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几何图形
初中数学几何图形专题知识点整理，包含①图形初步、②尺规作图、③图形变换（平移、旋转、对称等）、④平面图形：三角形（基本知识、等腰三角形、等边三角形、全等三角形、相似三角形等）、平行四边形、圆等知识点。
编辑于2020-12-08 18:06:28
- 8.3《勾股定理》
8年级上册数学(苏科)第3章《勾股定理》相关知识点梳理，使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆历史知识。
- 第2章《轴对称图形》
8年级上册数学(苏科)第2章，轴对称图形相关知识点梳理，使用其他版本教材的同学也可以正常使用。可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆历史知识。
- 全等三角形
苏科版8年级上册《全等三角形》相关知识点梳理，展示了全等三角形的定义、性质、以及判定条件等多个方面的知识点。这种组织方式使得学习者能够一目了然地掌握全等三角形的核心内容，便于记忆和复习。还介绍了多种全等三角形的判定方法，如“边角边”、“角边角”、“角角边”和“边边边”等，并详细说明了它们的由来、内容、应用格式以及推论。这些信息为学习者提供了丰富的解题技巧和方法，有助于他们在解决实际问题时灵活运用。使用其他版本的同学也可以正常使用。
几何图形
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- 大纲
几何图形
几何初步
几何图形
图形的构成元素
几何图形由点、线、面组成
线与线相交得到点
面有平面和曲面
点动成线，线动成面，面动成体
平面图形
定义
各部分都在同一平面内
分类
三角形、四边形、五边形、圆等
立体图形
定义
各部分不在同一平面内
分类
柱体
棱柱
特点
1.上下地面是相同的多边形，互相平行
2.直棱柱的侧面都是长方形
相关
棱
任何相邻两个面的交线叫作棱
侧棱
相邻两个侧面的交线叫作侧棱
棱柱的侧棱长相等
顶点
棱柱的棱与棱的交点叫作顶点
底面
棱柱的上、下底面是相同的多边形
侧面
直棱柱的侧面都是长方形
规律
若棱柱的底面是n边形，则为n棱柱，它的侧棱有n条，棱有3n条，顶点有2n个，共有（n+2）个面
欧拉公式
面数F+顶点V-棱数E=2
圆柱
特点
上下底面是半径相等的两个圆面，互相平行
侧面是一个曲面
椎体
圆锥
特点
1.圆锥的侧面是一个曲面底
2.面是圆面
3.有一个顶点
棱锥
特点
1.棱锥的侧面形状都是三角形
2.底面都是多边形
3.各侧面有一个公共顶点
相关
棱
任何相邻两个面的交线叫作棱
侧棱
相邻两个侧面的交线叫作侧棱
顶点
棱锥的各侧棱的公共点叫棱锥的顶点
侧面
棱锥的侧面都是三角形
规律
底面为n边形，就是n棱锥，有n条侧棱，2n条棱，（n+1)个顶点，（n+1）个面
欧拉公式
面数F+顶点V-棱数E=2
球体
由一个封闭的曲面组成
面与面相交得到线
棱柱、棱锥的有关概念
视图
定义
从某一角度观察物体时，所看到的图像
三视图
主/正视图：从正面看到的图
反映几何体的长和高
左视图：从左面看到的图
高和宽
俯视图：从上面看到的图
长和宽
画三视图
先确定物体主视图的位置，画主视图
在主视图下面画俯视图
在主视图右面画左视图
看得见的部分的轮廓画实线，看不见的部分的轮廓画成虚线
简单组合体，分割成规则的几何体来画
注意事项
主、俯视图要长对正
主、左视图要高平齐
左、俯视图要宽相等
看的见的画实线，看不见的画虚线
根据三视图描述几何体
确定形状
确定大小
主、俯视图长相等
主、左视图高相等
左、俯视图宽相等
综合成型
根据三视图求几何体的体积或表面积
展开图
定义
把一个立方体图形展开后得到的平面图形
常见几何体的展开图
正方体的展开图
11种
一四一
6种
二三一
3种
三三
1种
二二二
1种
相对面
“一”字型
“Z”字型
圆柱
两个圆和一个长方形
两个圆半径相等
长方形的一条边的长等于底面圆的周长；另一条边的长等于圆柱的高

