考研数学重积分

覆盖考研数学所有知识点题型，综合各家名师资料所成。

二重积分

• 概念
  • • 二重积分是一个二元函数在一个平面域的积分，一个和式极限
• 几何意义
• 性质
  • 不等式性质
  • 积分中值定理
  • 与定积分性质相一致
• 计算
  • 化为累次积分，即两个定积分方便运算；后积先定限，限内画条线，先交下曲线，后交上曲线
  • 利用直角坐标计算
  • 利用极坐标计算
    • 适用特征
      • • f（ρ）
        • f（θ）
      • • 圆
        • 圆环域
        • 偏心圆
        • 圆心在原点或坐标轴上
        • 圆心不在原点或坐标轴上
          • 平移+极坐标
  • 利用对称性奇偶性计算
    • 积分域D关于x轴对称，f(x,y)关于y有奇偶性：x对称y奇偶
      • • 偶倍奇零
    • 积分域D关于y轴对称，f(x,y)关于x有奇偶性：y对称x奇偶
      • • 偶倍奇零
    • 积分域D关于原点对称，f(x,y)关于(x,y)有奇偶性：原点对称(x,y)奇偶
      • • 偶倍奇零
  • 利用变量对称性y=x计算
    • 任何一个二重积分的被积函数f（x，y）及积分域D中的x和y对调，平面域可能变化，但积分值不变
    • 当积分域D关于直线y=x对称时，将被积函数f（x，y）中的x和y对调，平面域不变，积分值也不变.
• 重积分题型例题
  • 计算二重积分
    • 直角坐标系
      • 计算法
    • 极坐标
      • 计算法
    • 直角坐标与极坐标互换
      • 选择原则
      • 互相转换
    • 分段函数
    • 对称性奇偶性
  • 累次积分交换次序及计算
    • 单纯改变积分次序
    • 积分次序不正确导致二重积分无法计算
    • 积分方法不正确改变积分法
    • 变积分限的函数求导一般需要改变积分次序
  • 二重积分综合题
  • 与二重积分有关的积分不等式
  • 用二重积分处理一元积分