高数-复变函数思维导图

复数与复变函数

表示

z=x+iy

代数

向量

距离|z2-z1|

三角不等式

积

商

共轭

除负实数

Π

连续

f(z)在z0连续

<=>

u，v在x0y0连续

连续的和差积商连续

复合函数连续

极限

<=>

复变函数

w=u(x,y)+iv(X,y)

曲线方程

闭曲线C

I(C)闭曲线内部

E(C)闭曲线外部，含∞

复变函数

开集D

D内每一点都是内点

D连通

任两点用完全属于D折线连接

区域

闭区域

D和其边界

有界区域

任z∈D，存在R＞0，|z|<R

否则无界

圆域

|z-z0|<r

圆环域

r1<|z-z0|<r2

上半平面

Im z>0

角形域

带型域

边界点P

任邻域含D的点与非D的点

所有组成边界

幂&方根

De Moivre

解析函数

导数

f(z)在z可导 <=> 在z可微

可导 <=> 连续

柯西-黎曼方程

有定义&可导

柯西-黎曼（C-R）条件

可导

f(z)在D内有定义，z0∈D

f(z)在z0可导<=>uv在(x0, y0)可微

求导

互为反函数

与实函数一一致

意义

旋转角的不变性

保角性

两切线夹角映射后夹角不变

伸缩性

伸缩率不变

解析函数

定义

f(z)在z0及某邻域处处可导

f(z)在z0解析，z0是解析点

区域D内处处可导

区域D内解析

一点

解析=>可导

可导≠>解析

区域D内可以

奇点

f(z)在z0不解析，在z0任一邻域总有fz解析点

条件

充分必要

f(z)在D解析 <=> uv在D可微&满足C-R方程

f(z)在D解析 <=> ux, uy, vx, vy在D连续&满足C-R方程

运算法则

和差积商

复合函数

一般幂函数

α为整数

是与k无关的单值函数

α有理数 α=p/q ( p,q互质整数)

只能取q个不同值

α无理数/复数

无穷多值

初等解析函数

指数

性质

单值函数

恒≠0

2Πi为周期的周期函数

整个复平面上解析

对数

主值

原点与负实轴不解析

集合相等

三角函数

复平面内解析

2Π为周期

三角公式成立

无界

值域是整个复数域

sin(z+w)=sinz w=2kΠ

处处不可导

复变函数积分

概念

方向

起点->终点

左手原则

区域始终在左手边

积分存在条件

f(z=u+iv沿曲线C连续

f(z沿曲线C可积

性质

线性

可加性

改方向变符号

估值定理

L曲线C长度

柯西积分定理

f(z在单连通域D解析，C是D任一简单闭曲线

f(z在Z平面单连通域D解析，C是D任一简单闭曲线

f(z在分段光滑的闭曲线C围成的D解析，在闭域D连续

f(z在Z平面单连通域D解析

积分路径无关

原函数

f(z在D内解析

F(z也解析

牛-莱

复连通域

柯西积分公式

解析函数平均值公式

高阶导数公式

摩罗拉定理

f(z)在D内解析

<=>

f(z)在D连续，对D任一曲线C有

调和函数

f(z)在D内解析

调和函数

φ(x,y)在D有二阶连续导数

满足Laplace

f(z)=u+iv在D解析

<= ≠>

uv都是调和函数

C-R方程

共轭调和函数

u为D内调和

使u+iv在D内构成解析的调和函数v

f(z)在D解析

v必为u共轭

曲线积分

C为闭曲线

级数

复数列

若有极限，极限唯一

{αn}={an+ibn}收敛于α=a+ib <=>

有极限

=> <≠

有界

对复数列{αn}, 存在M使|αn|≤M

趋于无穷

对复数列{αn}, 任意M都存在自然数N，当n>N有|αn|>M

复数项级数

收敛

<=>

同时收敛

收敛

绝对收敛

收敛

<=

幂级数

函数项级数

若在z0收敛

收敛点

和函数

阿贝尔定理

幂级数在点z0(≠a)收敛

级数在圆域K: |z-a|<|z0-a|绝对收敛

幂级数在点z1发散

级数在圆域K: |z-a|>|z1-a|发散

收敛半径R

收敛圆

|z-z0|<R

收敛圆周

|z-z0|=R

处处收敛/处处发散/收敛又发散

D'Alembert比值判别法

<1

绝对收敛

>1

发散

运算

f1f2收敛半径R1R2

R=min(R1,R2)内+-×

|z|<r时

|z|<R时g(z)解析

|g(z)|<r

当|z|<R时

幂级数收敛半径R和函数f(z)

f(z)在收敛圆内是解析函数

幂级数在收敛圆内逐项求导/积分，收敛半径不变

孤立奇点

在z0内不解析，但在某去心邻域解析

m个负幂项

m级极点

无穷多负幂项

本性奇点

z0是f(z)可去奇点 <=> limf(z)存在且为有限值

z0为f(z)极点 <=>

z0为f(z)的m级极点 <=>

φ(z)在z0解析，φ(z0)≠0

ψ(z)在z0解析

z0为f(z)的本性奇点 <=> limf(z)不存在且不为∞

z0是f(z)本性奇点且在z0充分小去心邻域不为0

洛朗级数

洛朗展开定理

f(z)是圆环域R1<|z-z0|<R2解析函数

泰勒级数

收敛半径