圆锥
一个扇形和一个圆组成

（直）棱柱
两个多边形和若干个长方形
两个多边形完全相同
两个底面的位置。底面多边形的边数要与侧面长方形的个数相等，底面多边形各边要分别与侧面长方形的底边相等

棱锥
一个多边形和若干个三角形
底面多边形的边数要与侧面三角形的个数相等，底面多边形各边要分别与侧面长方形的底边相等


点、线、角
线
线段、射线、直线
概念及表示
线段
概念
一条笔直的且有两个端点的线
表示
用表示端点的两个大写字母表示
线段AB或线段BA
用一个小写字母表示
线段a
特征
两个端点
无方向
有长短
线段延长线
线段向一端延伸的部分
可以延长，也可以反向延长。延长线段AB，是从B点开始，沿着从A到B这个方向延长；反向延长线段AB，是从A点开始，沿着从B到A这个方向延长
将线段向一个方向无限延伸就形成了射线
将线段向两个方向无限延伸就形成了直线
射线
概念
直线上一点和一旁的部分
表示
用它的端点和射线上的另一点表示
射线OA
用一个小写字母表示
射线a
特征
一个端点
有方向
无长短
其他
射线用两个大写字母来表示，端点字母必须写在前面，另一个字母是射线上的任一点。
将射线反向延伸也可形成直线
直线
概念
把一条线段向两方无限延伸所形成的图形
表示
用这条直线上的两个点表示
直线AB或直线BA
用一个小写字母表示
直线a
特征
无端点
无方向
无长短
直线与点的位置关系
直线上
直线外
拓展
数n条直线相交，最多交点数
过任意三点都不在同一直线上n个点中的两个点的直线数
数线段
平面内，n条直线，最多把平面分成的份数
区别与联系
线段、射线和直线
两个基本事实
两点之间，线段最短
两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离
两点确定一条直线，并且只有一条直线
线段的大小比较和画法
大小比较
度量法
叠合法
画法
直尺、圆规
线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点叫作线段的中点
∵C是AB的中点
线段的条数
n（n+1）/2
位置关系
相交线与平行线
相交
垂直
定义
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足
表示方法
a⊥b或AB⊥CD（读作a垂直于b），点O为垂足
性质
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
画法
靠
靠已知直线
过
过定点
画
画垂线
点到线的距离
垂线段
直线外一点到垂足的距离，叫作点到直线的垂线段
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
平行
定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
表示方法
a∥b或AB∥CD，读作a平行于b
性质
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
存在性
唯一性
画法
落
把三角尺一边落在已知直线上
靠
用直尺紧靠三角尺的另一边
移
沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点
画
沿三角尺过已知点的边画直线
直线平行的条件
同位角
∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7
内错角
∠3与∠5，∠4与∠6
同旁内角
∠3与∠6，∠4与∠5
平行线的判定
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线的性质
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
角
角
定义
静止观点
有公共端点的两条射线组成的图形叫角。
公共端点叫角的顶点
两条射线叫角的两边
运动观点
角可以看做是一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形
起始位置的边叫作角的始边，终止位置的边叫角的终边
分类
平角
射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角
周角
当起始射线OA又回到起始位置时，所成的角叫作周角
直角
锐角
钝角
角的表示
用三个大写字母 ∠AOB或∠BOA
表示顶点的字母写在中间
用一个大写字母 ∠O
以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角
用阿拉伯数字或希腊字母 ∠1或∠α
任何情况都适用
角的比较
度量法
叠合法
角的大小与角两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关
角的单位及角度制
度量仪器
量角器
度量单位
度、分、秒
1°=60′，1′=60″，1°=3600″
角平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫作这个角的角平分线
∵BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABD=∠CBD=
或2∠ABD=2∠CBD=∠ABC
余角、补角、对顶角
概念
余角
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫作另一个角的余角
若∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余；反之，若∠α与∠β互余，则∠α+∠β=90°
补角
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中的一个角叫作另一个角的补角
若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补；反之，若∠α与∠β互补，则∠α+∠β=180°
对顶角
将一个角的两边反向延长，所得到的角与原来的角是对顶角
性质
同角（等角）的余角相等
同角（等角）的补角相等
对顶角相等
对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角
尺规作图
5种基本
作一条线段等于已知线段（已知线段a）
1. 作射线OP
2. 以端点O为圆心，a为半径画弧，与射线相交于点A，线段OA既是所求线段

