行测数量关系笔记

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数量关系

第一节 解题思维

一、代数排除法

（一）什么时候用？

1、看题型

① 年龄

② 余数

③ 不定方程

④ 多位数

2、看选项

① 选项为一组数

② 选项可以转化为一组数

3、剩2代1

（二）怎么用？

1、优先排除，排除不了再进行代入。

2、直接排除

尾数、奇偶、倍数

3、直接带入

最值、好算

二、倍数特性法

（一）整除性

eg

（2017联考）如图，一个正方体的表面上分别写着连续的6个数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，则这6个数的和为：

A. 53

B. 52

C. 51

D. 50

方法一

每两个相对面上的两个数的和相等 → 设上下=左右=前后=X → 6个数的和为3X

答案是3的倍数，即可以被3整除。

方法二

6个连续的数，已知6、9、10 →另两个为7、8，5个数总和为40。 →另一个要么为5，总和为45。要么为11，总和为51.

（二）余数性

（三）比例性

形式

分数

eg

（2019江苏）某地区有甲乙丙丁4个派出所。已知上月甲、乙2个派出所的合计出警次数为95次，乙丙丁合计出警140次，乙出警数占四个派出所出警次数总和的7/40，则上月甲派出所出警次数是：

A. 55

B. 60

C. 68

D. 75

方法一

根据乙占总数7/40 →乙是7的倍数 → 95-甲=乙是7的倍数 代入4个选项 →95-60=35是7的倍数，当选。

方法二

根据乙占总数7/40 →甲乙丙丁总数是40的倍数 → 140+甲=总数是40的倍数 代入4个选项 → 140+60=200是40的倍数，当选。

总结

如果已知一个数占总数的分数比例，那么这个数一定是分子的倍数，而总数一定是分母的倍数！

百分数

（2019北京）某企业有甲、乙两个研发部门。其中甲部门有35%的员工有海外留学经历，乙部门有32%的员工有海外留学经历。已知甲部门员工比乙部门员工多20人，则两个研发部门最少可能有多少人没有海外留学经历？

A. 132

B. 146

C. 160

D. 174

方法一

1、先将百分数化为上下互质的分数：35% → 7/20；32% → 8/25，

甲部门总人数是20的倍数，乙部门总数是25的倍数。

2、甲部门比乙部门多20人→ 20的倍数-25的倍数=20 → 25的倍数+20=20的倍数

25的倍数有：25、50、75、100... 加上20后为：45、70、95、120 其中120是20的倍数，所以甲部门有120人，乙部门有100人。

3、甲、乙部门没有海外留学经验的人数分别为：78、68，总共146人。

方法二

1、化简分数后可知，甲部门没有海外留学经历的人是（20-7=13）的倍数，乙部门没有海外留学经历的人是（25-8=17）的倍数。

2、两个部门没有海外留学经历的人数是（13的倍数+17的倍数）

13的倍数有：13、26、39、52、65、78 17的倍数有：17、34、51、68、85 选项146满足78+68，当选。

总结

方法一比方法二更严谨，因为它运用到甲部门总人数比乙部门总人数多20这一条件。对于方法一，如果选项里面出现满足（13的倍数+17的倍数）的更小的数，就会选错，不过出题人应该不会这么坑吧...

在用分数作为比例判定倍数时，必须将分数化到最简，即分子分母互质。

比例

倍数

（四）判定

口诀

① 3、9看各位数之和

② 4看末两位

③ 5看末位

因式分解

拆分

拆成两个数的和或差

三、方程法

（一）普通方程

设未知数技巧

1、设小不设大

减少分数计算

2、设中间量

方便列式

3、问谁设谁

避免陷阱

eg

（2019山东）某研究团队开展小学生健康状况调查活动，需要从某市三所小学中抽取部分小学生组成研究样本，其中实验小学抽取的人数占其他两所小学抽取人数的五分之一，解放路小学抽取的人数占其他两所小学抽取人数的二分之一，精英小学的人数为180人，那么三所小学合计抽取多少人？

A. 540

B. 480

C. 360

D. 280

解析

由实验小学抽取的人数占其他两所小学抽取人数的五分之一 →实验小学占总数1/6 由解放路小学抽取的人数占其他两所小学抽取人数的二分之一 → 解放路小学占总数1/3 综上，总数是6的倍数，设总数为6X，得：实验小学为X，解放路小学为2X，所以精英小学为3X=180，得X=60，总数6X=360。

