考研数学函数极限连续

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函数极限连续

• 函数
  • 概念及常见函数
    • 函数概念
      • 定义域+对应规则+值域，一个函数由定义域+对应规则唯一确定
    • 复合函数
      • 内层函数的值域与外层函数的定义域交集非空
      • 不是任意两个都可以复合
    • 反函数
      • 函数要严格单调才有反函数
      • 两种形式
      • 性质
    • 初等函数
      • 基本初等函数
        • 幂函数
        • 指数函数
        • 对数函数
        • 三角函数
        • 反三角函数
      • 定义
        • 基本初等函数与常数经过四则运算或复合运算而成的函数
  • 性质
    • 单调性
      • 定义
        • 单调增，单调不减
        • 单调减，单调不增
      • 判定
        • 定义判定
        • 导数判定
          • • 对于a反推不出来的例子：X^3
        • 函数导函数原函数的单调性关系
          • f(x)单调增推不出f'(x)单调增
            • X^3
          • f'(x)单调增推不出f(x)单调增
            • 1/2X^2
        • 一点的单调性领域内的单调性
          • 某一点导数大于0，只能得到该点单调增，即左领域都小于该点，右领域都大于该点，得不出f（x）在该点的某领域内单调增
            • 导数定义+极限保号性推导出
      • 应用
        • 根的个数
        • 不等式证明
    • 奇偶性
      • 定义
        • 奇函数
          • 定义域关于原点对称，f(-x)=-f(x)
        • 偶函数
          • 定义域关于原点对称，f(-x)=f(x)
      • 常见的奇偶函数
        • 奇函数
        • 偶函数
      • 几何特点
        • 奇函数
          • 函数图形关于原点对称，若在x=0处有定义则f（0）=0
        • 偶函数
          • 函数图形关于y轴对称
        • f（-x）与f（x）关于y轴对称，-f（-x）与f（x）关于原点对称
      • 判定
        • 定义判定
        • 导数判定
          • • 连续的奇函数其原函数都是偶函数，所以对于b可以倒推
            • 连续的偶函数其原函数之一是奇函数，所以对于a不可倒推
        • 变上限积分与函数的奇偶性关系
          • • 对于（1）可将积分下限改成a任意常数，对于（2）则不行
      • 运算法则
        • 加法
        • 乘法
    • 周期性
      • 定义
      • 常见的周期函数
      • 判定
        • 定义判定
        • 导数判定
        • 函数导函数原函数的奇偶性关系
        • 变上限积分与函数的奇偶性关系
    • 有界性
      • 定义
      • 常见的有界函数
      • 判定
        • 定义判定
        • 连续性理论
          • 闭区间
          • 开区间
        • 导数判定
          • • 反推不行，例子：x^1/2
  • 两个重要不等式
    • sinx<x<tanx
    • x/x+1<ln(x+1)<x
• 极限
  • 概念
    • 数列极限
      • n约定趋向正无穷
    • 函数极限
      • 自变量趋于无穷大
      • 自变量趋于有限值
      • 需要分左右极限求极限
        • 分段函数在分界点处的极限包括带有绝对值的函数
        • e的无穷次方型极限
        • arctan 的无穷型极限
  • 性质
    • 局部有界性
      • • 反推则不行；经典反例：f(x)=sin(1/x)
      • 数列极限存在,则数列整体有界 ,反之不对
      • 数列有界即存在上界下界
    • 保号性
      • 极限正,去心领域正极限负,去心领域负
      • • (1).极限值保函数值,严格大于(2).函数值保极限值,大于等于
      • 由保号性可得保序性,即两者之间的比较
    • 极限值与无穷小的关系
      • 函数值与极限值之间的关系
  • 存在准则
    • 数列极限函数极限都有 ; 主要应用于数列
    • 夹逼准则
      • 常用于求n项和数列极限
    • 单调有界准则
      • 常用于求递推关系的数列极限
  • 无穷小
    • 概念
    • 性质
    • 无穷小的比较
  • 无穷大
    • 概念
    • 常用的一些无穷大的比较
      • 与阶数量级无关,但是不能是无穷
    • 无穷大与无界变量的关系
      • 针对数列
    • 无穷大与无穷小的关系
• 连续
  • 概念
  • 间断点及其类型
    • 间断点概念
    • 间断点分类
      • 第一类间断点：左极限右极限都存在
        • 可去间断点：左极限=右极限
        • 跳跃间断点：左极限！=右极限
      • 第二类间断点：左极限右极限至少一个不存在
        • 无穷间断点
        • 振荡间断点
        • 其他间断点