作一个角等于已知角（已知∠α）
1. 作射线O´A
2. 以已知角顶点O为圆心，适当长为半径画弧，与已知角两边交于点P、Q
3. 以O´为圆心，OP长为半径画弧，与O´A交于点M
4. 以M为圆心，PQ长为半径画弧，交前弧于点N
5. 过点N作射线O’B，∠AO´B即是所求角

作已知角的平分线（已知∠AOB）
1. 以已知角顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于N、M两点
2. 分别以M、N为圆心，大于MN一半长为半径画弧，两弧交角内于点P
3. 过点P作射线OP，OP即是所求角平分线

过一点作已知直线的垂线（已知点P和直线L）
点在直线上
1. 以直线上任意一点P为圆心，适当长为半径向点P两侧的直线上画弧，与直线L交于A、B两点
2. 分别以A、B为圆心，大于AB一半长为半径，在直线L两侧作弧，两弧分别交于点M、N
3. 过点M、N作直线，直线MN即是所求垂线

点在直线外
1. 在直线L另一侧取点M
2. 以点P为圆心，PM长为半径画弧，交直线L于A、B两点
3. 分别以点A、B为圆心，大于AB一半长为半径作弧，交点M同侧与点N
4. 过点P、N作直线，直线PN即是所求垂线

作已知线段的垂直平分线（已知线段AB）
1. 分别以已知线段端点A、B为圆心，大于AB一半长为半径，在线段两侧画弧，两弧分别交于点M、N
2. 过点M、N作直线，直线MN即是所求的垂直平分线

拓宽
作三角形全等于已知三角形ABC
1. 作直线，在直线上截取DE=AB
2. 以D为圆心，AC长为半径画弧
3. 以E为心，BC长为半弧，两弧交于点F
4. 连接DF、EF，△DEF即是所求三角形
原理
全等三角形（SSS）
过不在同一直线上的三点作圆/作已知△ABC的外接圆
1. 作AB边的垂直平分线DE
2. 作BC边的垂直平分线FG，与DE交于点H
3. 以H为园心，AH(或BH、CH)为半径画圆，既是所求外接圆
原理
圆心为三角形任意两边垂直平分线的交点
作已知△ABC的内切圆
1. 作∠A的平分线AD
2. 作∠B的平分线BE，交AD于F
3. 过点F作AB(或BC、AC)的垂线，垂足为G
4. 以F为圆心，FG为半径画圆，⊙F既是所求内切园
原理
圆心为三角形两角角平分线的交点，半径为圆心到任意一边上的距离
作圆的内接正方形