有比例关系，于是设一份为X，避免出现分数。

总结

A占其它数总和 的1/N，则A占 所有数 总和的1/N+1。

有比利时，根据比例设未知数。

（二）不定方程

方法

分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，结合选项排除。

1、奇偶

ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性。

eg

3x+4y=25，x=?（x、y均为正整数）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

解答过程

① 先确定各部分奇偶性：3x无法确定，4y肯定是偶数，25是奇数。 由于奇数+偶数=奇数 → 3x是奇数 ② 3x=奇数 → x是奇数 → 排除A、C ③ 代入B、D验证，B当选。

2、倍数

ax+by=M，当a或b与M有公因子 时，考虑倍数特性。

eg

7x+3y=60，x+y最大为多少？（x、y均为正整数）

A. 12

B. 13

C. 16

D. 18

解答过程

3y与60有公因子3，3y是60的倍数，所以7x也是60的倍数，所以也是3的倍数。 将x代成3、6、9，得到y分别为13、6、-1（舍），所以x+y和最小为3+13=16

总结

如果ax和by与M都有公因子，选择 大的 公因子。

3、尾数（少）

ax+by=M，当a或b尾数是0或5时，考虑尾数。

eg

37x+20y=271，x=？（x、y均为正整数）

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

解答过程

很明显，20y的尾数是0，271的尾数是1，所以37x的尾数是1，满足条件的只有选项B。

eg1

（2017山东）小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的两个乘积加起来刚好等于900。问孩子出生在哪一个季度？

A. 第一季度

B. 第二季度

C. 第三季度

D. 第四季度

解题思路

step1：列方程

设月份为x，日期为y。列方程：29x+24y=900

step2：选方法（技巧）

奇偶法

24y和900均为偶数，因此29x是偶数，x亦是偶数，但x从1—12，偶数太多，试起来太麻烦。

倍数法

900和24的最大公因子为12，所以29x也是12的倍数，故只能选x=12。

eg2

（2019河南）现有五盒动画卡片，各盒卡片张数分别为：7、9、11、14、17。看卡片有米老鼠、葫芦娃、喜洋洋和灰太狼4种。每个盒内装的是同图案的卡片。已知米老鼠的卡片只有一盒，而喜洋洋、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多1倍，据此可知，图案为米老鼠的卡片张数为：

A. 7

B. 9

C. 14

D.17

方法一

设葫芦娃卡片的张数为x，喜洋洋和灰太狼卡片之和为2x，米老鼠卡片为y。 所以：3x+y=58

结合选项代入排除

方法二

3x+y=58ð 58-y=3的倍数，结合选项，只有A满足。

（三）不定方程组

1、未知数一定是整数

方法

先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。

eg

（2017江苏）某地遭受重大自然灾害后，A公司立即组织捐款救灾。已知该公司有100名员工捐款，捐款额有300元、500元和2000元三种，捐款总额为36000元，则捐款500元的员工数是：

A. 11

B. 12

C. 13

D.14

解题思路

设捐300、500、2000元的人数分别为X、Y、Z，于是有： X+Y+Z=100....① 300X+500Y+2000Z=36000....② 联立求解消去X得：2Y+17Z=60

对于不定方程2Y+17Z=60 运用奇偶法，求得Z=2，Y=13

2、未知数不一定是整数

1、特值法（一般赋零）

对于未知数不一定是整数的不定方程组，可以赋值其中1个未知数为零，进而快速计算出其他未知数。

eg

（2016联考）木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10小时，加工4张桌子和8张椅子需要22小时。问，如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需要多少小时？

A. 47.5

B. 50

C. 52.5

D. 55

解题思路

设加工一张桌子需要x小时，加工一张凳子需要y小时，加工一张椅子需要z小时。有： 2x+4y=10.....① 4x+8z=22......②

对于上述不定方程，三个未知数却只有两个方程，正常联立求解解不出来。于是使用特值法赋零，令任何一个未知数为0，解出其他数即可。

2、配系数

第二节 工程问题

一、给完工时间型

Steps

① 赋总量

完工时间的最小公倍数

② 算效率

效率=总量÷时间

③ 根据工作过程列出方程或式子

工作过程即题干描述的工作过程，翻译即可。

例如甲工作a天，乙工作b天，甲乙合作工作c天。

二、给效率比例型

Steps

① 赋效率

② 算总量

总量=效率×时间

③ 根据工作过程列出方程或式子

eg1

甲和乙的效率之比为2：3，甲乙合作完成一项工作需要10天，如果甲单独做这项工程需要多少天？

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30

解题过程

① 设效率：甲为2，乙为3.

