB) = r(B) ， r(BA) = r(B)
如果A列满秩
r(AB) = r(B)
若题中出现 r(A),r(B),r(AB) 时一般使用性质3
见到 AB=O 应当有两种思路
B的列向量是齐次方程组Ax=0 的解
r(A)＋r(B) ≤ n
题中出现 AB=O 时一般使用性质4.
在秩的问题中出现 A* 或 Aij 时，一般使用性质6.
无关解向量的个数：n-r(A)
10. 代数余字式
2. 定理
3. 伴随矩阵
AA* = A*A = |A|E
证明 P5
4. 注
如果行列式只有aij不同，那么这两个行列式的Aij相同
给定很高阶的行列式，求A31+A32+A33 实际上就是求1*A31+1*A32+1*A33+0*A34+0*.... 也就是将第3行换为 1 1 1 0 0... 在做运算
P22 L1.25
做题时，要一题多解
改卷原则：简答题每一部分独立给分，如果第一问不会做，可以第一问 空白，用第一问大结论做第二问，不影响第二问给分