原理
正方形的对角线互相垂直平分且相等
作圆的内接正六边形

原理
圆内接正六边形的边长等于半径
图形变换
平移
平移的定义
在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移
图形的平移与平移的方向、平移的距离有关
平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置
图形的平移
平移的要素
平移的方向
平移的距离
确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离
平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等
平移作图
选择图形中的关键点
按一定方向和距离分别平移这些点
分别依次连接这些点即可得到平移后的图形
旋转
概念
将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转
这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角
图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置
要素
旋转中心
旋转中心确定方法
在图形上
哪一个点在旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心
在图形外
对应点的连线的垂直平分线的交点就是旋转中心
旋转方向
顺时针
逆时针
旋转角度
对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角
性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中
对应点到旋转中心距离相等
两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等
画旋转后的图形
1.将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心，连接特殊点与旋转中心所得的线段长为半径画圆，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段
2.画旋转后的图形，既需抓住旋转中心、旋转方向和旋转角度三个要素进行分析、画图，也要抓住图形中的特殊点
翻折
将平面内的一个图形沿某条直线对折，得到一个与原图形完全相同的图形
图形的翻折不改变图形的形状与大小，但改变了图形的位置与方向
备注：翻折图形时，只需找出特殊点的对称点，然后顺次连接各点即可
对称
轴对称
轴对称图形
轴对称与轴对称图形
轴对称概念
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称
这条直线叫作对称轴
两个图形中的对应点叫作对称点
轴对称图形
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形
这条直线就是对称轴
轴对称与轴对称图形
区别
意义不同
轴对称是两个图形之间的对称关系
轴对称图形是具有特殊形状的图形
对象不同
轴对称是两个图形
轴对称图形是一个图形
对称轴的位置不同
轴对称的对称轴在两个图形之间
轴对称图形的对称轴过图形的某一条直线
对称轴的数量
轴对称的对称轴只有一条
轴对称图形的对称轴不一定只有一条
画轴对称图形
画图形的对称轴
找一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线
找
在原图形上找特殊点（如线段的端点）
作
作各个特殊点关于对称轴的对称点
连
依次连接各对称点
轴对称的性质
成轴对称的两个图形全等
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平方，那么这两个图形关于这条直线对称
线段的垂直平分线
定义
垂直于一条线段并且经过这条线段中点的直线叫做这条线段的垂直平分线， 简称中垂线
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
判定
到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
实质构成
线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合
外心
三角形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心
外心到三角形三个顶点的距离相等
角平分线
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴
角平分线上的点到角两边的距离相等
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
中心对称
概念
一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。
这个点叫作对称中心
这两个图形中的对应点叫作关于对称中心的对称点
性质
具有图形旋转的一切性质
对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分
中心对称图形的画法
1.在图形中找到各线段的端点，如点A，B，C，然后作出这些点关于对称中心O的对称点
2.按原图形中点的连接顺序将对称点相应的连接起来
中心对称图形
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心
线段是中心对称图形，对称中心是它的中点
作中心对称图形的步骤
将图形上的关键点与对称中心连线并倍长，得到对称点
顺次连接即是所求中心对称图形
中心对称与中心对称图形的区别于联系
区别
中心对称
是针对两个图形而言的
是指两个图形的位置关系
中心对称图形
是针对一个图形而言的
是指具有某种性质的一个图形
联系
都是通过把图形旋转180°重合来定义的
两者可以相互转化
关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点的对称点为P（-x,-y）