② 算总量：（2+3）×10=50

③ 根据工作过程列方程或式子：50÷2=25天

三、牛吃草型

识别

工作总量随时间而变化（形式上往往是排比句）

公式

Y=（N-X）T

原有草量=（牛数-长草速度）×时间

没告诉具体的吃草速度，速度默认为1，效率为N。 当题目告知具体速度v时，就代入为vN.

eg

一片草地，20头牛10天吃完，10头牛30天吃完，问30头牛几天吃完？

解答过程

设原有草量为x，长草速度为v，列式为： ● Y=（20-x）×10 ● Y=（10-x）×30 解得x=5，Y=150 根据题目所问，列式为： 150=（30-5）×T，求得时间为6.

Tips

永远吃（草）/清（淤泥）不完，可持续发展

答案就是x

四、给具体单位型

Steps

① 设未知数（设小不设大或设中间量）

② 找等量关系列方程

eg

制作一批风筝，甲需要12天完成，乙需要18天完成，两人共同制作，完成时，甲比乙多制作了72个，如果按“甲制作一天、乙制作两天”的方式重复下去，当制作完成时，甲制作的风筝有多少个？

A. 140

B. 145

C. 150

D. 155

E. 160

F. 165

G. 170

H. 175

解题过程

方法一

设总量为36x，则甲的效率为3x，乙的效率为2x， 所以甲乙共同制作一共需要36x÷（3x+2x）=7.2天 因为完成时甲比乙多做72个，所以：（3x-2x）×7.2=72，得x=10 综上，总量为360个，甲的效率为30个/每天，乙的效率为20个/每天。 按照“甲制作一天，乙制作两天”的方式，一共有：360÷（30+20×2）=5个周期余10个，所以甲共制作了：30×5+10=160个

方法二

设总共有36份工作，甲的工作效率是每天3份，乙每天2份。 按照题设的方式工作，一共有：36份÷（3份+2份×2天）=5个周期余1份 所以甲一共做了：3×5+1=16份，按照逻辑，甲所制作的总的风筝个数应该是16份工作的倍数，所以只有160是16的倍数。

第三节 行程问题

一、基础行程

1、基本公式

路程=速度×时间

eg

一辆汽车第一天行驶了5个小时，第二天行驶了600公里，第三天比第一天少行驶200公里，三天共行驶了18小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？

A. 800

B. 900

C. 1000

D. 1100

速解

三天共行驶的路程=18×三天的平均速度 由此可知，答案必然是18的倍数，只有B是18的倍数，选B.

缺点：不严谨，它预设了平均速度是个整数，所以仅供参考。

老实解法

根据表格建立的等式，求得平均速度为50，所以总路程为900.

2、平均速度

▲ 平均速度=总路程÷总时间

▲ 等距离平均速度公式

常适用于：

● 直线往返

● 上下坡往返

eg

小明的步行速度为1米/秒，从A地到B地步行需要3个小时，骑自行车需要1小时，电动车的速度时自行车的2倍。现在小明从A地出发，步行1.5小时后骑自行车到B地，然后返回途中先骑电动车走完一半路程，再步行返回A地，则小明的往返平均速度是多少千米/小时？

A. 4.75

B. 5.76

C. 5.96

D. 6.25

E. 6.75

F. 7.24

G. 8.18

H. 9.20

方法一

总路程=1m/s×60s×60m×3h×2=21600m=21.6km AB距离=10.8 步行速度=3.6km/h 自行车速度=10.8km/h 电动车速度=21.6km/h 总时间=去程所用时间+返程所用时间 =1.5+（10.8-1.5×3.6）÷10.8+10.8÷2÷（21.6+3.6）=3.75h 综上所述，平均速度=总距离÷总时间=21.6÷3.75=5.76km/h

