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数学分析知识导图
数学分析又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础的一个较为完整的数学学科。极限、导数和微分、积分、隐函数、反常积分、级数等板块，带你了解数学分析！
编辑于2020-09-03 20:00:28
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数学分析
极限
第二章 数列极限
数列极限的概念
ε-N定义
增加或减少有限项
无穷小数列
无穷大数列
{an}收敛于a﹤==﹥子列收敛都收敛于a
{an}为无穷小数列，{bn}为无界数列==﹥{anbn}为无穷小数列
常用极限
收敛数列的性质
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
迫敛性
四则运算
极限存在的条件
单调有界定理
致密性定理
柯西收敛准则
常用不等式
不等式（平＞算＞几＞调）
logaN＜n^α＜a^n＜n!＜n^n
伯努利不等式a^n=(1+h)^n≥1+nh
第三章 函数极限
函数极限的概念
x→∞
X→a
函数极限的性质
唯一性
局部有界性
局部保号性
保不等式性
迫敛性
四则运算性质
极限的存在条件
海涅定理
单侧极限单调 海涅定理
单侧单调有界定理
两个重要极限
无穷大量与无穷小量
无穷小量
性质
两个无穷小量和差积仍为无穷小量
无穷小量✖️有界量=无穷小量
无穷小量 阶的比较
低阶无穷小量
同阶无穷小量
等价无穷小量
无穷大量
第四章 函数的连续
连续性概念
在某一点连续
左间断点
右间断点
间断点
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
区间上的连续函数
分段连续
连续函数的性质
连续函数的局部性质
局部有界性
局部保号性
四则运算
复合函数连续性
闭区间连续函数的性质
有界性
最值性
介值性
零点定理（根的存在性定理）
反函数的连续性
一致连续性
定义
闭区间连续则一致连续
连续函数的性质
连续函数的局部性质
局部有界性
局部保号性
四则运算
复合函数连续性
闭区间连续函数的性质
有界性
最值性
介值性
零点定理（根的存在性定理）
反函数的连续性
一致连续性
定义
闭区间连续则一致连续
初等函数的连续性
基本初等函数在其定义域连续
初等函数
定义
定义域上连续
第十六章 多元函数的极限与连续
平面点集与多元函数
定义平面点集
平面点集
领域
内点、外点、界点
聚点孤立点
开集、闭集
开域、闭域
有界点集
R²上的完备性定理
平面点列收敛定义
（平面点列收敛）柯西准则
闭域套定理
聚点定理
有限覆盖定理
二元函数、n元函数
二元函数的极限
二元函数的极限
定义
性质极限存在充要条件
推论1（聚点相关）
推论2（聚点相关）
推论3（类似海涅）
性质
四则运算
唯一性
局部有界性
局部保号性
累次极限、重极限
定义
累次极限与重极限关系
二元函数的连续性
定义
在点连续
在区域连续
性质
四则运算
保号性
有界性
最值性
介值性
复合函数连续性
导数和微分
导数
导数的概念（5.1）
导数的定义（点、区间）
左导数、右导数
可导==>连续
切线斜率
切线方程
极值
费马定理（稳定点）
求导法则（5.2）
导数的四则运算
常用三角函数导数
反函数导数
复合函数导数
常用导数公式
参变量函数的导数（5.3）
高阶导数（5.4）
定义
三角函数高阶导数
莱布尼茨公式
参量函数二阶导数
微分（5.5）
微分的定义及表达式
（可导＜==＞可微）可微条件
微分与导数
高阶微分
微分求近似
一阶微分不变性
微分中值定理及其他
中值定理（6.1）
罗尔定理
拉格朗日中值定理
达布定理
导数极限定理
柯西中值定理（6.2）
洛必达法则（6.2）
泰勒公式（6.3）
泰勒多项式
带有皮亚诺型余项（点）
带有拉格朗日型余项（区间）
麦克劳林公式（6.3）
带有皮亚诺型余项（点）
带有拉格朗日型余项（区间）
函数的相关性质
函数的单调性（6.1）
递增的充要条件
严格递增的充要条件