平面图形
三角形
基础知识
三角形
三角形是由不在同一条直线上的3条线段，首尾依次相连组成的图形
顶点
相邻两边的公共端点
边
组成三角形的线段叫做三角形的边
三边关系
三角形任意两边之和大于第三边
三角形任意两边之差小于第三边
角
内角
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角
三角形内角和180°
直角三角形两个内角互余
外角
三角形一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角
三角形外角和360°
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
备注
多边形的内角和、外角和
n边形内角和公式
（n-2）*180°
外角及外角和
定义：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫作多边形的外角
多边形的外角和恒等于360°
表示
顶点是A，B，C的三角形记作“△ABC”
“△”表示三角形
A、B、C是三角形的三个顶点
AB、BC、AC表示三条边
∠A所对的边BC也可以用a表示
∠A、∠B、∠C表示三个（内）角
分类
按边的关系
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
按内角分类
锐角三角形
3个锐角
直角三角形
1直2锐
钝角三角形
1钝2锐
三角形的稳定性
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性
四边形不具有稳定性
三角形的高、中线与角平分线
高
从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段
垂心
三角形三条高的交点
锐角三角形
三条高都在三角形内部
钝角三角形
其中两条恰好是直角边
直角三角形
其中两条在三角形外部
中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段
看到中线，找到对边的中点，把这条边分成1:1的两份
重心
三条中线交于三角形内部，这个交点叫做三角形的重心
重心把中线分成1:2的两段
角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
角平分线分一个大角为两个相等的小角，且都等于大角的一半
内心
三条角平分线交于三角形内部，这个交点叫做三角形的内心
内心到三角形三边距离相等
性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
点在角平分线上的判定定理
到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
三角形的高、中线、角平分线都是线段
三角形的中位线
定义
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线
中位线与中线
中位线是中点与中点的连线，中线是顶点与对边中点的连线
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
全等三角形
全等图形
定义
能完全重合的图形叫作全等图形
性质
两个全等图形，它们的形状、大小相同；全等图形的面积相等
全等三角形
概念
两个能完全重合的三角形叫作全等三角形
对应顶点：重合的顶点
对应边：重合的边
对应角：重合的角
表示方法
△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。读作三角形ABC全等于三角形DEF
记两个三角形全等时，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上
性质
全等三角形对应边相等，对应角相等
确定全等三角形的对应边、对应角
公共边一定是对应边
一对最长（最短）的边一定是对应边
公共角一定是对应角
对顶角一定是对应角
一对最大（最小）的角一定是对应角
两边是对应的，则它们所对的角也一定是对应的
两角是对应的，则它们所对的边也是对应的
两条对应边所夹得角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边
两个三角形全等用“≌”表示，找对应边、对应角一般可以从其书写的顺序和位置上来找
全等三角形的全等变换
平移全等型
翻折全等型
旋转全等型
探索三角形全等的条件
三角形全等的判定方法
边角边（SAS）
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
角边角（ASA）
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
角角边（AAS）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
边边边（SSS）
三边分别相等的两个三角形全等
斜边、直角边（HL）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
注意
三个条件能确定唯一三角形
合理选择判定方法
已知两边
找夹角→边角边
找第三边→边边边
找直角→HL
已知两角
找夹边→角边角
找其中一个已知角的对边→角角边
已知一边一角
边为角的对边→找任一角→角角边
边为角的邻边
找夹角的另一边→边角边
找夹边的另一角→角边角
找边的对角→角角边
书写
全等五行
在△ABC和△DEF中
①②③
∵
∵后面紧跟的条件需要满足，从这个∵开始往上找要能找到
①已知（题干中已经给的条件）
②已证（根据题干已知条件已经证明出来的结论）
③已存（存在的事实与真理，比如对顶角相等，共用一条边等）
∴
全等三角形中辅助线的构造
方法
题目中有角平分线
角平分线上的点向角两边作垂线
截长法
利用对称性，在被平分的角的两边截取相等的线段
延长垂线段
题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交
倍长中线法