方法二

由：”从A到B步行需要3h，小明从A地出发步行了1.5h再换成自行车“可知，去的时候步行走了一半的路程，自行车也走了一半的路程，为等距离。 由：“返回途中先骑电动车走一半路程再步行返回A地”可知，回来的时候也是等距离。

A到B的平均速度：2×1×3/1+3=6/4 B到A的平均速度：2×1×6/1＋6=12/7 往返平均速度：（2×6/4×12/7）÷（6/4＋12/7）=1.6m/s=5.76km/h

Tips

1m/s＝3.6km/h

二、相对行程

直线

1、直线相遇

公式

陷阱

题目可能会以早出发的主体为对象，问相遇时间，这时候要将所求出的相遇时间加上早出发的时间才是所求的相遇时间！！！

2、直线追及

同时相向而行

同时指的是开始追及的那个同时出发，如果有一方先跑，就把先跑的距离加到追及距离中去。

公式

：追及刚开始时两人相差的距离

eg

某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20公里/小时的速度去相距60公里的八一村，1小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1小时后，乙宣传员以50公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距离为多少公里？

A. 25

B. 30

C. 35

D. 40

解题过程

追及距离=20×1=20km 根据公式：20=（50-10）×追及时间，所以追及时间=0.5h 乙追到甲时，乙所走的路程为：0.5×50=25km 距离八一村：60-25=35km

环形

3、环形相遇

同点反向出发

公式

4、环形追及

同点同向出发

公式

eg

老林和小陈绕着周长为720米的小花园匀速散步，小陈比老林速度快。若两人同时从某一点同向出发，则每隔18分钟相遇一次；若两人同时从某一起点向相反方向出发，则每隔6分钟相遇一次。由此可见，小陈绕小花园散步一圈需要多少分钟？

解题过程

S差=V差×T追→720=V差×18→→V差=40 S和=V和×T遇→720=V和×6→→V和=120 由： ● V小陈-V小林=40 由： ● V小陈+V小林=120 得，V小陈=80，所以小陈散步一圈用时：720÷80=9

5、环形起点相遇

每个人返回起点的公倍数，即为同时回起点相遇的时间。

甲每5分钟回到起点一次，乙每3分钟回到起点一次。则甲乙每15分钟在起点相遇一次。

eg

甲、乙两人在400米的跑道上从同一起点匀速慢跑，甲的速度为5米/秒，乙的速度为3米/秒，则甲、乙两人经过（）再次在起跑点相遇。

A. 4分10秒

B. 5分50秒

C. 6分40秒

D. 7分30秒

解题过程

甲跑一圈用时=400/5=80秒 乙跑一圈用时=400/3秒

① 化作同底分数，求分子的最小公倍数。 ② 再带入分母，得分数的最小公倍数。

240/3 400/3

240和400的最小公倍数为1200

带入分母，1200/3=400。所以最小公倍数为400

甲、乙经过400秒在起点相遇。400秒=400÷60=6余4=6分40秒

6、多次迎面相遇

两端出发

公式

第n次迎面相遇，共走：

eg

甲乙两车早上分别同时从A、B出发向对方所在城市，在分别到达对方城市并各自花费1小时卸货后，立出发以原速度返回出发地。甲车的速度为60km/h，乙车的速度为40km/h，两地相距480km。问两车第二次相遇距离两车早上出发经过了多少个小时？

A. 13.4

B. 14.4

C. 15.4

D. 16.4

解题过程

S和=2n-1=3=（60+40）×T遇，解得T遇=14.4h，由于双方各花费1h卸货，所以第二次相遇距离出发经过了15.4h。

拓展

① 第2次相遇是迎面相遇还是追及相遇？

▲ 若第一次相遇之后，甲车能够追上乙车，那么第二次相遇就变成追及相遇而不是迎面相遇。这时，甲比乙多跑了一个全程480km，根据追及问题，S差=480=V差×T遇=20T，求得T遇=24h。

▲ 如果迎面相遇的时间大于追及相遇的时间，说明第二次是追及相遇。相反就是迎面相遇。此题中，迎面相遇时间14.4小于追及相遇时间24h，所以是迎面相遇

② 如果是从同一端出发，求n次相遇的时间。

公式

7、流水行程

公式

静水速度=船速

漂流速度=水速

三、比例行程

路程=速度×时间

■ S一定，V、T成反比

■ V一定，S、T成正比

■ T一定，S、V成正比

eg

A、B两列车早上8点同时从甲地出发驶往乙地，途中A、B两列车分别停了10分钟和20分钟，最后A车于早上9点50分，B车于早上10点到达目的地。问两车平均速度之比是多少？

