导图社区 线性代数
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该思维导图根据张宇最新版概率论9讲整理而得，供大家一起学习，期中期末考研均可适用。整理不易，感谢支持。
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线性代数
向量组
定义与定理
定义
n维向量
线性组合
线性表示
线性相关
线性无关
判别线性相关性的7大定理
具体型向量关系
β 与α1, α2,⋯,αn
建方程组
化阶梯形
讨论
α1, α2,⋯,αn
向量个数大于维度
向量个数等于维度
向量个数小于维度
求极大线性无关组
初等行变换不改变列向量组的线性相关性（同解、系数相同）
求此线性无关组
抽象型向量关系
定义法
用秩
向量组等价
向量空间
概念
过渡矩阵
坐标变换
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
用特征值命题
用特征向量命题
用矩阵方程命题
用秩命题
相似理论
A的相似对角化
充要条件
充分条件
必要条件
否定条件
A相似于B
四个性质
重要结论
实对称矩阵与正交矩阵
实对称矩阵
特征值均为实数，特征向量均为实向量
不同特征值对应的特征向量正交
可用正交矩阵相似对角化
正交矩阵
二次型
二次型及其标准型、规范性
二次型及其矩阵表示
线性变换
二次型的标准形、规范形
标准形
规范形
惯性定理
配方法
含平方项
不含平方项
常用场合
仅要求求出正、负惯性指数p、q及其反问题
判断A的正定性
小题居多
矩阵语言
正交换位法
基本步骤
反求参数
反求A（或f）
最值问题
几何应用
实对称矩阵的合同
正定二次型
前提
二次型f=xTAx 正定的充要条件
二次型f=xTAx 正定的必要条件
线性方程组
具体型方程组
解线性方程组
齐次线性方程组
解向量及其性质
基础解系
齐次线性方程组有非零解的充要条件及通解
通解
非齐次线性方程组
克拉默法则
几个相关问题的等价性
非齐次线性方程组有解的充要条件
非齐次线性方程组解的结构
解含参数的线性方程组
将系数矩阵（齐次方程组）或增广矩阵（非齐次方程组）先用初等行变换化为阶梯形，再用方程组理论判别，求解
对“方形”（方程个数=未知数个数）的方程组
求解两个方程组的公共解与同解问题
求两个方程组的公共解
同解方程组
抽象型方程组
解的判定
Ax=0
Am×n x=0
Am×n x=b
解的结构
解与系数的关系
用方程组的解讨论秩
线性方程组的几何意义
矩阵的秩
公式
考法
用阶梯数（用定义）
用公式
矩阵运算
求An
关于A* ，A-1 与初等矩阵
A*
秩
A-1
性质
求A-1
具体型
抽象型
分块矩阵
初等矩阵
左行右列定理
应用
矩阵方程
化简
求解
余子式和代数余子式的计算
用行列式
用矩阵
用特征值
求余子式的问题
行列式
定义、性质与定理
n阶行列式的定义
行列式的性质
行列互换，其值不变
某行（列）元素全为零，则行列式为零
两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零
某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和
两行（列）互换，行列式的值反号
某行（列）元素有公因子k（k≠0），则k可提到行列式外面
某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变
行列式的展开定理
余子式
代数余子式
按某一行（列）展开的展开公式
具体型行列式的计算：aij 已给出
化为“12+1”型行列式
主对角线行列式
副对角线行列式
拉普拉斯展开式
范德蒙德行列式
加边法
递推法（从高阶至低阶）
数学归纳法（从低阶到高阶）
第一数学归纳法
第二数学归纳法
抽象型行列式的计算：aij 未给出
用行列式性质
用矩阵知识
用相似理论
用方程知识
