数量关系思维导图

数量关系模块基础知识体系框架构建。

数量关系

第一章 核心方法

第一节 倍数特性法

1、基础知识

(1)常见数字整除特性

2、5 看末一位

4、25 看末两位

3、9 看各位数字之和(划三法，划九法)

(2)整除模型

整除模型A／B=M／N，其中A和B为实际值，M与N互质(最简)

结论

A是M的倍数

B是N的倍数

A+B是M+N的倍数

A–B是M–N的倍数

2、使用技巧

(1)适用范围

题目中出现分数、百分数、比例，倍数时，或出现平均、每分组等字眼

(2)做题步骤

一看：所求量(一般是题目的最后一句话)

二找：对应关系(分数、百分数、比例、倍数这些关键点)

三转化：转化最简化(比如75%转化成3/4)

四排除：排除错误选项，得到正确答案

重点怎么找

所求量对应的关键点(分数、百分数、比例、倍数)

方法：分子找分子、分母找分母、和找和、差找差

(3)常见变形：A=M×B+C，则(A–C)是M的倍数

做题步骤

一看：所求量

二找：关键点：倍、每、平均这些关键词汇

三转化：转化为数字语言

四排除：得出正确答案

(4)几种关系

甲是乙的三倍：甲＋乙为4的倍数

甲比乙多三倍：甲＋乙为5的倍数

甲是乙的三分之一倍：甲＋乙是4的倍数

甲比乙多1/3：甲＋乙是7的倍数

(5)总结

使用环境：分数、百分数、比例，倍数、每、平均、分组等

使用步骤：一看二找三转化四排除

怎么找：所求量对应的关键点(分子找分子、分母找分母、和找和、差找差)

第二节 方程法

怎么用

普通方程

设未知数：一般设xyz

列方程：找等量关系：一般为不变量、和、差、倍、比、积等或公式，常见字眼：多、少、总共、相等、倍等

求解：快速解方程

设未知数的原则：一切为了方便列式，一切为了方便计算

能设一个不设多个

能设小不设大

第二章高频经典考点题型

第一节 年龄问题

基本知识

N年后，每人长了N岁

年龄差不变

年龄的倍数关系逐渐变小

基本方法：方程法、代入法

常识

我国法定结婚年龄男22岁，女20岁

鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪

第二节 工程问题

常见题型一：未知效率型

题目特征：题目中给出多个分别完成同一工作的工作时间

核心方法：赋值时间的(最小)公倍数为工作总量

具体步骤：赋总量，求效率，列式计算

常见题型二：已知效率型

题目特点：给出效率之间的比例或倍数关系(效率实际值)

核心方法：

具体步骤：

第三节 容斥原理

题型一：二集合

常用公式：S=A+B–AB=总数–两者均不满足的

做题步骤

区分清楚各个量(画图)

代入公式求解(所求设未知数)

区分

全部量，一般都是题目中最大的量，A和B一般是有相似结构的描述的量

常用计算技巧：尾数法

题型二：三集合

公式1：S=全部–都不=A+B+C–AB–AC–BC+ABC

公式2：S=全部–都不=A+B+C–只满足两种+ABC(特点：出现只满足一种)

公式3：S=全部–都不=A+B+C–只满足两种的–2×ABC

第四节 计数问题

基本原理

分类––加法原理

分类：完成一件事，有m类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第m类方式有Mm种方法，则完成这件事共有M1+M2+……+Mm种方法

分步––乘法原理

分步：完成一件事，有n个步骤，第一步有N1种方法，第二步有N2种方法，……，第n步有Nn种方法，则完成这件事共有N1×N2×……×Nn种不同方法

分类分步的区别：能否独立完成

怎么区分：将题目中的情况数按照要求分成几部分，如果每部分都可以独立完成目的，就是分类。如果每部分需要合作才能完成目的，就是分步。

排列组合

排列：顺序影响结果

从m个元素中选出n个，按照一定的顺序排成一列。

组合：顺序不影响结果

从m个元素中随机选取n个，合成一组。

公式计算

做题步骤

一看清楚目的

二合理分类分步(能否单独完成)

三利用排列、组合公式计算(顺序是否有影响)

第五节 概率问题

题型一：古典概率

题型特点：……的概率是多少

做题步骤

一求整体情况发生数

二求部分情况发生数

三带入公式计算

题型二：复合概率

分步概率：P1×P2×……×Pn

分类概率：P1+P2+……+Pn

做题步骤

一合理分类分步

二列式计算

重点：分类分步要考虑全面

第六节 经济利润问题

基本概念(例题)