A. 1：1

B. 3：4

C. 5：6

D. 9：11

第四节 经济利润问题

一、公式

1、利润=售价-进价

2、利润率=利润÷进价

3、售价=进价×（1+利润率）

4、折扣=售后价÷折前价

5、总价=单价×数量

总进价=单个进价×数量

总利润=单个利润×数量=总售价-总进价

二、赋值法

适用范围

1、三量关系只知道一个

2、给比例求比例

操作方式

对条件和问题都没有给具体值的量进行赋值即可

eg1

某楼盘的地下停车位，第一次开盘时平均价格为15万元/个；第二次开盘时，车位的销售量增加了一倍、销售额增加了60%，那么，第二次开盘的车位平均价格为多少？

A. 10万元/个

B. 11万元/个

C. 12万元/个

D. 13万元/个

方法一，设未知数。

设第一次的销售量为n，则平均价格/销售量/销售额为： 15/n/15n 设第二次的平均价格为x，则平均价格/销售量/销售额为：x/2n/24n 所以x=24n÷2n=12

方法二，赋值法。

方法三

理论

若A=B×C，则A之比=B之比×C之比

此题中：单价之比×销售量之比=销售额之比 ？×2=1+60%，求得？=80% 所以单价为原来的80%，15×80%=12

eg2

某商店中甲、乙、丙三种商品销量分别为6件、10件、5件，总销售额为x元，其中乙商品的销售额是甲商品的1.2倍，丙商品的销售额是甲商品的4/3倍，问，如果只卖甲商品，至少卖多少件销售额才能超过x元？

A. 20

B. 21

C. 22

D. 24

解题过程

赋甲的销售额为3、5、6的公倍数30 则乙和丙的销售额分别为36元、40元 所以：销售总额 x=30+36+40=106元 得到甲的单价为30÷6=5元 由此可列不等式：5×甲的销售量＞106，解得甲的销售量＞21.2，至少要卖22件。

三、分段计费

应用场景

水电费、出租车计费等

问：在不同收费标准下，一共需要的费用。

计算方法

① 先按标准分开看

② 计算之后再汇总

eg1

某地出租车收费标准为：3公里内起步价8元；超出3公里的部分，每公里2元。小明打车坐了12公里，共花费多少钱？

解题过程

eg2

某儿童剧以团购的方式销售门票，其票价如下：

现有甲、乙两个小学组织学生观看，若两个学校以各自学生总数分别购票，则两个学校门票共计需要花费6120元；若两个学校将各自的学生和在一起购票，则门票费为5040元。据此可知，两个小学相差多少人？

A. 18

B. 19

C. 20

D. 21

解题过程

① 两个学校的人数和一定大于50人，原因是，如果刚好为50人，总计花费也才50×82=4100元

② 确定总人数：5040÷70=72人

③ 如果两数之和为偶数，那么两数之差也为偶数，从而可以排除B、D。

④ 对A、C选项进行代入排除

代入A有，两数之和为72，两数之差为18， 确定其中一个较大数的方法是：（和+差）/2 可知，两数分别为45和27。 分开计费的总数为：45×82+27×90=6120

先看尾数是否正确再进行计算。 例如C选项的两个数分别为46和28，计费总数是：46×82+28×90→尾数为2不符合条件，所以不用计算，直接利用尾数法排除。

四、函数最值

题型特征

单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？

计算方法

两点式

设提价次数为 x

① 另总价/总利润为0，解得 x₁和x₂

② 当 x=（x₁+x₂）/2时，取得最值。

eg

单位为3000元，可卖出16万件。若单价每提升300元，销量会降低1万件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？

