第二十一章 一元二次方程

人教版九年级上册数学第一单元 一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做二元一次方程，一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。

第二十一章 一元二次方程

• 21.1 一元二次方程
  • 定义
    • 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做二元一次方程
  • 一般形式
    • ax²+bx+c=0（a≠0）
  • 一元二次方程的根
    • 一元二次方程的解
• 21.2 解一元二次方程
  • 直接开方法
  • 配方法
    • 通过配成完全平方公式来解一元二次方程，叫做配方法
      • 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x+n）²=p的形式
        • 当p＞0时，方程有两个不等的实数根 x₁=-n-√p，x₂=-n+√p
        • 当p=0时，方程有两个不等的实数根 x₁=x₂=-n
        • 当p<0时，因为对任意实数x，都(x+n)²≥0 所以方程无实数根
  • 公式法
    • 利用求根公式
    • ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别式
      • Δ=b²-4ac
        • 当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根
        • 当Δ=0时，方程有两个不等的实数根
        • 当Δ<0时，方程无实数根
    • ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式
      • x=-b±√b²-4ac/2a
  • 因式分解法
    • 先将方程一边化成两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0
  • 基本思路：降次
  • 一元二次方程的根与系数的关系
    • 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比
      • x
• 21.3 实际问题与一元二次方程
  • 传播问题
    • 传染
      • 设每轮每人传染x人 第1轮共患病：1+x 第2轮共患病：1+x+x（1+x） 第n轮共患病：（1+x）ⁿ
    • 分支
      • 主干（1）
        • 支干
          • 小分支
          • ……
          • 小分支
          • x
        • ……
        • 支干
        • x
      • 1+x+x²
    • 细胞分裂
      • 一个细胞分裂成两个
      • n轮后共2ⁿ个
  • 平均变化率问题
    • 原来为a，增长（下降）n年后为b 设增长率（下降率）为x a（1±x）²=b（0＜x＜1）
  • 握手问题
    • 单循环
      • x（x-1）/2
    • 双循环
      • x（x-1）