考研线性代数

考研数二线性代数笔记，用于梳理知识点，个人粗制，欢迎纠正。

线性代数

• 行列式
  • 意义
    • 零
      • 降秩<=>不可逆<=>向量组线性相关<=>齐AX=0有非零解<=>非齐AX=b无数解
    • 非零
      • 满秩<=>可逆<=>向量组线性无关<=>齐AX=0只有零解<=>非齐AX=b唯一解
    • 值为特征值相乘
  • 计算
    • 行列地位同
    • 换行换号
    • 可提供因子(两行成比例=0)
    • 可倍加减值不变
    • 拆分可
  • 方法论
    • 造零降阶(代数余子式)
    • 造零对角
    • 造零分块
      • 正块
      • 反块
    • 范德蒙行列式（每一项是每元素都与自己前面的元素相减，各项相乘）
    • 根据题意构造新行列式
      • 见到Aij与aij的关系想到 |A*|=|A|^n-1
      • 见到余子式的系数和=>改变行列式某行
    • 行列式等于特征值相乘
• 矩阵
  • 乘法
    • A乘B等于C：A的i行m个元素与B的j列的m个元素对应相乘后相加得出的结果，构成C的i行j列的元素
    • A乘B不一定等于B乘A
    • 可因式分解
    • A乘B组合C=AB组合AC； B上下组合C乘A=BA上下组合BC
  • 逆，伴随，转置矩阵
    • AA*=A*A=|A|E
    • (AB)*=B*A*
    • （AB）^T=A^T B^T
    • (AB)^-1=B^-1*A^-1
    • （kA）^-1=1/k乘A^-1
    • 分块的逆
      • {ao}^-1 {a^-1 o } {ob} = {o b^-1}
      • {oa}^-1 { o b^-1} {bo} = {a^-1 o }
  • 秩
    • 三值相等（转置的秩等）
    • 性质
      • A的秩=转置的秩=A乘转置的秩=转置乘A的秩
      • A加减B的秩小于等于A秩加B秩
      • A乘B后秩下降（乘可逆不变）（A乘B的秩小于等于A的秩和B的秩）
      • 若AB=0 A秩加B秩小于等于n
      • A满秩 A*满秩 A秩n-1 A*秩1 A秩小于n-1 A*秩0
      • AB（上下，左右）合成的秩：大于等于分别的秩；小于等于秩的和
      • AO OB 的秩=秩的和
      • A的秩=1等价于A=ab^T(a,b向量不等于0)
    • 矩阵等价=秩同=PAQ等于B=A经过有限次初等变换化为B
  • 方法论
    • 求逆矩阵（实质yi=f(x1,…，xn)化为xi=f(y1,…，yn)）
      • A^-1=1/|A| 乘A*
      • 初等变换，（三种初等矩阵，左乘变行右乘变列）
    • 求秩
      • 遇见aa^T想到A^2
      • 性质
• 向量
  • 性质
    • 两向量
      • 相关=方向相同=互相表示=内积为两模相乘
      • 无关=方向不同=不能表示
        • 无关但不正交
        • 正交（内积为零）
      • 内积：a^Tb
    • 向量组
      • 相关=能线性表示=齐无数解=降秩
      • 无关=不能线性表示=齐仅零解=满秩
      • 向量组等价=两组能互相线性表示=>能推出 矩阵等价=秩同 反之不对
      • 极大线性无关组个数=秩
      • 秩越大表达能力越强，秩越小越被表示
  • 方法论
    • 矩阵与向量处理
      • 矩阵A乘向量组B=（Ab1，Ab2，…，Abn）
      • 系数组合向量组=向量组乘系数矩阵
      • 齐与非齐的向量组表示
    • 相关性证明
      • 定义法：相关即：存在n个系数线性组合等于零=齐有非零解
      • 向量组用矩阵形式表示（已知向量乘系数矩阵）：满秩无关，降秩相关（A乘可逆矩阵秩不变）
• 二次型
  • 概念性质（实对称）
    • 二次型（每项皆为二次多项式）
      • 矩阵形式f=X^TAX（A为系数矩阵且实对称）
      • 标准二次型（只含平方项，系数A只有对角线元素）
      • 规范二次型（系数为±1的标准型，A只有对角线且为±1）
    • 合同A≃B
      • 必要条件：A、B皆为实对称
      • 存在实对称P，使得P^TAP=B
      • <=>A、B正负零λ个数相同（惯性指数）
    • 惯性理论
      • 标准型不唯一，标准化过程其正负系数个数（正数的个数：惯性指数）不变
    • 正定二次型f(X)>=0
      • 当X≠0，f(X)>0; 当X=0，f(X)=0
      • <=>A的λ全正<=>惯性指数为n<=>A与E合同