解题过程

① 设提价次数为x，则共提价300x元，销量降低x万件。

② 列式

销售总额=（3000+300x）×（16-x）

③ 令销售总额=0，则解出上述式子左边括号x₁=-10，右边括号x₂=16

④ 当x=（-10+16）÷2=3时，销售总额最高，即定价为3900元时最高。

第五节 容斥原理

一、两集合公式

A+B-A∩B=全-都不

二、三集合公式

① 标准型

A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=全-都不

② 非标准型

A+B+C-满足两项-满足三项×2=全-都不

Tips

▲ 满足两项——满足两项

▲ 至少满足两项——满足两项+满足三项

★ 怎么选看题干表述

③ 常识公式

满足一项+满足两项+满足三项=全-都不

eg

某单位举办设有A、B、C三个项目的运动会，每位员工三个项目都可以报名参加。经统计，共有72名员工报名，其中参加A、B、C三个项目的人数分别为26、32、38，三个项目都参加的有4人，则仅参加一个项目的员工人数是：

A、48

B、 40

C、 52

D、 44

解题过程

① 设参加两项的有x人，根据非标公式：26+32+38-x-2×4=72-0 解得x=16

② 根据常识公式：参加一项+16+4=72-0，得到参加一项的人数为52人。

三、画图法

若条件或问题不便于代入公式计算，则考虑画图。

例如：只参加A；参加A、B但不参加C；或者缺少代公式必要的数据。

做法

① 先画圈，再代数。

② 从里到外，注意去重。

eg1

某学校2015年，有64%的教师发表了核心期刊论文，有40%的教师承担了科研项目，这些教师中有90%公开发表了论文，这些论文均发表在核心期刊上。则发表了核心期刊论文但没有承担科研项目的教师是承担了科研项目但没有发表论文的教师的多少倍？

A. 4

B. 7

C. 9

D. 10

解题过程

eg2

联欢会上，有24人吃冰淇淋，30人吃蛋糕，38人吃水果，其中既吃冰淇淋又吃蛋糕的有12人，既吃冰淇淋又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三样都吃的有6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？

A. 12

B. 18

C. 24

D. 32

解题过程

由于这道题缺少总人数，所以不能直接用公式法。

eg3

在一项课题研究中，数据收集方式有问卷调研、当面访谈与电话访谈三种。参加问卷调研的有27人，参加电话访谈的有9人，既参加问卷调研又参加电话访谈的有12人，既参加当面访谈又参加电话访谈的有7人。已知只参加当面访谈的人数占数据收集人员总数的20%，则数据收集人员共有（）人。

A. 45

B. 50

C. 55

D. 60

解题思路

设只参加当面访谈的人数为x，则总人数为5x人， 所以5x-x=27+9-12=36，得x=9人。 所以总人数为45人。

第六节 排列组合与概率

一、概念

分类与分步

① 分类

相加

② 分步

相乘

排列与组合

排列

● 与顺序有关

● 从n个元素中，有序地选出m个。

公式

=从n开始向前乘m个数

组合

● 与顺序无关

● 从n个元素中，无序地选出m个。

公式

=从n开始向前乘m个数÷m！

如何判定？

从已选的主体中任意挑出两个，调换顺序，有差别，与顺序有关；没有差别，与顺序无关。

eg

从5个人中选2个人，让他们去扫地。

无顺序

从5个人中选2个人，让他们一个人去扫地，一个人去搬桌子。

有顺序

eg1

小李今天上午有a、b、c、d这4项工作要完成，下午有e、f、g这3项工作要做，每半天内各项工作的顺序可以随意调换，则小李今天又多少种完成工作的顺序？

A. 30

B. 60

C. 72

D. 144

解题思路

① 判定：虽然顺序可调换，但不代表无顺序，所求的就是工作的顺序，因为要用到的是排列的公式。

② 上午的顺序：将4项工作进行全排列

=24

③ 下午的顺序：将3项工作进行全排列

=6

④ 上午下午合起来属于分步骤，因此要用乘法将各自的顺序数结合起来。

24×6=144

eg2

某交警大队的16名民警中，男性为10人，现在要选4人进行夜间巡逻工作，要求男性民警不得少于2名，问有多少种选人方法?