      • 做题时如果判断是第一类间断点则需写明是可去还是跳跃间断点，如果是第二类间断点则不需要进一步判断
  • 连续函数的性质
    • • 定义区间：只是一个范围，表征函数所定义的一个区间，可不考虑端点的。定义域：是一个使得函数有意义的、所有的、自变量的范围，端点要考虑在内。
    • f（x）连续------->|f（x）|连续，反之不对
      • 反例：y={-x，x<0 x,x>0}
    • 闭区间上连续函数的性质
      • 有界性
      • 最值性
      • 介值性
      • 零点定理
• 题型例题
  • 函数
    • 复合函数
    • 函数性质
      • 单调性
      • 奇偶性
      • 周期性
      • 有界性
  • 极限
    • 概念 性质 存在准则
    • 求极限
      • 方法
        • 利用有理运算法则及其推论
          • 四则运算法则
            • 存在+-不存在=不存在，其他都是不一定
              • 推广到连续、导数
          • 推论（3个）
        • 利用基本极限(9个)
          • X趋于零（3个）
          • X趋于无穷（2个）
          • n趋于无穷（4个）
        • 利用等价无穷小
          • 代换原则:1.乘除关系可以换2.加减关系满足一定关系才可以换两者相除的极限不能等于1或-1
          • 普通类（7个）
            • • 可推广
          • 泰勒三角类（4个）
          • 变上限积分类
          • 代换原则
        • 利用泰勒公式
          • 泰勒公式与麦克劳林公式
          • 常用的泰勒公式（5个）
        • 利用洛必达法则
          • 条件（3个）
          • 适用情况
            • f（x）n阶可导: 用到n-1阶导，最后一步用导数定义
            • f（x）n阶连续可导：用到n阶导
        • 利用夹逼准则
        • 利用单调有界准则
        • 利用定积分定义
          • 提可爱因子1/n
        • 利用拉格朗日中值定理
      • 题型
        • 函数极限
          • 七种不定式
            • 0/0型
              • 方法
                • 主要是用来消除分母的0因子
                • 洛必达
                • 等价无穷小
                • 泰勒
              • 化简
                • 极限非零因子极限先求出
                • 有理化
                  • 出现二阶根式差
                • 减项加项
                • 化平方差公式
                • 变量代换
                • 拉格朗日中值定理
                  • 出现根式差
                • 无穷小相加减,高阶无穷小可忽略
            • ∞/∞型
              • 方法
                • 洛必达
                • 分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
                • 无穷大相加减,低阶无穷大可忽略
            • ∞-∞型
              • 方法
                • 通分化为0/0型,适用于分式差
                • 根式有理化,适用于根式差和
                • 提无穷因子,然后等价代换或变量代换,泰勒公式
            • 0•∞型
              • 化为0/0型或∞/∞型洛必达
                • 如果不好化,先无穷小代换
            • 1^∞型
              • 三部曲
                • 分拆 取倒数
            • 0^0,∞^0型
              • 幂指函数改写成e型用洛必达
        • 数列极限
          • 不定式
            • 不能直接使用洛必达
            • 改写成函数极限
          • n项和
            • 夹逼原则
              • 变化部分是主体次量级
            • 定积分定义
              • 变化部分是主体同量级
          • n项连乘
            • 夹逼原则
            • 取对数化为n项和
          • 递推关系定义的数列
            • 方法
            • 单调性判定方法
        • 确定极限式中的参数
          • 选择方法逐个击破
          • 确定类型选择求极限方法
        • 无穷小量阶的比较
          • 求0/0型
            • 洛必达法则求导定阶
              • f(x)求导后是K阶无穷小，则f(x)是K+1阶无穷小
            • 等价无穷小代换定阶
            • 泰勒公式定阶
  • 连续
    • 讨论连续性及间断点类型
    • 介值定理 最值定理 零点定理的证明题
    • 闭区间上连续函数性质