极值判别（6.4）
极值第一充分条件
极值第二充分条件
极值第三充分条件
最值判别（6.4）
（1）导数=0 （2）端点值 （3）不可导的点
凹凸性（6.5）
定义
凸函数充要条件
凸函数等价定义
凸函数充要条件
詹森不等式
拐点（6.5）
定义
第十七章 多元函数微分学
可微性（二元）
可微、全微分定义（点）
偏导数定义（点）
偏导数定义（区域）
可微性条件
可微必要条件（点）
可微必要条件、全微分（区域）
可微充分条件（点）
中值公式
可微性几何意义及定义
切平面、切点定义
切平面方程
法线方向数
法线方程
可微的充要条件（切平面相关）
复合函数微分法
求导法则
全微分
一阶微分形式不变性
方向导数与梯度（三元）
方向导数
定义
与偏导数的关系
梯度
高阶偏导数
定义
中值定理
泰勒公式
极值问题
定义
黑塞矩阵
必要条件
充分条件
积分
第八章 不定积分
定义
原函数定义
原函数存在定理
不定积分定义
基本积分公式
不定积分的性质
线性关系
计算方法
直接积分法
换元积分法
第一换元积分法 令t=g(x)
常用凑微分公式
第二换元积分法 令x=g(t)
分部积分法
有理函数的积分
三角函数有理式积分
万能公式
某些无理根式的积分
第九章 定积分
定积分的基本概念
积分和(黎曼和)
定积分（黎曼积分）定义
可积条件
必要条件
可积==>有界
充要条件
可积准则
S(T)-s(T)＜ε
ΣWⅰ△Ⅹⅰ<ε
可积函数类
f连续==>可积
f有界，有限个间断点==>可积
f单调有界==>可积
定积分性质
线性运算(加法、数乘)
区间可加性
f,g闭区间上可积==>fg闭区间上可积
两个规定
积分不等式性
估值不等式
绝对值性
变量无关性
积分中值定理
积分第一中值定理(不变号的不要动)
积分第二中值定理(单调恒正取最大)
微积分学基本定理
变限积分
变上限积分
f闭区间可积==>Φ闭区间连续
连续函数必有原函数
变下限积分
基本定理：原函数存在定理（变限积分导数）
计算方法
牛顿莱布尼茨公式
连续==>可积
换元积分法
分部积分法
沃利斯公式
泰勒公式的积分型余项（✖️）
拉格朗日型
柯西型
第十章 定积分的应用
平面图形的面积
直角坐标系
一条连续曲线
两条连续曲线
参数方程
曲线
封闭曲线
极坐标方程
体积
截面面积函数求立体体积
旋转体的体积
平面曲线的弧长与曲率
平面曲线的弧长
参数方程
直角坐标
极坐标系
曲率
旋转曲面的面积
直角坐标系
参数方程
第十九章 含参变量积分
含参量正常积分
概念
性质
连续性
极限与积分可交换
连续性
可微性（求导与积分可交换）
可微性
第二十章 曲线积分
第一型曲线积分
定义
平面上
空间上
性质
线性关系
分段可加性
保不等式性
绝对值性
介值型
计算
参量方程
直角坐标系
极坐标方程
空间曲线积分 参数方程形式
第二型曲线积分
定义
平面上
空间上
性质
线性关系
分段可加性
计算
平面参数方程
空间参数方程
两类曲线积分联系
第二十一章 重积分
二重积分(曲顶柱体体积)
定义
可积条件
必要条件
有界区域上可积==>f(x,y)有界
充分条件
有界闭区域连续函数必可积
有界，零面积集==>可积
充要条件
lim上和=lim下和
上和-下和＜ε
性质
线性性质
区域可加性
不等式性
绝对可积性
保不等号性
介值定理
计算
直角坐标系（重积分→累次积分）
矩形区域
一般区域
X型区域
Y型区域
変量変换（T: x=x(u,v),y=y(u,v) J(u,v)≠0）
极坐标变换
圆域或圆域的一部分，或f(x²+y²) T:x=rcosθ y=rsinθ J(r,θ)=r
圆域
一般域
广义极坐标变换
格林公式（二重积分与第二型封闭曲线积分）
曲线积分与路线的无关性
三重积分（求质量）
定义
性质
计算方法
化三重积分为累次积分
长方体
一般
换元法
柱面坐标变换
球面坐标变换
广义球坐标变换
重积分的应用
曲面的面积（二重）
质心
空间物体（三重）
平面薄板（二重）
转动惯量
空间物体
平面薄板
立体对质点的引力（三重）
第二十二章 曲面积分
第一型曲面积分（求曲面的质量）
定义
计算
第二型曲面积分（一定面积内的总流量）
定义
性质
计算
两类曲面积分的联系