遇到中线或中点的连线，延长该线段（一倍），使延长线段与原线段相等
补短法
注意题目中标志性信息，AB+CD=EF等，目的是把不在一起的AB与CD构造到一起，组成新的线段
旋转法
题目中出现有一个公共端点的相等线段时
二者的联系与区别
作平行线
有角平分线
常过角平分线（图中已知线段或其延长线）上一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形
通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交
无角平分线
语言表达
作线段
连接......
作平行线
过点......作......∥......
作垂线（高）
过点......作......⊥......，垂足为......
作中线
取......中点.......，连接......
延长并截取线段
延长......使......等于......
截取等长线段
在......上截取......，使......等于......
作角平分线
作......平分.......。作角......等于已知角......
作一个角等于已知角
作角......等于......
特殊三角形
等腰三角形
定义
有两边相等的三角形是等腰三角形
腰
相等的两边
底边
第三边
顶角
两条腰组成的角
底角
腰与底边组成的角
底角有2个，且相等
性质
具有三角形的一切性质
轴对称性
等腰三角形是轴对称图形， 有 1 条对称轴
等边对等角
等腰三角形的两个底角相等
如果一个三角形有两边相等， 那么这两条边所对的角也相等
三线合一
等腰三角形的顶角的角平分线、 底边上的中线、 底边上的高互相重合
判定
等边对等角
等角对等边
如果一个三角形有两角相等， 那么这两个角所对的边也相等
补充
等腰三角形两腰上的高相等
等腰三角形两腰上的中线相等
等腰三角形两底角的平分线相等
等边三角形
定义
三边相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形
性质
具有等腰三角形的一切性质
轴对称性
等边三角形是轴对称图形， 有 3 条对称轴
等边三角形的各角都相等， 并且每一个角都等于 60°
判定
三条边都相等的三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形
直角三角形
定义
有一个角是直角的三角形
性质
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
直角三角形 30°角所对的边等于斜边的一半
判定
如果三角形中有一个角是 90°， 那么这个三角形是直角三角形
有一个角是直角
有两个内角互余的三角形是直角三角形
一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角
勾股定理逆定理
勾股定理
定理
在直角三角形中， 两直角边的平方和等于斜边的平方． 即： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a， b ， 斜边长为 c ， 那么 a²+b²=c²
勾
短直角边，b
股
长直角边，a
弦
斜边为弦，c
a²+b²=c²（a,b为两直角边，c为斜边）
把“形”转为“数”
应用条件
勾股定理只适用于直角三角形，所以常做辅助线——高，构造直角三角形
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称为勾股数
常用勾股数
3,4,5
6,8,10,
5,12,13
7,24,25
勾股数组
毕达哥拉斯
2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1（n是正整数）
柏拉图
2n，n²-1，n²+1（n＞1，且n为正整数）
常见勾股数组
3,4,5/6,8,10/5,12,13/8,15,17/7,24,25
若a,b,c是一组勾股数，则ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数。
逆定理
如果三角形的三边 a， b ， c ， 满足 a²+b²=c²， 那么这个三角形是直角三角形
把“数”转为“形”
应用
判定一个三角形是否是直角三角形
判定步骤
1.确定最长边（如c）
2.验证c²与a²+b²的关系
若c²=a²+b²，则△ABC是∠C=90°的直角三角形
若c²≠a²+b²，则△ABC不是直角三角形
当c²＞a²+b²
三角形为钝角三角形
当c²＜a²+b²
三角形为锐角三角形
勾股定理的简单应用
基本思路
构造直角三角形
解决一般问题的步骤
1.由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题
2.将待求的量看成直角三角形的一条边
3.利用勾股定理求解
利用勾股定理解决最短路线问题
1.求长方体表面上两点间最短路线的方法
将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离
2.求几何体表面上最短路线问题
应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线
利用勾股定理解决航海类问题
先确定方位角，然后画出正确的几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形
锐角三角函数
定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数
锐角A是自变量
正弦
把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
，(∠A为锐角)
正弦值随着角度的增大而增大，即对于锐角α，β，若α＞β，则sinα＞sinβ
余弦
锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
，(∠A为锐角)
余弦值随着角度的增大而减小，即对于锐角α，β，若α＞β，则cosα＜cosβ
正切
锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．

