实数集与函数

实数集与函数，实数集与函数的概念，学生学习专用。

实数集与函数

• 实数
  • 实数及其性质
    • 概念：有理数和无理数统称为实数。
    • 表示：都可用一个确定的无线小数表示。
    • n位不足近似，n位过剩近似的定义
    • 比大小：通过 有限小数 比较，及其等价条件。
      • P2 命题
    • 实数的7大性质：
      • 七大性质：封闭性，有序性，传递性，阿基米德性，稠密性，一一对应性，完备性。
  • 绝对值与不等式
    • 性质
• 数集•确界原理
  • 区间与领域
    • 区间：有限区间和无线区间统称为区间。
    • 领域：实心领域，空心领域；左领域，右领域。
  • 有界集•确界原理
    • 有界：既有上界又有下界。
      • S有上界：
      • S有下界：
    • 上确界（最小上界），下确界（最大下界）的定义及等价定义
      • 上下确界的原始定义及等价定义的用法： 只有当上下确界不属于S，且S中元素不确定时用原始定义。
    • 确界原理
      • S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
    • 推广的确界原理
      • 任一非空数集必有上、下确界（正常或非正常）
• 函数概念
  • 函数的定义
    • 确定一个函数的两要素：定义域及对应法则
  • 表示法
    • 解析法，也称公式法
    • 列表法
    • 图像法
      • 如：符号函数sgn x
    • 语言描述
      • 如：定义在R上的D(x)和定义在[0,1]上的R(x)
  • 函数的四则运算
    • 目的：产生新函数
      • 注：两函数定义域无交集时不能进行四则运算。
  • 复合函数
    • 注意复合的条件
  • 反函数
    • 不是所有的原函数都有反函数，（一一映射才有反函数）
  • 初等函数
    • 定义：基本初等函数经过有限次四则运算与复合得到的函数
    • 基本初等函数：
      • 常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数
    • 非初等函数：如：D(x);R(x)
    • 判断分段函数是否为初等函数（能用解析式达就是）
• 具有某些特性的函数
  • 有界函数
    • 例2
  • 单调函数
    • 单调函数必有反函数，且反函数在其定义域上也是单调函数。
  • 奇函数和偶函数
  • 周期函数
    • 基本周期即最小周期
• zlwxw2020.08.27