导图社区 向量思维导图
下图整理考研线性代数向量知识总结，详见如下。
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民法分论
第三章向量
运算
加法，数乘，内积
schmidt正交化
线性表示
概念
判定
等价
题型1 判定向量能否由向量组线性表示
判定分量已知的向量能否由向量组线性表示
利用方程组解的理论判定
利用向量组的秩与线性表示的关系判定
判定抽象向量能否由向量组线性表示
利用定理
判定向量组能否由另一向量组线性表示
线性相关
充要条件
充分条件
题型1.做选择题，填空题
定义的等价形式
至少一个向量能由其余向量线性表示
命题1.任意两个向量军均线性无关，等价于向量组无关
题型2，判别分量已知的向量组的线性相关性
结论法
1.单零向量，相关；含零向量，相关；单非零向量，无关
2.两向量线性相关的充要条件是成比例
3.部分组相关，全组相关，全组无关，部分组无关
4.全组相关，减维相关，全组无关，升维无关
5.n+1个n维向量必线性相关
6.n个n维看行列式是否为0
求秩法
解方程组法
只有零解线性无关，有非零解则线性相关
题型3.证明几类向量组的线性相关性
证明解向量组的线性相关性
乘
反证法
证明用线性无关向量组线性 表示的向量组的线性相关性
矩阵表示法
定义法证明
利用线性相关，线性无关与秩的关系证明
证明用另一向量组线性表示的向量组的线性相关性
多数向量可由少数向量线性表示， 则多数向量必线性相关
向量的线性表示的传递性
判定满足矩阵等式的抽象向量组的线性相关性
证明具有内积运算的向量组的线性相关性
已知向量组的线性相关性，求其待定常数
向量组与矩阵之间相联系
线性无关
向量组等价
矩阵等价
A经过一系列初等变换变成B
1. A、B为同型矩阵，具有相同的秩
2.存在可逆矩阵P和Q,使PAQ等于B
定理：向量组1与向量组2等秩，若一个可由另一个线性表示，则两向量组等价
命题
1.向量组的最大无关组不唯一，但其质相同，且他们等价
2.向量组与其最大无关组等价
3.等价的向量组其秩相等
4.A经过初等行变换变为B,A行向量组与B行向量组等价 A经过初等列变换变为C,A列向量组与C列向量组等价
5.向量组加上或去掉其线性组合表示的向量后所得的向量组与原向量组等价
6.A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价则A与B等价
7.矩阵A、B等价，但其行（列）向量组与B的行（列）向量组不一定等价
8.两个线性无关的向量组不一定能相互表示
法一：用两向量组等价的定义证明或判别
向方程组有解方向的转换
向量组的秩与极大线性无关组
极大无关组定义：再扩大就线性相关
极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩
题型1.求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组
题型2.将向量用极大线性无关组表示
题型3.证明抽象向量组的秩有关问题
1.利用向量组的秩与线性 表示的关系的结论证明
向量组1可由向量组2线性表示,则向量组1的秩 不能超过向量组2的秩（1可由2表示，1的维度 不可能比2的维度更高）
2.转化为矩阵证明，利用矩阵秩的性质（经初等 变换矩阵的秩不变）
3.利用反证法证明
4.用方程组解的理论证明
5.用方程组等价秩必等的性质证明
题型4.证某向量组为一极大无关组
证明该向量组线性无关，且向量组中的任一向量均由该向量组线性表示
向量空间
题型1.求解空间的基、标准正交基（规范正交积）
施密特正交
题型2.求过渡矩阵
题型3.求向量在某组基下的坐标
