概统第一章思维导图

概统第一章思维导图，有空缺（因为部分公式无法输入），内容有随机事件与样本空间、概率的定义及性质、条件概率与乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式、事件的独立性。

概统第一章

• 1.1 随机事件与样本空间
  • 随机试验
    • 在相同的条件下可以重复进行
    • 每次试验出现的结果事先不可预言，但可明确所有可能结果的范围
    • 随机试验的表示：
  • 随机事件
    • 随机事件
      • 在试验中可能发生，也可能不发生的结果
      • 随机事件的表示：
    • 基本事件
      • 试验中的每一个可能的结果，是一个最简单的随机事件
        • 基本事件的表示：
        • 随机事件由若干基本事件组成的
        • 随机事件发生=组成这一随机事件的基本事件有一个发生
    • 必然事件
      • 在试验中必然会发生的事件，记为：
    • 不可能事件
      • 不可能发生的事件，记为：
  • 样本空间
    • 定义：试验的全部基本事件组成的集合，称为试验的样本空间，记为：
      • 试验的基本事件：是样本空间的元素(样本点)。
      • 随机事件是样本空间的子集
      • 不可能事件表示空集，必然事件表示样本空间
  • 随机事件的关系和运算
    • 事件的包含：
      • 事件 A 发生必导致事件 B 发生
    • 事件的相等：A=B
      • A=B等价于
    • 事件的并(和)： 或
      • 事件 A或事件B 至少有一个发生
    • 事件的交(积): 或
      • 事件 A与事件B 同时发生
    • 事件的互不相容( 互斥)：
    • 事件的互逆(逆事件)：
      • B称为A的逆事件，记为
    • 事件的差：
      • 事件 A 发生，但事件 B 不发生
  • 完备事件组：
  • 运算律：
• 1.2 概率的定义及性质
  • 如何度量事件发生可能性的大小
    • 对于事件A，如果实数P(A)，表示事件A发生的可能性的大小是事件A所固有的，不随人们的主观意志而改变的一种度量，则P(A)称为事件A的概率，事件A发生可能性大小的度量。
  • 概率的古典定义
    • 古典概型：设样本空间包含有限个(n个)基本事件，即 ，每个基本事件发生的可能性相等，即 ，则称这种试验为古典型随机试验，简称古典概型
    • 计算公式
      • 事件A包含k个基本事件，则
    • 古典概率的性质
      • 对任意随机事件A，
      • P（S）=1
      • 有限可加性：若事件A1,A2,┅,Am互不相容，则
  • 概率的几何定义
    • 几何概型：设S是可度量的有界区域，向区域S内投掷一质点，观察质点位置。(如：线段，平面有界区域，空间有界区域等) 若质点落在S内的任意子区域A内的可能性大小：与A的度量L(A) 成正比，与A的位置和形状无关，则称此试验为几何型随机试验，简称几何概型
    • 几何概率的定义：设几何概型的样本空间为S ， A是含于S内的任一随机事件，即 ，则称 为事件A的概率。其中L(A)是事件A的度量，L(S)是样本空间S的度量
    • 几何概率的性质
      • 对任意随机事件A，
      • P（S）=1
      • (有限可加性)若事件A1,A2,┅,Am互不相容，则
      • (可列可加性)若事件A1,A2,┅,Am ┅互不相容，则
  • 概率的统计定义
    • 古典概率和几何概率的适用范围及其局限性
    • 频率的定义
      • 设某试验重复做了n次，事件A共发生了nA次，则称比值 为n次试验中事件A发生的频率，即
    • 频率的性质
      • 对任意随机事件A，
      • 若事件A1, A2, ┅, Am互不相容，则
    • 统计概率的定义：若随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn(A)在某个常数p 附近摆动，并且逐渐稳定于该常数，则称该常数p为事件A的概率，即P(A)=p。并把这样定义的概率称为统计概率（经验概率）。
    • 概率的近似求法:
    • 统计概率的性质：频率的性质
  • 概率的公理化定义
    • 定义 设P(A)是定义在试验E的全体事件(包含 和S)所组成的集合 （事件域）上的一个实值函数。 若P(A)满足下列三个性质，则称P(A)为事件A的概率。
      • 非负性：对每一个A ,成立
      • 规范性：P(S)=1
      • 可列可加性：对互不相容的
    • 由定义可以推导出概率还具有下列几个性质
      • 不可能事件的概率为0，即
      • 概率具有有限可加性,即：若A1，A2，┅，An互不相容,则
      • 对任意事件A,有
      • 对任意事件A,B有
• 1.3 条件概率与乘法公式
  • 在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的概率:
    • 一般情况：
    • 若A, B相互独立,
  • 条件概率定义
    • 设A,B为试验E的两个事件，且 ,则称 为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。
  • 条件概率性质
    • 对任意事件A，
    • 若事件A1,A2,┅,Ai ┅互不相容，则
    • 对任意事件A，
  • 乘法公式
    • P(AB)=P(B)P(A|B),
    • P(AB)=P(A)P(B|A)，
    • 乘法公式的推广：
• 1.4 全概率公式与贝叶斯公式
  • 定理
    • 设事件组B1，B2，…，Bn满足：
      • B1，B2，…，Bn互不相容
      • P(Bi)0，i=1,2, ┅,n
      • 全概率公式：则对于任意事件A，恒有
      • 贝叶斯Bayes公式：对任意事件A(P(A)0)，有
• 1.5 事件的独立性
  • 两个事件的独立性
    • 定义：对任意两个事件A、B,若P(AB)=P(B)P(A),则称A与B相互独立,简称独立.
    • 定理：对任意事件A,B, 设P(B)>0,则A与B独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A)
  • 特殊事件的性质
    • 概率为1或0的事件与任意事件相互独立
    • 特别地，必然事件和不可能事件都与任意事件相互独立
    • 概率为0的事件不一定是不可能事件。 概率为1事件不一定是必然事件。
  • 多个事件的独立性
    • 定义：
      • 若事件A1,A2,┅,An 满足条件： 则称n个事件是两两独立的
      • 若事件A1,A2,┅,An满足条件：对任意整数k ，恒有 ，则称n个事件A1,A2,┅,An相互独立
      • 对于可列无穷多个事件A1,A2,┅,An, ┅，若其中任意有限多个事件都相互独立,则称可列无穷多个事件A1,A2,┅,An, ┅相互独立
    • 相互独立与两两独立的关系： 相互独立 两两独立
  • 相互独立，互不相容(区别)
    • 定义
    • 计算 P(AB) ， P(A+B)
    • 有限个或可列无穷多个事件：
      • 相互独立 两两独立
      • 互不相容 两两互不相容
  • 定理：若A与B独立,则
    • A与 独立
    • 与 B 独立
    • 与 独立
• 必然事件和不可能事件并不是随机事件，当作特殊的随机事件