，(∠A为锐角)
正切值随角度的增大而增大，即对于锐角α，β，若α＞β，则tanα＞tanβ
注意
表示∠A的正切、正弦、余弦时，习惯去掉角的符号“∠”，但用三个大写字母表示一个角时，符号“∠”不能省略，如“tan∠BOA”，不能写成“tanBOA”
（sinA）²、（cosA）²、（tanA）²常写成sin²A、cos²A、tan²A
任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在
特殊角的三角函数

正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）
三角函数之间的关系
互为余数的三角函数之间的关系
若∠A+∠B=90°
那么sinA=cos（90°-∠A）=cosB
sinB=cos（90°-∠B）=cosA
tanA·tan（90°-∠A）=1或
同角的三角函数关系


用锐角三角函数解决问题
坡度、坡角
坡度（坡比）
坡面的铅直高度h与水平宽度l的比值叫坡度i
坡角
坡面与水平线的夹角叫坡角a

坡度越大，坡面越陡，坡角也越大
仰角，俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角

方位角
从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角

目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°
方向角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角

找方向角时，要选准原点
说方向角时要先说“南或北”，后说“东或西”
目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°
注意
东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
图形的相似
图上距离与实际距离
线段的比
两条线段长度的比叫做这两条线段的比
在求线段的比时，两条线段的长度必须用同一长度单位表示
成比例线段
在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做比例线段
比例的基本性质
如果a:b=c:d，那么ad=bc；反过来，如果ad=bc（b≠0，d≠0），那么a:b=c:d
合比性质
，
等比性质
（b+d+...+n≠0），则
比例中项
在比例式a:b=b:c中，b叫做a和c的比例中项
黄金分割
定义
如图，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割。
点B为线段AC的黄金分割点
AB与AC（或BC与AB）的比称为黄金比
比值为，计算时通常取近似值0.618
相似图形
定义
形状相同的图形叫做相似形
相似多边形
定义
各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形
相似比
相似多边形的对应边的比叫做相似比
性质
相似多边形的对应角相等，对应边成比例
相似三角形
概念
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形
在△ABC和△DEF中，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，,那么△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中，K叫做它们的相似比
表示对应顶点的字母要写在对应的位置上
相似三角形
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
三角形相似的判定
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似
两角分别相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似
黄金三角形
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形
AB=AC，∠A=36°
BC：AB=≈0.618
三角形的重心
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心
相似三角形的性质
相似三角形的性质
相似三角形的周长比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
相似多边形的性质
相似多边形周长的比等于相似比
相似多边形面积的比等于相似比的平方
用相似三角形解决问题
平行投影及其性质
在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影。
太阳光可以看成平行光
在同一平行光的照射下，不同物体的物高与影长成比例
“同一平行光的照射下”隐含着同一时刻的前提条件
中心投影及其性质
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影
路灯、台灯、手电筒的光可以看成是从一个点发出的
一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同的位置，它的物高与影长不成比例
图形的位似
概念
两个多边形不仅相似，而且对应顶点所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时，我们说这两个图形关于这点位似
相似是一种图形的变换，位似是一种特殊的相似，但相似不一定都是位似
必须同时具备三个条件
两个图形相似
对应顶点的连线相交于一点
对应边互相平行（或在同一条直线）
位似图形的性质
位似图形是相似图形，而相似图形不一定是位似图形
位似图形的对应点的连线相交于一点
位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上
位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于位似比
位似图形的画法
确定位似中心
分别连接位似中心和能代表原因的关键点并延长
根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点
顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形
四边形
基本知识
定义
同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形
内角
最多有3个钝角
最多4个直角
最多3个锐角
性质
四边形的内角和是360°
四边形的外角和是360°
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
表示
平行四边形用符号“▱”表示；平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
性质
边
平行四边形两组对边分别平行且相等
角
平行四边形两组对角分别相等，邻角互补
对角线
平行四边形对角线互相平分
对称性
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心
判定
从边看
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
从对角线看
对角线互相平分的四边形是平行四边形
从角看
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
特殊的平行四边形
矩形
定义
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也叫长方形
性质
具有平行四边形的一切性质
角
矩形的四个角都是直角
对角线
矩形的对角线相等
判定
角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
三个角是直角的四边形是矩形
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
平行线间的距离及其性质
两条平行线之间的距离处处相等
菱形
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
性质
具有平行四边形的一切性质
边
菱形的四条边都相等
对角线
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
面积
菱形的面积等于它的对角线之积的一半
正方形
定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
性质
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形个菱形的一切性质
判定
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
有一组邻边相等的矩形
有一个角是直角的菱形
圆
圆中相关概念及性质定理
圆的相关概念
定义
动态
在平面内，线段OA绕着一个固定的端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫作圆

