随机变量及其分布

《概率论与数理统计》第二章：随机变量及其分布重难点及其公式，内容包括：随机变量、离散型随机变量及其分布、连续型随机变量及其概率密度、随机变量的函数的分布。

随机变量及其分布

• 随机变量（量化）
  • 定义：设随机试验的样本空间为S＝{e}.X＝X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X＝X(e)为随机变量。通常用X,Y,Z;用x,y,z表示随机变量的取值。
  • 分类
    • 从取值范围方面
    • 离散型随机变量
      • 有限
      • 无限
    • 非离散型随机变量
      • 连续型（典型）
  • 分布函数
    • 定义：设X是一个随机变量p，是X的取值，F(x)=p(X≤x),-∞<x<∞ 则称X的分布函数
    • 性质：①定义域：-∞<x<∞ ②值域 :F(x)=[0,1] F(-∞)=P(x≤-∞)=0 不可能事件 F(+∞)=P(x≤+∞)=1 必然事件 ③单调性 单调不减性 F(x1)≤F(x2), x1<x2 ④连续型 右连续 ⑤P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1)
• 离散型随机变量及其分布
  • 定义：它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个。
  • 分布律（概率分布）
    • 表达方式
      • 解析式：称P（X=xk）=pk k=1,2,3 随机变量X的分布律。
      • 表格： p
    • 特征
      • ①：非负性。Pk≥0
      • ②：归一性。p=1
  • 三种重要的离散型随机变量
    • 0-1 分布(两点分布)
      • 定义：设随机变量X只可能取0和1两个值
      • 分布律
        • 解析式 : P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1(0<p<1)
        • 表格 : p
    • 二项分布
      • 定义：设事件A发生的概率为p，进行n次重复试验(贝努利)，求事件A恰好出现k次的概率，又称事件A出现的 p 则称随机变量X服从数为n，p的二项分布。记作X~B(n,p) n为试验次数，p为一次试验出现的概率。
    • 几何分布
      • （可列n重贝努利）达到结果即停止试验 →试验次数为参数 记为：X~G（p）恰好第k次投中 p
    • 泊松分布 （一个时间段内重复出现的次数）
      • 定义：设随机变量X的所有可能取得值为0,1,2，...，而取各个值的概率为 p
      • 泊松定理：设λ>0,是一个常数，n是任意正整数，设npn =λ ,则对于任一固定的非负整数R有 p
    • 超几何分布
      • p （三个参数） 记作：（N,m,n）N表示总数，n表示抽取数
• 连续型随机变量及其概率密度
  • 定义:
  • 性质：①非负性。 ②归一性。 ③p ④分布函数的导数=密度函数 ⑤连续型随机变量的分布函数F(x)为连续函数（左右皆连续）
  • 三种重要的连续型随机变量
    • 均匀分布 若随机变量X具有概率密度f(x)， p 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为 X~U（a,b） 其分布函数为 ： p
    • 指数分布
      • 定义： 若连续性随机变量X的概率密度f(x)，则 p 其中θ>0,为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。其中θ越大，则指数分布函数越平缓；θ越小，则函数越陡。 其分布函数： p
      • 性质：无记忆性
    • 正态分布（高斯分布）
      • 定义：若连续型随机变量X的概率密度为f(x)为: p ，x∈R ，其中，μ和σ都为常数，则称X服从参数μ，σ的正态分布，记为X~N（μ，σ²） μ：位置参数（决定f(x)的位置）σ：σ越大，则f(x)越平缓：σ越大，则f(x）越陡峭。 当x=μ时，f(x)最大：当x=0时，f(x)无限趋近于0 其分布函数： p
      • 性质：1.曲线关于x=μ对称 2.当x=μ时，f(x)最大 3.归一性 4.非负性
      • 标准正态分布：当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X~N（0,1） （偶函数）
        • 密度函数：p 偶函数
        • 分布函数：p
        • 推论:p
• 随机变量的函数的分布 （随机变量X的分布已知，求函数Y的分布）
  • 离散型随机变量的函数的分布
    • 已知随机变量X的分布律，那么Y的分布律将其相同概率想加即可，其余不变
  • 连续型随机变量的函数的分布 （分布函数法）
    • 若随机变量X服从标准正态分布，则X的线性函数Y=ax+b也服从正态分布。
    • 方法
      • 定理：设随机变量X具有密度函数f(x),且x∈R，又设g(x)处处可导，且恒有g(x)的导数<0,则Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为： p
      • 过程法
        • F(y）=P（Y≤y）
        • 将Y=g(x)带入①
        • 在严格单调增区间下，求反函数，解出X=？
        • 密度函数=分布函数的导数
          • 变上限积分求导
          • 变上限积分求导
        • 写出答案