高斯公式
斯托克斯公式
隐函数 （第十八章）
隐函数
定义
隐函数存在唯一性定理
隐函数可微性定理
隐函数导数
极值问题
隐函数组
基本概念
定义
隐函数组求偏导
雅可比行列式
隐函数组定理
隐函数组唯一存在性
连续性
可微性
反函数组
定义
存在唯一性定理
几何应用
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
参数方程 L:x=x(t),y=y(t),z=z(t)
方程组L：F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 隐函数组：x＝φ(z) y＝Ψ(z)
曲面的切平面与法线
条件极值
条件极值的问题
拉格朗日乘数法
反常积分、级数
第十二章 数项级数
级数
定义
数项级数定义
部分和定义
级数收敛
级数收敛定理
柯西收敛
收敛的必要条件
去掉或增加有限项
正项级数（同号）
收敛的一般判别原则
充要条件
比较原则
推论：极限形式
比式判别法（前一项后一项）
推论：极限形式
根式判别法
积分判别法
拉贝判别法
推论：极限形式
交错级数
定义
莱布尼茨判别法
余项判别
一般项级数
绝对收敛、条件收敛
阿贝尔判别法
狄利克雷判别法
第十三章 函数列与函数项级数
函数列
函数列有关概念
定义
收敛及收敛域的定义
极限函数
函数列一致收敛性
一致收敛定义
内闭一致收敛
一致收敛判别法
柯西准则
最值判别法
一致收敛的性质
极限顺序可交换
闭区间连续，开区间一致连续，则闭区间一致连续
连续性
可积性（极限与积分号可交换）
可微性（极限与求导可交换）
函数列级数
函数项级数有关概念
定义
部分和函数列
收敛域
和函数
函数列级数一致收敛
一致收敛定义
内闭一致收敛
一致收敛判别法
柯西准则
一致收敛充要条件
最大值判别法
M判别法（优级数判别法、魏尔斯特拉斯判别法）
阿贝尔判别法
狄利克雷判别法
一致收敛的性质
连续性
逐项可积
逐项可导
第十四章 幂级数
幂级数
定义
幂级数收敛区间
收敛点
收敛半径、收敛区间
无缺项收敛半径判别法
根式判别法
比式判别法
柯西—阿达马定理
缺项收敛半径判别
幂级数性质
一致收敛性
和函数连续性
和函数的可积性和可导性
逐项可积、逐项可导
幂级数的计算
幂级数相等
幂级数的加减乘
一些常用级数的和函数
求级数的和函数
幂级数展开
泰勒级数展开式
定义
可以展开的充要条件
麦克劳林级数展开
第十五章 傅里叶级数
傅里叶级数
三角级数
三角函数列
三角级数
三角函数列的特性
以2π为周期的傅里叶级数
傅里叶级数收敛定理
以2l为周期的函数的展开式
以2l为周期的函数的傅里叶级数
偶函数与奇函数的傅里叶级数
以2l为周期的偶函数
以2l为周期的奇函数
l＝π
子主题
第十九章 含参量积分
含参量反常积分
含参量无穷限反常积分
定义
一致收敛的判别
一致收敛充要条件
柯西准则
上确界判别法
含参量反常积分与函数项级数
M判别法
狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
含参变量积分的性质
连续性
极限与积分可交换
（可微性）求导与积分可交换
（可积性）积分顺序可交换
含参量无界函数反常积分
定义
一致收敛
欧拉积分
欧拉函数
定义
性质
连续可导
递推公式
B函数
定义
性质
连续
对称性
递推公式
欧拉函数与B函数的关系
第十一章 反常积分
反常积分
无穷积分
定义
收敛
柯西收敛准则
瑕积分
定义
收敛
无穷积分
无穷积分的性质
线性关系
区间可加性
绝对收敛、条件收敛
非负函数无穷积分收敛判别法
充要条件
比较原则
推论：极限形式
推论：与1/(x^p)比较（一般）
推论：lim(x^p)f(x)＝λ判别
一般无穷积分的收敛判别法
狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
瑕积分
瑕积分的性质
充要条件
线性关系
区间可加性
绝对收敛、条件收敛
非负的瑕积分的收敛判别法
比较原则
推论：比式判别
推论：柯西判别法（一般）
推论：lim(x-a)^pf(x)=λ判别
一般瑕积分的收敛判别法
狄利克雷判别法
阿贝尔判别法