A. 1605

B. 1520

C. 1071

D. 930

eg3

某小学组织6个年级的学生外出参观包括A科技馆在内的6个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择A科技馆的方案有：

A. 1800种

B. 18750种

C. 3800种

D. 9375种

解题过程

① 从六个年级中选两个年级出来参观A科技馆

② 剩下的四个年级，每个年级都有五种不同的参观方式：

③

尾数法——5，选择D

概率

给情况求概率

给概率求情况

分类

P=P₁+P₂+P₃…

分步

P=P₁P₂P₃…

eg1

已知一个箱子中装有12件产品，其中有2件次品。若从箱子中随机抽取2件产品进行检测，则恰好抽到1件次品的概率是：

A. 13/22

B. 10/33

B. 7/11

C. 8/11

eg2

某公交站台附近区域停放B型共享单车4辆，B型共享单车5辆，C型共享单车6辆。一公交车到站后，下车的乘客随机选择其中13辆单车骑走。问B型和C型单车全部被骑走的概率在以下哪个范围内？

A. 10%以下

B. 10%~20%之间

C. 15%~20%之间

D. 超过20%

解题过程

eg3

某杂志社为每篇投稿文章安排两位审稿人，若都不同意录用则弃用；若都同意录用则录用；若两人意见不同，则安排第三位审稿人，并根据其意见录用或弃用。如果每位审稿人录用某篇文章的概率都是60%，则该文章最终被录用的概率是：

A. 36%

B. 50.4%

C. 60%

D. 64.8%

解题过程

该文章最终被录取存在三种情况

① 同意+同意：60%×60%=36%

② 同意+不同意+同意：60%×40%×60%=14.4%

③ 不同意+同意+同意：40%×60%×60%=14.4%

不同的情况属于分类，用加法：36%+14.4%+14.4%=64.8%

二、题型

1、捆绑法

① 先捆

把必须相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。

② 再绑

将捆绑后元素的看成一个元素（整体），进行后续排列。

eg

甲乙丙丁戊己6个老师站成一排照相，要求甲乙丙3人必须相邻，有多少种不同的站法？

解题过程

拓展

2、插空法

① 先排

先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。

② 再插

将不相邻的元素插入到空位中

eg

甲乙丙丁戊己6个老师站成一排照相，要求甲乙丙3人必须不相邻，有多少种不同的站法？

解题过程

① 🥝甲🍓乙🥑丙🍉

针对甲乙丙的排序：

② 从四个空中挑选三个出来，放置丁戊己，并且是有顺序的。

③ 综上，共有6×24=144种站法

eg1

单位工会组织拔河比赛，每支参赛队伍都由3名男职工和3名女职工组成。假设比赛时要求3名男职工的站位不能全部连在一起，则每支队伍有几种不同的站位方式?

A. 432

B. 504

C. 576

D. 720

补充

不能全连：总数-全部相邻（捆绑法）

不能连续：插空法

解题过程

① 利用捆绑法：

② 总数：

③ 综上：共有720-144=576种方式

eg2

把12颗松树和6颗柏树种植在道路两侧，每侧种植9颗，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法？

A. 36

B. 50

C. 100

D. 400

解题过程

① 先种松树，由于是同样的数，而且没有要求，所以有一种种法。

② 将3颗柏树插进松树中间，有5个空可以插。

③ 一侧有10种方法，两侧有10×10=100种方法。

eg3

某兴趣组有男生女生各5名，他们都准备了表演节目。现在需要选出4名学生各自表演1个节目，这4个人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生连续表演节目。那么，不同的节目安排有多少种？

A. 3600

B. 3000

C. 2400

D. 1200

解题过程

三种情况

① 一男三女

不符合题意

② 二男二女

③ 三男一女

综上，共有2400种安排。

3、环形排列

eg

4个老师坐在一个圆桌旁，有（）种不同的坐法。

结论

n个人进行环形排列，有

种排法

eg

6个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一起，问又多少种安排方法？

解题过程

① 捆绑法

② 将小华和小明看做一个整体，与其余4人进行环形排序：

③ 总共2×24=48种方法

eg

主人随机安排10名客人坐成一圈就餐，这10名客人中，有两对情侣，那么这两对情侣都恰好被安排相邻而坐的概率约在（）

A. 0%~2%之间

B. 2%~3%之间

C. 3%~4%之间

D. 4%~5%之间

E. 5%~6%之间

F. 6%~7%之间

解题过程

① 将两对情侣捆绑

② 与剩下的6人环形排列

③ 总的排法

④ 综上，概率为：（4×7！）/9！=1/18

4、枚举法

适用范围

① 凑数

例如：凑9L食用油，凑12元现金。

② 情况少

例如：从周1-周5中选连续2天