商店花100元买了一个玻璃杯，定价150出售，因长时间没人买，打八折出售

成本：100元

定价(原价)：150元

打折：八折

最终售价：120

常用公式

利润=售价–成本

利润率=利润／成本

打折=售价／定价

题目特征：与钱相关的问题

做题步骤

一分析题意看所求

二结合公式列式子

第七节 日期星期问题

年

平年：365天

闰年：366年

判断标准：年份除以4，年份后两位是00，除以400。能整除就是闰年。

月

大月：1、3、5、7、8、10、12

小月：4、6、9、11

二月：28/29

星期

一星期7天，其中5个工作日，2个休息日

注意：每过七天星期不变

算尾不算头

常见题型一：给周几，求周几

3月1日是星期三，那么3月28日是星期几？星期二

3月1号是星期三，那么4月25日是星期几？星期二

3月1日是星期三，那么10月1日是星期几？星期日

解题步骤

算天数、求余数、余几加几

注意：每过7的倍数天星期不变

常见题型二：多个周期，一起开始一起结束

解题技巧：求多个周期的最小公倍数

注意事项：计算周期时，按每过……

解题步骤：化每过，求周期，算日期

每过……天

每隔3天=每过4天

每3天=每过3天

第八节 基础行程问题

匀速直线运动或等价于匀速直线运动

核心公式：路程=速度×时间 S=vt

一般行程问题

路程=速度×时间

追及问题

ab两地相距Sab，甲乙分别从ab出发同时同向而行，在c地甲追上乙

路程差=(大速度–小速度)×追及时间 S差=(V大–V小)×t

路程差为同时出发那一刻两人间的距离

追及时间：同时出发到追上时所花费的时长

具体应用

题目特征：题目中出现同向、追上等字眼

使用步骤：判断题型、分清路程差、列式计算

做题重点：找到两人同时出发时的路程差

注意：行程问题一定要注意单位

1m/s=3.6km／h

小单位变大单位：乘以3.6

大单位变小单位：除以3.6

相遇问题

甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，在c地甲、乙相遇

路程和=(速度1+速度2)×相遇时间 S和=(V1+V2)×t

路程和为两人同时出发到两人相遇共同走过的路程

相遇时间为两人同时出发到相遇时所用时间

具体应用

题目特征：题目中出现相向而行、相遇这样的字眼时

使用步骤：判断题型、分清路程和、列式计算

做题重点：找到相同时间内的路程和

总结

做题步骤

判断题型、分析重点、列式计算

第三章 方法突破

第一节 方程法––盈亏问题

题目特征：两个标准对应两个结果

要点

只有→缺的=标准–只有

没有→缺的→人数变苹果

至少→分情况讨论

公式

对象数=|两次结果差|／|两次标准之差|

多加少减

对象：给谁分谁是对象，一般是每后边紧跟的描述事物

分配标准：分配对象后紧跟的数字

分配结果：按标准分配给对象后的结果

第二节 方程法––鸡兔同笼

基本方法

方程法

假设法

适用范围

题目中出现两次两数之和，一个是a+b=m，另一个是ax+by=n(相当于鸡兔总头数为m，总腿数为n)

做题步骤

理想很丰满，现实很骨感

理想：假设部分量为全部量

现实：总体差／个体差=部分量

第三节 方程法––不定方程

定义

未知数的个数大于等式的个数的方程叫做不定方程

方法

奇偶特性法：不定方程系数中有奇数有偶数

奇数+奇数=偶数

奇数+偶数=奇数

偶数+偶数=偶数

奇数×奇数=奇数

奇数×偶数=偶数

偶数×偶数=偶数(奇数乘以任何数不改变这个数的奇偶性)

因子特性法(整除法)：系数、数值之中的两个有共同的因子

带入验证法：从系数大的未知数代入

方法选择顺序：先因子、后奇偶、最后代入

第四章 考点突破

第一节 工程问题

题型一：未知效率型

题型二：已知效率型

题型三：三人合作两项工程

“两总一方程”

找总工作量：W=W1+W2

找总工作效率：P=P1+P2+P3

找总工作时间：T=W／P

列式分析求解：W1=P1×T+P3·X

题型四：周期性工程问题

一个周期的工作量，一个周期的时长

解题思路：找周期，求余数，分析求解

第二节 行程问题

多次相遇问题

甲乙两人分别从AB两地同时出发，相遇后，两人继续往前走，不断往回于A、B之间

直线多次相遇公式

第n次相遇所走过的路程和=(2n–1)S

第n次相遇，所走过的时间=(2n–1)S／(V1+V2)

第n次相遇，所走过的时间=(2n–1)t

曲线多次相遇问题公式

同点同向

nl=(大速度+小速度)×时间

同点反向

nl=(大速度–小速度)×时间

第五章 知识补充

第一节 等差数列

基本概念

1、从第二项开始，数列的“后项–前项=定值”，该定值称为公差，用字母d表示

2、通常用An表示数列中的第n项，Sn表示数列前n项的和

基本公式

通项公式

an=a1+(n–1)d

am–an=(m–n)d

求和公式

Sn=(a1+an)／2×n

Sn=中位数×项数

Sn=na1+1/2(n–1)·n·d

第二节 最值问题

题目特征：总和固定、求某一个量的最大值或最小值

解题方法：假设未知数，构造符合极限条件的数列

解题步骤

排序：可按照从大到小或者从小到大的顺序排

构造：求谁设谁为x(若让x最大，则其余的尽可能小;若让x最小，则其余的尽可能大)

各项相加等于总和，解出x

求解

先求出6.2

求最大值，取6

求最小值，取7

第三节 溶液问题

溶液是一种或几种物质分散到另一种物质里，形成的均一的、稳定的混合物，在生活中常见的溶液有酒精溶液、蔗糖溶液、稀盐酸、盐水等

基本公式

溶液=溶质+溶液(质量)

浓度=溶质÷溶液

溶质=溶液×浓度

题型一：溶液混合

题目特征：多个溶液混合成一个

解题方法

方程法：抓住混合前后溶质相等列式求解、利用“浓度=溶质÷溶液”求解

十字交叉法：在混合前后溶液浓度都已知的情况下使用会更简单

题型二：溶质不变

题目特征：原始溶液，连续蒸发或者稀释等量的水，但其中的溶质保持不变

解题方法

赋值溶液为浓度的(最小)公倍数

同时扩大对应溶液的质量

观察得到最终目标次数的溶液质量

提醒三：反复操作

题目特征：初始溶液，先倒出一定量的溶液，然后增加等量的水。第二次再倒出同样多的溶液，在增加等量的水如此反复多次。

解题方法

套用公式

最后浓度=初始浓度×(1-每次倒的量／溶液的总量)操作次数(幂)