以点O为圆心的圆，记作“☉O”，读作“圆O”
点O叫作圆心
线段OA叫作半径
静态
☉O可以看成是到定点O的距离等于定长OA的所有点组成的图形。
圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合
确定一个圆需要两个条件
1.圆心
2.半径
弦和直径
连接圆上任意两点的线段叫作弦
直径
经过圆心的弦叫作直径
最长弦、最短弦
最长弦
过圆内一点的最长弦为过此点的直径
最短弦
为过此点且与这条直径垂直的弦
拓展
相交弦定理
经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等
几何语言
若圆内任意弦AB、弦CD交于点P 则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项
∵弦AB⊥直径CD于E ∴AE²=CE×DE
弦心距
圆心到弦的距离
弧
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示。
以Ａ，Ｂ为端点的弧记作⌒（AB），读作“圆弧ＡＢ”或弧ＡＢ。
半圆、优弧、劣弧
半圆
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
优弧
大于半圆的弧叫作优弧，一般用三个点表示
劣弧
小于半圆的弧叫作劣弧，用两个点表示
注意：无特殊说明时，弧指的是劣弧
等弧
在同圆或等圆中能够互相重合的弧叫作等弧
等弧只有在同圆或等圆中才会出现
度数或者长度相等的弧不一定是等弧
同心圆、等圆
同心圆
圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆
等圆
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆
同心圆、等圆是指两个及两个以上的圆
同圆
是指同一个圆
同圆或者等圆的半径相同
圆心角
顶点在圆心的角叫作圆心角
无特殊说明，平时在圆中所说的圆心角都是指不大于平角的角
性质及定理
对称性
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。此外，圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，都能与它自身重合
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧
推论
1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
2.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
3.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
4.圆的两条平行弦所夹的弧相等
过圆心 垂直于弦 分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧
知二推三
弦、弧、圆心角、弦心距关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦心距相等
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
圆周角定理
定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角
圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心角的一半
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半
圆周角与直径的关系
半圆或直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆
圆内接四边形
圆内接四边形的对角互补
反之，对角互补的四边形内接于圆
与圆有关的位置关系
点和圆的位置关系
设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有
点P在☉O内
d＜r
点P在☉O上
d=r
点Ｐ在☉O外
ｄ＞ｒ
确定圆的条件
确定圆的条件
不在同一条直线上的三点确定一个圆
三角形的外接圆
经三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形。
外接圆的圆心叫作三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等
三角形三边的垂直平分线的交点是唯一的，因此三角形的外接圆有且只有一个，即三角形的外心唯一。但一个圆的内接三角形却有无数个
注意
锐角三角形的外心在三角形的内部
直角三角形的外心是三角形斜边的中点
钝角三角形的外心在三角形的外部
直线与圆的位置关系
位置关系
1.相交
直线与圆有两个公共点时，叫作直线与圆相交
d＜r
2.相切
直线与圆有唯一公共点时，叫作直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点
d=r
拓展
割线
定义
一条直线与圆有两个公共点，我们就说这条直线是这个圆的割线
割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等
从圆外一点P引两条割线与圆分别交于C,B,D,E,则有 PC·PB=PD·PE
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线 ∴PA²=PC×PB
3.相离
直线与圆没有公共点时，叫作直线与圆相离
d＞r
圆的切线
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径
推论
经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；
垂直于切线且过切点的直线必过圆心
切线的判定方法
定义法
和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线
距离法
圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线长
定义
在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长
定理
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
拓展
弦切角
定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角

如图所示，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角
弦切角定理
弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数
圆的外切四边形
定义
各边都和圆相切的四边形
性质定理
圆外切四边形的两组对边之和相等
三角形的内切圆
有关概念
内切圆
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心
如果三角形三边长为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形的面积为
拓展
直角三角形中内切圆半径与三边之间的关系
已知：如图，在 Rt △ABC 中 ， ∠C = 90° ，a , b , c , 分别为 ∠A , ∠B , ∠C 所对应的边，⊙O 为 Rt △ABC 的内切圆 ，半径为 r。
2r=a+b-c
圆中相关计算
正多边形与圆
有关概念
正多边形
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形
正多边形与圆的关系
圆内接正多边形
一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。
圆外切正多边形
把圆分成n（n≥3）等份，经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n边形式这个圆的外切正n边形
正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心
正多边形的半径
正多边形外接圆的半径叫作正多边形的半径。
正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距
中心角
正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫作正多边形的中心角

正多边形的画法
正n边形的画法思想是将圆n等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。如作正六边形，可以先画一个半径与已知边长相等的圆，然后在圆上面截取得到等分点，顺次连接各等分点。即得到所要作的正六边形
正多边形的对称性
轴对称
正多边形都是轴对称图形
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心
中心对称
边数为偶数的正多边形是中心对称图形
它的对称中心是正多边形的中心
正多边形的有关计算
设正多边形的边数为n，半径为R，边长为a，则有
1.正n边形的内角和（n-2）×180°
2.正多边形的内角：
3.正多边形的中心角：
4.正n边形的外角：
5.正多边形的周长：C=n*a
弧长及扇形的面积
弧长
在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长
扇形
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形
半圆和直径的组合也是扇形
弧长公式
在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n之间有这样的关系：
当R为常数时，l是n的正比例函数；当n为常数时，l是R的正比例函数
扇形面积公式
扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形
扇形的面积
圆锥的侧面积
有关概念
经过圆锥顶点和底面圆心的直线称为圆锥的轴
圆锥底面圆上的任意一点与圆锥顶点的连线叫作圆锥的母线
连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高
圆锥的轴截面是等腰三角形
侧面展开图及有关计算
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形
圆锥母线长=扇形半径
圆锥底面圆周长=扇形弧长
设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr
圆锥的侧面积
圆锥的全面积