      • <=>顺序主子式大于零
        • 左上角子式
      • α^Tα=|α|^2>=0
  • 方法论
    • 标准化（实质方程换元）
      • 配方法
        • 1. 写出原系数矩阵A
        • 2. 原方程配方f=f(X)=>f=(Y)
        • 3. 使X=PY（求逆过程）得P
          • I. 变化方程组
          • II. 矩阵求逆
        • 4. 换元得f=Y^T（P^TAP）Y
          • 可逆线性变换 p必须可逆
      • 正交变换法
        • 1. 求λ，α
        • 2. α正交单位化(施密特正交化)为γ，组成Q，则AQ=Q(λ对角阵)
          • 施密特正交化 后特征向量身份不变
        • 3. 得f=Y^T（Q^TAQ）Y（y的系数为λ）
    • 规范化(只保留符号)
      • 方法一：先标准化kY^2=符号(√kY)^2=符号Z^2
      • 方法二：求系数矩阵A的λ，取符号以对角元素新系数矩阵P^TAP
    • 正定二次型判定
      • 定义法：任意X≠0，X^TAX>0
        • 分别分析X与X^TAX
      • 特征值法：λ皆大于零
      • 顺序主子式法：大于零
    • 判断合同
      • 必要：A,B是否实对称
      • λ正负个数是否一致（惯性指数）
• 特征向量特征值
  • 基本性质A为方阵
    • Aa=λa
      • 可看成Aα由α线性表示 <=>Aα与α线性相关
      • 若A可逆
        • A^-1a=1/λ a
        • A*a=|A|/λ a
        • f(A)a=f(λ)a
        • 
          • 概要
    • 不同λ对应的a线性无关
      • 有n个单值λ=>可相似对角化
      • 有n个无关特征向量<=>可相似对角化
      • 各λ重数与其对应α个数一致<=>可相似对角化
    • 矩阵实对称A^T=A
      • λ皆为实数
      • 不同λ对应的a线性无关且正交
      • 一定可相似对角化
      • 若两实对称矩阵特征值同则相似
        • λ同且均可对角化（对角化后为λ对角阵） (P1^-1AP1=P2^-1AP2)
    • 迹：tr=对角线元素相加=λ相加
      • αα^T=|α|^2
      • tr(α,β)=向量内积
    • |A|=λ相乘
    • 同一λ的α线性组合还是该λ的特征向量
    • λ，α性质
    • 矩阵相似p^-1AP=B
      • 必要条件：特征值同
        • 迹相等
        • 行列式等
      • 必要条件：秩同
        • 因为A乘可逆矩阵秩不变
      • 由Aα=λα Bβ=λβ
        • β=p^-1 α
      • A转置相似B转置
      • f(A)相似f(B)
      • 若A、B可逆
        • A逆相似B逆
        • A*相似B*
    • 施密特正交化（无关化为正交且规范(单位)）
      • p135
    • 正交矩阵Q^TQ=E
      • <=>组内向量两两正交且规范
        • 由于组内向量两两正交且规范所以Q^T乘Q的结果（主对角线：各个向量自我内积也就是模的平方为1；其他位置：因正交内积为0）即为E
      • λ=正或负1
      • 行列式=正负1
        • Q^TQ=E |Q^TQ|=1 |Q^T| |Q|=1 |Q|^2=1 |Q|=±1
      • 矩阵乘正交矩阵Q行列式不变
  • 对角化理论
    • 性质
      • 可对角化<=>r(A)=非零λ的个数
      • 实对称矩阵对角化
        • Q^TAQ=λ对角阵
      • 行列式秩不变（|A|=λ相乘）
  • 方法论
    • 求λ
      • 知A：|λE-A|=0|
      • 定义法：AX=λX
        • 见f(a)：f(a)X=f(λ)X
        • 见AB=C：B拆成若干α，C拆成若干λα
      • 关联法
        • 用性质提炼已知找关联（A^-1,A*,相似）
          • 例：Aα1=α1-α2,Aα2=α1+α2,Aα3=α1+2α2+6α3；α1，α2，α3无关 构造：A（α1，α2，α3） =（Aα1，Aα2，Aα3） =（α1-α2，α1+α2，α1+2α2+6α3） =（α1，α2，α3）（1 1 1） |-1 1 2 | （0 0 6） <=>AP=P （1 1 1） |-1 1 2 | （0 0 6） <=>P^-1AP=（1 1 1） /*相似*/ |-1 1 2 | （0 0 6）
      • 三阶计算手法
        • 
    • 相似P^-1AP=B
      • 判断相似
        • |λE-A|=|λE-B|（必要条件）
          • 特征值相同
        • 三种情况
          • a. A、B均可对角化（充分条件）
            • 相似
          • b. A、B其一可对角化
            • 不相似
          • c. A、B均不可对角化
            • r(λE-A)=r(λE-B)
              • 相似
            • r(λE-A≠r(λE-B)
              • 不相似
      • 求p
        • 1. AB分别对角化
        • 2. 得P1^-1AP1=P2^-1BP2
        • 3. P=P1P2^-1
    • 对角化
      • 过程
        • 1. 求λ（有n个单值即可对角化）
        • 2. 求α（有n个无关即可对角化）
        • 3. A乘特征向量组矩阵=特征向量组矩阵乘λ对角阵
        • 4. 即p^-1AP=λ对角阵
      • 对角化判断
        • 实对称(A^T=A)=>可对角化
        • 不实对称
          • 1. 有n个单值λ
          • 2. 各λ重数与其对应α个数一致
          • 3. 有n个无关特征向量
    • 求未知矩阵
      • 化简直接解（A可逆）
      • （A不可逆）化简为AX=B，拆X，B为向量，或元素对应相等；化为解非齐方程问题
      • 求λ，α：A=P（λ对角阵）P^-1
• 线性方程组
  • 三种表示形式
    • 普通方程形式
    • 矩阵形式（系数矩阵乘未知数矩阵AX=b）
    • 向量组形式
  • 基本性质
    • 齐AX=0
      • 只有零解<=>满秩<=>可逆<=>行列式非零<=>组线性无关<=>未知数个数=约束方程个数
      • 有非零解<=>降秩<=>不可逆<=>行列式为零<=>组线性相关<=>未知数个数小于约束方程个数
        • 基础解系项数=n-r=组中能被线性表示的向量数
    • 非齐
      • 有解：（增广的秩=齐的秩）<=>（b能被线性表示）<=>约束方程的个数=b常数的个数
        • 唯一解：（增广的秩=齐的秩=列数=若齐方阵满秩,|A|非零） <=>（b能被唯一线性表示） <=>（约束方程的个数=b常数的个数=未知数X的个数）
        • 无数解：（增广的秩=齐的秩>列数=若齐是方阵降秩,|A|为零） <=>（b能被无数线性表示） <=>（约束方程的个数=b常数的个数>未知数X的个数）
          • 基础解系为齐通解＋非齐特解
      • 无解：（增广的秩大于齐的秩）<=>（b不能被全部线性表示=唯一个不能被表示）<=>约束方程个数小于b常数个数
        • 增广的秩不等于齐的秩<=>增广秩+1=齐的秩
  • 解的结构
    • 组合
      • 齐的解的线性组合：齐的解
      • 非齐的解的线性组合
        • 系数和=1：非齐的解
        • 系数和=0：齐的解
      • 齐的解+非齐的解的=非齐的解
      • 非齐的解A-非齐的解B=齐的解
    • 通解
      • 齐
        • 基础解系
          • 所有的解的组合的极大线性无关组（皆无关向量有n-r个）（不唯一）
        • 通解
      • 非齐
        • 通解
          • 齐通+非齐特
        • 特解
  • 方法论
    • 题型
      • 含参方程组解的讨论（归一排它变号）
      • 公共解
        • 方程组上下合成
        • 方程组1通解带入方程组2
        • 令两组通解相等
      • 同解
        • 必要条件：秩相等
    • 经验
      • 余子式不等于零<=>秩大于=n-1
• 合同
  • P^TAP=B<=>同秩、同惯性指数(A、B正负零λ个数相同)
• 相似
  • P^-1AP=B<=>同秩<同惯性指数<同特征值 因为A乘可逆矩阵秩不变
• 等价
  • PAQ=B<=>同秩<=>初等变换
• 联想
  • 降秩=行列式为零=有λ为零
• 题目中可对角化的说法
  • 可相似对角化
  • 与对角阵相似
  • 有n个无关特征向量